C. Fonctions continues

MAT-1100 Analyse I H11
C. Fonctions continues
C1. Limites de fonctions
1Sans donner de justification, trouver le domaine et l’image et esquisser le graphe de chacune
des fonctions suivantes.
a) f(x) := x2−1.
b) f(x) := (x2−1)(x−2)
x−2.
c) f(x) := x3−x.
d) f(x) := √x.
e) f(x) := √x2−1.
f) f(x) := √1−x+√x−2.
g) f(x) := |x−1|+|x−2|.
h) f(x) := |x|+|2x−1|
+|x−1|.
i) f(x) := 1
|x|.
j) f(x) := x
|x|.
k) f(x) := x− |x|
x.
l) f(x) := bxc.
m) f(x) := x− bxc.
n) f(x) := sin2x.
o) f(x) := sin x2.
p) f(x) := sin |x|.
2Trouver le domaine et l’image des fonctions suivantes.
a) f(x) := 1 + cos x
1 + sin x.
b) f(x) := log 1−ex2.
c) f(x) := rx2+x−2
x2−x−2.
d) f(x) := √1−x2
log(x2−1).
3Une fonction f:R→Rest dite p´eriodique s’il existe T > 0 (une p´eriode) tel que pour tout
x∈Ron a f(x+T) = f(x).
a) Lesquelles des fonctions de l’exercice 1 sont p´eriodiques ?
b) Comment d´eduit-on le graphe d’une fonction p´eriodique de p´eriode Tde celui de sa res-
triction `a l’intervalle [0, T ) ?
4Soient a, b, x0, L ∈R. Utiliser la d´efinition de limite pour montrer que
a) lim
x→x0
ax +b=ax0+b.
b) lim
x→x0
f(x) = L⇐⇒ lim
h→0f(x0+h) = L.
c) lim
x→x0
f(x)=0 ⇐⇒ lim
x→x0|f(x)|= 0.
5Soient f, g :D→R,x0∈R,a > 0 et M > 0 tels que lim
x→x0
f(x) = 0 et |g(x)|< M lorsque
|x−x0|< a. Montrer que lim
x→x0
f(x)g(x) = 0.
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6Soit f: (−1,1) →R.
a) A-t-on lim
x→0f(x) = lim x→0f(x2) ? b) A-t-on lim x→0f(x) = lim x→0f(x3) ?
7Montrer que si f(x)
x→L(x→0), alors f(bx) x→bL (x→0), o`u b6= 0 et L∈R∪ {±∞}.
8Soient f:R→Ret a, L ∈Rtels que f(x)→L(x→a).
a) Montrer que si fest paire, alors lim
x→−af(x) = L.
b) Montrer que si fest impaire, alors lim
x→−af(x) = −L.
Rappel : fest paire si f(−x) = f(x) pour tout xet fest impaire si f(−x) = −f(x) pour
tout x.
9Calculer les limites suivantes
a) lim
x→3
2x2−5x−3
x−3.
b) lim
x→2
x2−x−1
x−2.
c) lim
x→0
√2 + x−√2
x.
d) lim
x→2
x5−25
x2−22.
e) lim
x→1
3
√x−1
x−1.
f) lim
x→2
xn−2n
x−2.
g) lim
x→0
4
√1 + x2−1
x.
h) lim
x→0cos(1/x).
i) lim
x→−1
x2−x−2
p|x2−1|.
j) lim
x→2
(2 −√6−x)(3 −√7 + x)
(√8−√6 + x)(√5−√7−x).k) lim
x→1
mxm+1 −(m+ 1)xm+ 1
xn+1 −xn−x+ 1 .
10 a) Soit L∈R. Montrer que lim
x→a+f(x) = Lsi et seulement si f(xn)→Lpour toute suite (xn)
telle que xn> a et xn→a.
b) Montrer que lim
x→∞ f(x) = −∞ si et seulement si f(xn)→ −∞ pour toute suite (xn) telle
que xn→ ∞.
11 Soit L∈R. Montrer que lim
x→af(x) = Lsi et seulement si lim
x→a+f(x) = lim x→a−
f(x) = L.
12 Limites croissantes et d´ecroissantes. Soit f: (a, a+ε)→Ro`u a∈Ret ε > 0. Si pour toute
suite (xn)⊂(a, a +ε) telle que xn↓aon a lim
n→∞ f(xn) = L∈R, alors on d´efinit lim
x↓af(x) := L.
Montrer que lim
x↓af(x) = Lsi et seulement si lim
x→a+f(x) = L.
Note. De la mˆeme fa¸con, on peut d´efinir lim
x↑af(x) pour une fonction f: (a−ε, a)→R.
13 Calculer la limite de f(x) := |x| − x
xlorsque x→0+et lorsque x→0−.
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14 Calculer la limite de f(x) := 1
x−2bx−2clorsque x→2+et lorsque x→2−.
15 Soient a > 0, f(x) := qx+ 2√ax −a2+qx−2√ax −a2et g(x) := f(x)−2√a
x−2a.
a) Quel est le domaine de f?
b) Calculer lim
x→(2a)+g(x).
c) Calculer lim
x→(2a)−
g(x).
d) Calculer lim
x→2ag(x).
16 Montrer que si lim
x→af(x) = L∈R\{0}, lim x→ag(x) = 0 et g(x)6= 0 (∀x6=a), alors lim x→a
f(x)
g(x)
=∞.
17 Montrer que lim
x→1
5x+ 2
|x−1|=∞
a) en utilisant la d´efinition de limite ; b) en utilisant l’exercice pr´ec´edent.
18 Montrer que lim
x→0+f(x) = lim
y→∞ f(1/y).
