12 Trigonométrie CHAPITRE

126
Trigonométrie
12
CHAPITRE
12
CHAPITRE
Activité 1
1 a) Ajouter 2π, 4π, et plus généralement k × (2π) revient
à faire des tours complets sur le cercle qui nous ramènent
chaque fois en A. Donc à la fi n du parcours, le mobile
s’arrête en M.
b) B est associé à π
2.
9π
2 = π 2 + 4π, donc B est également associé à 9π 2.
c) • Figure en vert (le carré) : 3π
4 est associé à D et 9π 4 à C.
• Figure en bleu : 4π
3 est associé à L ; 13π 3 est associé à H ;
5π
6 est associé à J et 13π 6 est associé à G.
2 b) Figure verte : – 3π
4 est associé à E et – 7π 4 est
associé à C.
Figure bleue : – 7π
6 est associé à J ; – 15π 6 est associé à B’ ;
– 2π
3 est associé à L ; – 5π 3 est associé à H et – 17π 3 est
associé à H.
Activité 2
2 b) cos α = OH
OM . Or OM = 1 donc cos α = OH et de
même sin α = HM
OM = HM.
c) Le point M a pour coordonnées cos α et sin α.
3 Lorsque M est en A :
X = 0 + k 2 π ; cos X = 1 et sin X = 0.
Si M est en B : cos X = 0 et sin X = 1.
Si M est en A’ : cos X = – 1 et sin X = 0.
Si M est en B’ : cos X = 0 et sin X = – 1.
La grande aiguille fait un tour en 60 minutes, donc en
1 minute, 1
60 tour et la petite aiguille fait un tour en 12 h
donc en 1 minute, 1
720 tour.
Pour être superposées, il y a eu x minutes 1
4 de tour à
rattraper donc 1
4 = x
60 – x 720, soit 11x 720 = 1
4 ;
x = 180
11 soit x ⯝ 16 min 22 s.
Les aiguilles sont superposées à 3 h 16 min 22 s.
Pour être opposées, on a :
3
4 = x
60 – x 720,
soit 11x
720 = 3
4 et x = 540 11 , soit x ⯝ 49 min
donc à 3 h 49 min.
ACTIVITÉS
(page 249)
PROBLÈME OUVERT
Trigonométrie

127
Chapitre 12 ● Trigonométrie
1
O
O
A
A’
B’
B
CD
E
F
π
—
3
3π
—
4
5π
—
4–π
—
2
2
O
O
A
M1
A’
B’
B
M
3π
—
5
1. 3π
5 correspond à 108°.
2. À M1 on associe :
3π
5 + π = 8π 5.
3
–
12π
7 = – 14π 7 + 2π 7 = 2π 7 – (2π).
16π
7 = 14π 7 + 2π 7 = 2π 7 + 2π.
Dans les deux cas, on fait un tour sur le cercle trigono-
mètrique pour revenir en A. Ensuite, on parcourt un arc
de longueur 2π
7. Donc on associe chaque fois le même point.
4
1. Les triangles OMA et ONA sont équilatéraux
donc kNOA = lAOM = 60°.
Il en résulte que kMOP = 60° et kAOP = 120°.
Ainsi à M, on associe π
3 , à N on associe – π 3 et à P on associe
2π
3.
2. cos m = 1
2 ; sin m = 13
2 ; cos p = – 1
2 ; sin p = 13
2 ;
cos n = 1
2 et sin n = – 13
2 .
5
1. À M on associe π
4, à N on associe 3π 4, à P on
associe 5π
4 et à Q on associe 7π 4.
2. cos π
4 = sin π 4 = 12
2.
cos 3π
4 = – 12
2 ; sin 3π
4 = 12
2 ; cos 5π
4 = – 12
2 ;
sin 5π
4 = – 12
2 ; cos 7π
4 = 12
2 ; sin 7π
4 = – 12
2.
6
a) x ≈ 2,59. b) x ⯝ 0,85.
7
La valeur exacte de x est 2π
3.
8
Si cos x = 0,4 et x ∈ [– π ; π], alors x ≈ 1,16 et
x ≈ – 1,16.
9
À M on associe x ≈ 0,41. Et à N on associe x ≈ 2,73.
EXERCICES
Application (page 252)
EXERCICES
Entraînement (page 255)
CERCLE TRIGONOMÉTRIQUE
10
1. a) À A on associe 0 ; à C : π
3 ; à D : 2π 3 ; à A’ : π ;
à E : 4π
3 ; à F : 5π 3.
2. À A : 0 ; à C : π
3 ; à D : 2π 3 ; à À : π ; à E : – 2π 3 ; à F : – π 3 .
11
Corrigé dans le manuel.
12
1. –
13π
9 = – 2π + 5π 9. Donc à –
13π
9 après un tour
complet dans le sens indirect, on s’arrête au point associé à
5π
9, c’est-à-dire M.
923
9π = 102π + 5π 9. Or 102π correspand à 61 tours dans
le sens direct, donc on s’arrête au point associé à 5π
9, c’est-
à-dire M.
13
1. – 13π
3 = – 12π 3 – π 3 = – 4π – π 3.
M0
B
O
O
A
En partant de A, on fait 2 tours dans le sens indirect, puis
M0 est associé à – π
3.
2. En tournant dans le sens positif à M0, on associe 5π
3.
14
O
O
A
Q
P
M
N
A’
B

