Matrices carrées inversibles et applications I. Matrice inverse d’une matrice carrée d’ordre n 1) Définition : On dit que la matrice carrée A d’ordre n est inversible lorsqu’il existe une matrice carrée B d’ordre n telle que : AB = BA = In. Dans ce cas, B est unique et on dit que B est la matrice inverse de A ; on note B = A-1. Remarque : Si A est inversible et si A-1 est sa matrice inverse, alors A-1 est inversible et A est sa matrice inverse : ( A-1)-1 = A Exemples : 4 11 0,8 1,1 et B = sont inverses l’une de l’autre. Montrer que A = 0,2 0,4 2 8 1 2 1 2 5 11 Montrer que A = 5 3 7 et B = 1 1 2 sont inverses l’une de l’autre. 2 1 3 1 3 7 1 1 1 Monter que A = 1 1 1 n’est pas inversible. 1 1 1 a b c Existe-t-il une matrice B = d e f telle que AB = g h i a d g b e h c f i AB = a d g b e h c f i a d g b e h c f i 1 0 0 0 1 0 ? 0 0 1 Alors a, d et g sont tels que a+d+g = 1 et a+d+g = 0 ce qui est impossible donc B n’existe pas. A n’est pas inversible. Ex 1-2-3-4-5 p.119 2) Propriété Soit A une matrice inversible de taille n. Pour toutes matrices M et N carrées ou colonnes de tailles n, on a : AM=N M = A-1 N Dem : En multipliant l’égalité par A-1. Propriété : Soit A une matrice inversible. Pour tout réel k 0, la matrice kA est inversible et sa matrice inverse est Dem : produit des deux matrices 1 1 A . k Ex 6-7-8-9 p.119 1 http://playmaths.free.fr 3)Inverse d’une matrice carrée d’ordre 2 Définition : a b a b , on appelle déterminant de A le nombre : dét A = Soit A = = ad – bc c d c d Propriété : a b une matrice non nulle. Soit A = c d A est inversible dét A 0 Dem : d b . Soit B = c a AB = … = (det A) I2. Donc 1 1 si det A 0, A B I2 , donc A est inversible et A 1 B det A det A si det A = 0, alors AB = 02, donc A n’est pas inversible, car si A était inversible de matrice inversible C, on aurait CAB =I2B = B et CAB = C02 = 02. B serait la matrice nulle, ce qui n’est pas le cas. Exemple : Les matrices suivantes sont-elles inversibles ? 5 3 A = det A = 0 ; A n’est pas inversible. 10 6 1 2 B = det B = 10 0 ; B est inversible. B-1 = 3 4 0,4 0,2 0,3 0,1 Ex 10-11-12-13-14 II. Systèmes linéaires 1) Ecriture matricielle d’un système linéaire Exemple : Un système de deux équations linéaires à deux inconnues peut s’écrire comme une égalité de deux matrices. x 2y 6 1 2 x 6 Par exemple : est équivalent à 3 5 y 17 3x 5y 17 1 2 , X = Si on pose A = 3 5 6 x et C = , le système s’écrit AX = C. y 17 Cette notation fournit une méthode pour résoudre le système dans le cas où A admet une inverse A-1 : A-1(AX) = A-1C, d’où (A-1A)X = A-1C, donc I2X = A-1C, c’est à dire X = A-1C. 2 http://playmaths.free.fr 5 2 x 5 2 6 4 donc = = Ici A-1 = y 3 1 17 1 3 1 On en déduit x = 4 et y = -1 2) Définition : Tout système linéaire de n équations à p inconnues, peut s’écrire sous une forme matricielle du type AX = B, où A est une matrice de taille np. Propriété : Soit AX = B l’écriture matricielle d’un système linéaire. Si la matrice carrée A est inversible , alors le système a une unique solution. Cette solution est donnée par X = A-1B. Dem : AX = B X = A-1B Propriété (admise) Soit AX = B l’écriture matricielle d’un système linéaire. Si la matrice A n’est pas inversible, alors : Soit le système a une infinité de solutions Soit le système n’a pas de solution. Exemple : x 2y z 3 1 2 1 x 3 5x 3y 7z 8 est équivalent à 5 3 7 y 8 2 1 3 z 4 2x y 3z 4 1 2 1 x 3 Si on pose A = 5 3 7 , X = y et C = 8 , le système s’écrit AX = C. 2 1 3 z 4 2 5 11 x 2 5 11 3 2 Ici A = 1 1 2 donc y = 1 1 2 8 = 3 1 3 7 z 1 3 7 4 1 On en déduit x = 2, y = 3 et z = 1 -1 Ex 17-18-19Ex 26-27 … p.121 Ex 54 p.129 3 http://playmaths.free.fr