19 Soit f(x) := √3x2+ 11x+7+√2x2−11x+ 7
x+√x2+ 7 . Calculer lim
x→∞ f(x).
20 Changement de variable.
Soient f:D→Ret g:f(D)→R. Si lim
x→af(x) = b∈f(D)\f(D) et lim
y→bg(y) = L, alors
lim
x→agf(x)=L. Ici, a, b, L ∈R∪{±∞} et si a∈R, alors on peut le remplacer par a+ou a−.
a) Montrer le r´esultat dans le cas a, b, L ∈R.
b) Montrer le r´esultat dans le cas a=∞et b, L ∈R.
c) Montrer le r´esultat dans le cas a+et b=L=∞.
d) Montrer le r´esultat dans le cas a=b=∞et L∈R.
21 Par d´efinition, si x > 0 et r∈R, alors xr:= erlog x.
a) Utiliser les propri´et´es de exp et log pour montrer que lim
x→∞ xrvaut ∞si r > 0, 1 si r= 0
et 0 si r < 0.
b) Montrer que lim
x→0+xrvaut 0 si r > 0, 1 si r= 0 et ∞si r < 0.
c) Montrer que si r < 0 et s∈R, alors lim
x→∞ xrlogsx= 0.
Note : ces r´esultats seront utiles pour les exercices de la s´erie D.
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C2. fonctions continues en un point
22 Utiliser la d´efinition de continuit´e pour montrer que
a) f(x) := x2est continue en tout point a∈R.
b) f(x) := 1/x est continue en tout point a∈R\ {0}.
c) f(x) := bxcest discontinue en tout point a∈Z.
d) f(x) := cos(1/x) si x6= 0 et f(0) = best discontinue en 0 peu importe la valeur de b.
e) f(x) := 0 si x∈Qet f(x) := x2sinon est continue uniquement en x= 0.
f) f(x) := 3
√xest continue en tout point a∈R.
g) f:Z→Rest continue en tout point de son domaine, peu importe la d´efinition de f.
23 Soient fet gdes fonctions continues en a. Utiliser la d´efinition de continuit´e pour montrer que
max{f, g}et min{f, g}sont des fonctions continues en a.
Note : max{f, g}(x) := max{f(x), g(x)}et min{f, g}(x) := min{f(x), g(x)}.
24 Montrer que f:D→Rest continue en a∈Dsi et seulement si pour toute suite (xn)⊆D
telle que xn→a, on a f(xn)→f(a).
25 a) Montrer que si fest continue en a, alors |f|est continue en a.
b) La r´ecriproque `a a) est-elle vraie ?
26 Existe-t-il une fonction f:R→Rtelle que fsoit discontinue en tout point de R, mais |f|
continue en tout point de R?
27 Donner un exemple d’une fonction f:R→Rqui est discontinue en tout point de Ret telle
que f◦fest continue en tout point de R.
28 Caculer les limites suivantes.
a) lim
x→0
sin x
tan x.
b) lim
x→0
x−cos x
x+ cos x.
c) lim
x→∞
cos x
x.
d) lim
x→0
6x−sin 2x
2x+ 3 sin 4x.
e) lim
x→11
1−x−3 1−x3.
f) lim
x→4
√2x+ 1 −3
√x−2−√2.
g) lim
x→0+
x
√1−cos x.
h) lim
x→0
x2sin 1
x
sin x.
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i) lim
x→0
√1 + tan x−√1−tan x
sin x.j) lim
x→a
√x−√a+√x−a
√x2−a2, (a > 0).
29 Trouver a∈Rtel que f:R→Rsoit continue en tout point de Rsi
a) f(x) := 
x2+x−6
x−2si x6= 2,
asi x= 2.
b) f(x) := 
x+ 1
x3−x2+x−1si x6= 1,
asi x= 1.
30 Trouver dans Dfl’ensemble Ades points de discontinuit´e de fet identifier l’ensemble Bdes
points de R\Dfo`u fpeut ˆetre ´etendue de fa¸con continue.
a) f(x) := x+bxc.
b) f(x) := xbxc.
c) f(x) := bsin xc.
d) f(x) := x2b1/xc.
e) f(x) := 1
sin x−cos x.
f) f(x) := (log |x|)6/7
1 + tan x.
g) f(x) := x2ex√1 + sin x
1−cos x.
31 Soit f:R\ {−1,1} → Rd´efinie par f(x) := lim
n→∞
x2n+ 1
x2n−1.
a) V´erifier que fest continue sur son domaine.
b) Est-il possible d’´etendre fde fa¸con continue en x=±1 ?
32 Soit k∈Net soit f:R\ {0} → Rd´efinie par f(x) := xk+1 cos (4k+1)πx−2
2x. Peut-on prolonger f
de fa¸con continue en x= 0 ?
33 Soit f:R→Rune fonction satisfaisant f(x+y) = f(x) + f(y) pour tout x, y ∈R.
a) Montrer que fest impaire.
b) Montrer que si fest continue en 0, alors fest continue en tout point de R.
c) Montrer qu’il existe une constante ktelle que f(n) = kn pour tout n∈N.
d) Montrer qu’il existe une constante ktelle que f(q) = kq pour tout q∈Q.
e) Montrer que si fest continue en 0, alors il existe une constante ktelle que f(x) = kx pour
tout x∈R.
Cela montre que toute fonction additive sur Rqui est continue en 0 est lin´eaire.
34 Fonction de Thomae. Consid´erer la fonction f: (0,1) →Rd´efinie par
f(x) := 
0 si x6∈ Q,
1
qsi x=p q, o`u p, q ∈Net pgcd(p, q) = 1.
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