128
• 17π
4 = 16π 4 + π 4 = 4π + π 4, d’où M associé à π 4.
• 29π
6 = 24 6 π + 5π 6 = 4π + 5π 6 donc N est associé à 5π 6.
• – 13π
4 = – 12π 4 – π 4 = – 3π – π 4, En partant de A dans le
sens indirect, on fait un tour et un demi-tour. On arrive en A’
puis – π
4 on obtient P.
• 18π
5 = 15π 5 + 3π 5 = 3π + 3π 5. On fait un tour et un demi-tour
dans le sens direct. On arrive en A’ puis 3π
5 on obtient Q.
15
O
O
O
A
A’
BM
M’
1. En partant de A dans le sens positif, à M on associe
2π
5. Puis à partir de M, un demi-tour dans le sens négatif, on
trouve M’, donc on lui associe 2π
5 – π, soit – 3π 5, donc la
proposition est vraie.
2. 9π
5 = 10π 5 – π 5 = 2π – π 5 donc à 9π 5 et – π 5
on associe le même point. La proposition est vraie.
3. Le triangle A’OM est équilatéral donc lA’OM = 60°. En
tournant dans le sens indirect à partir de A, on associe à M
le nombre – π – π
3 = – 4π 3. La proposition est vraie.
16
–2π
–2π
0 2π
π
5
À M on associe π
5 – 2π = – 9π 5.
17
Corrigé dans le manuel.
18
x appartient à
冥
0 ; π
2
冤冥
3π
2 ; 2π
冤冥
– π ; – π
2
冤
cos x++ –
sin x+– –
COSINUS ET SINUS D’UN NOMBRE
19
a) cos 3π
4 = – 12
2.
3π
—
4
B’
√ 3
– —
2
O
O
O
A
A’
B
–π
—
6
–2π
—
3
b) sin
冢
– 2π
3
冣
= – 13
2.
c) sin
冢
– π
6
冣
= – 1
2.
20
1. a) Arc épais. b) x0 = – π
3.
M0
B
B’
O
O
0π
A’ A
1
–
2
2. a)
π
—
2
M0
B
B’
O
O
π
A’ A
√ 3
– —
2
√ 3
– —
2
√ 3
– —
2
b) x0 = 5π
6.
21
Corrigé dans le manuel.
22
En reprenant les constructions des exercices 20 et 21,
on trouve :
–π
—
2
B’
π2π
M0
x0 =
B
A
A’
–2π
—
3
B’
–π
–π
M0
x0 =
B
A
A’
–2π
—
3
B’ M0
x0 =
B
A
0
A’
–π
—
4
√ 3
– —
2
√ 3
– —
2
√ 3
– —
2
√ 3
—
2
√ 3
—
2
√ 3
—
2
–1
2
23
1. b = π
6 + 2π 3 = 5π 6.
c = π
6 + 4π 3 = 9π 6 = 3π 2.

