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Matrices carrées inversibles et applications
I. Matrice inverse d’une matrice carrée d’ordre n
1) Définition :
On dit que la matrice carrée A d’ordre n est inversible lorsqu’il existe une matrice carrée B
d’ordre n telle que : AB = BA = In.
Dans ce cas, B est unique et on dit que B est la matrice inverse de A ; on note B = A-1.
Remarque : Si A est inversible et si A-1 est sa matrice inverse, alors A-1 est inversible et A
est sa matrice inverse : ( A-1)-1 = A
Exemples :
 4  11 
 0,8 1,1 
 et B = 
 sont inverses l’une de l’autre.
Montrer que A = 
 0,2 0,4 
 2 8 
1 2 1 
  2 5  11 




Montrer que A =  5  3 7  et B =   1 1
 2  sont inverses l’une de l’autre.
2  1 3 
 1 3 7 




1 1 1 


Monter que A =  1 1 1  n’est pas inversible.
1 1 1 


 a b c


Existe-t-il une matrice B =  d e f  telle que AB =
g h i 


 a  d  g b  e  h c  f  i


AB =  a  d  g b  e  h c  f  i 
 a  d  g b  e  h c  f  i


 1 0 0


0 1 0 ?
0 0 1 


Alors a, d et g sont tels que a+d+g = 1 et a+d+g = 0 ce qui est impossible donc B n’existe pas.
A n’est pas inversible.
Ex 1-2-3-4-5 p.119
2) Propriété
Soit A une matrice inversible de taille n.
Pour toutes matrices M et N carrées ou colonnes de tailles n, on a :
AM=N

M = A-1 N
Dem :
En multipliant l’égalité par A-1.
Propriété :
Soit A une matrice inversible.
Pour tout réel k  0, la matrice kA est inversible et sa matrice inverse est
Dem : produit des deux matrices
1 1
A .
k
Ex 6-7-8-9 p.119
1
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3)Inverse d’une matrice carrée d’ordre 2
Définition :
a b
 a b
 , on appelle déterminant de A le nombre : dét A =
Soit A = 
= ad – bc
c d
 c d
Propriété :
 a b
 une matrice non nulle.
Soit A = 
 c d
A est inversible  dét A  0
Dem :
 d  b
 .
Soit B = 

c
a


AB = … = (det A) I2.
Donc
1
1
si det A  0, A 
 B  I2 , donc A est inversible et A 1 
B
det A
det A
si det A = 0, alors AB = 02, donc A n’est pas inversible, car si A était inversible de matrice
inversible C, on aurait CAB =I2B = B et CAB = C02 = 02.
B serait la matrice nulle, ce qui n’est pas le cas.
Exemple :
Les matrices suivantes sont-elles inversibles ?
  5  3

A = 
det A = 0 ; A n’est pas inversible.
 10 6 
 1  2

B = 
det B = 10  0 ; B est inversible. B-1 =
3
4


 0,4 0,2 


  0,3 0,1 
Ex 10-11-12-13-14
II. Systèmes linéaires
1) Ecriture matricielle d’un système linéaire
Exemple :
Un système de deux équations linéaires à deux inconnues peut s’écrire comme une égalité de
deux matrices.
x  2y  6
 1  2  x   6 
    
Par exemple : 
est équivalent à 
 3  5  y  17 
3x  5y  17
 1  2
 , X =
Si on pose A = 
3  5 
6
x
  et C =   , le système s’écrit AX = C.
y
17 
Cette notation fournit une méthode pour résoudre le système dans le cas où A admet une
inverse A-1 : A-1(AX) = A-1C, d’où (A-1A)X = A-1C, donc I2X = A-1C, c’est à dire X = A-1C.
2
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  5 2
 x    5 2  6   4 
 donc   = 
   =  
Ici A-1 = 
 y    3 1  17    1 
3 1
On en déduit x = 4 et y = -1
2) Définition :
Tout système linéaire de n équations à p inconnues, peut s’écrire sous une forme matricielle
du type AX = B, où A est une matrice de taille np.
Propriété :
Soit AX = B l’écriture matricielle d’un système linéaire.
Si la matrice carrée A est inversible , alors le système a une unique solution.
Cette solution est donnée par X = A-1B.
Dem :
AX = B  X = A-1B
Propriété (admise)
Soit AX = B l’écriture matricielle d’un système linéaire.
Si la matrice A n’est pas inversible, alors :
 Soit le système a une infinité de solutions
 Soit le système n’a pas de solution.
Exemple :
x  2y  z  3
 1  2 1  x    3 

   

5x  3y  7z  8 est équivalent à  5  3 7  y    8 
 2  1 3  z   4 
2x  y  3z  4

   

1 2 1 
x
  3


 
 
Si on pose A =  5  3 7  , X =  y  et C =  8  , le système s’écrit AX = C.
2  1 3 
z
 4 


 
 
  2 5  11 
 x    2 5  11    3   2 



  
  
Ici A =   1 1
 2  donc  y  =   1 1
 2   8  = 3
 1 3 7 
z  1  3 7   4  1 



  
  
On en déduit x = 2, y = 3 et z = 1
-1
Ex 17-18-19Ex 26-27 … p.121
Ex 54 p.129
3
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