129
Chapitre 12 ● Trigonométrie
5π
(—)
6π
(—)
6
B
H
B’P
O
O
A’ A
N
N
M
M
3π
(—)
2
3π
(—)
2
3π
(—)
2
2. M a pour coordonnées
冢
13
2 ; 1
2
冣
;
N
冢
– 13
2 ; 1
2
冣
; P(0 ; – 1).
Donc PH = 3
2 ; MN = 13,
donc aire (MNP) = 1
2 × 13 × 3 2 = 313
4.
24
1. a = – 42π
3 + π 3 = – 14π + π 3 donc le point M est
associé à π
3.
(b+π)
N
M
B
B’
P
A’ A
O
O
π
(—)
3
–π
(—)
3
Q
Q
(a+π)
b = 14π – π
3 donc N est associé à– π 3.
c = π + a donc P est le symétrique de M par rapport à O.
d = π + b donc Q est le symétrique de N par rapport à O.
2. Le quadrilatère MNPQ est un rectangle tel que MQ = 1
et MN = 13, donc aire (MNPQ) = 13.
25
1. La proposition est vraie OM2= OH2 + OK2
donc (cos x)2 + (sin x)2 = 1.
2. La proposition est fausse car 15
2 > 1.
O
OH
H
H
M
K
3. La proposition est fausse.
Il existe deux points M et N donc deux nombres x.
4. La proposition est fausse car cos2 x + sin2 x = 1.
Donc si cos x = 0, alors sin x = 1 ou – 1.
5. La proposition est vraie car – 1 ⭐ sin x ⭐ 1
donc sin2 x ∈ [0 ; 1].
N
MB
B’
A’ A
O
O
π
—
2
3π
—
2
1
26
1. B
B’
O
O
A’ A
M
P
N
K
H
2. b) Lorsque P décrit l’arc plus épais, le cosinus prend
ses valeurs sur [HA] donc cos x ∈
冤
– 1
2 ; 1
冥
.
c) De même sin x prend ses valeurs sur [KB] donc
sin x ∈
冤
– 12
2 ; 1
冥
.
27
1. B
B’
O
O
A’
π
A
0
– 0,8
M0
2. À la calculatrice, x en radians a pour valeur approchée
2,50. En degrés : 143°13.
28
B
B’
A’ A
O
O
π
—
2
M0
–0,4
–π
—
2
En degrés : x ⯝ – 23°58.
En radians : x ⯝ – 0,41.
29
Corrigé dans le manuel.
30
En degrés : a) x ⯝ 64°62.
b) x ⯝ – 66°42.
c) x ⯝ 160°53.
d) x ⯝ 107°46.
31
1. cos2 x = 1 – sin² x = 1 – 1
9 = 8 9.
2. a) B
B’
O
O
A’
π
A
M01
–
3
b) cos x < 0.
c) cos x = – 212
3.
32
1. (sin x)2 = 1 – (cos x)2 = 1 – 9
25 = 16 25.

130
2. a) B
B’
A’ A
0
O
O
M0
–π
—
2
3
–
5
b) sin x < 0.
c) sin x = – 4
5.
33
Sur [0 ; π], x = π
6.
π
(—)
6
–π
—
6
π
—
6
11π
——
6
23π
——
6
–π0π2π
+ 2π+ 2π
3π4π
B
B’
A’ A
0 ; 4π3π ; π
O
O
M1
M0
Le nombre de l’intervalle [3π ; 4π], est 23π
6.
34
À N, on associe – π
6 et à P on associe 5π 6 donc N a
pour coordonnées
冢
13
2 ; – 1
2
冣
et P
冢
– 13
2 ; 1
2
冣
.
35
Corrigé dans le manuel.
36
Corrigé dans le manuel.
37
1. cos2π
12 = (16 + 12)2
16
=
8 + 2412
16
=
8 + 413
16
=
2 + 13
4 ;
sin2 π
12 = 1 – cos² π 12
= 1 – 2 + 13
4
=
2 – 13
4.
Or
冢
16 + 12
4
冣
2 = 8 – 413
16
=
2 – 13
4 d’où le résultat.
2. Donc sin 11π
12 = sin π 12
=
16 – 12
4.
B
B’
A’ A
O
O
11π
——
12 π
—
2
AVEC LES TICE
38
1. L’aire semble maximale lorsque lAOM = 90° et
OMED dans ce cas est un rectangle.
2. a) X ∈ [O ; π] donc sin X ⭓ 0.
b) Si H est le projeté orthogonal de M sur (OA), alors
aire (OMED) = MH × OD soit 3 sin X.
2. La valeur maximale de sin X est 1, donc celle de l’aire
est 3. L’angle lAOM = 90° donc le quadrilatère est un
rectangle.
3. a) A(x) = 2 équivaut à 3 sin X = 2 donc sin X = 2
3.
B
B’
O
O
A’ A
0
NM
2
–
3
Il existe deux nombres X tel que :
sin X = 2
3.
c) X1 ⯝ 41°81 et X2 ⯝ 138°19.
PRENDRE TOUTES LES INITIATIVES
39
Le cerf-volant est inscrit dans un cercle de centre O,
milieu de [AC].
AC2 = 4 + 1 = 5, AC = 15 donc OD = 15
2.
D
O
O
CA
B
2
H
2
α
α
1
1
De plus aire (DCA) = 1
2 DH × AC
=
1
2 CD × DA
soit DH = 2
15.
Or kCOD = α (angle au centre interceptant le même arc
que kCAD).