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Matrices carrées inversibles et applications
I. Matrice inverse d’une matrice carrée d’ordre n
1) Définition :
On dit que la matrice carrée A d’ordre n est inversible lorsqu’il existe une matrice carrée B
d’ordre n telle que : AB = BA = In.
Dans ce cas, B est unique et on dit que B est la matrice inverse de A ; on note B = A-1.
Remarque : Si A est inversible et si A-1 est sa matrice inverse, alors A-1 est inversible et A
est sa matrice inverse : ( A-1)-1 = A
Exemples :
Montrer que A =
82
114
et B =
4,02,0
1,18,0
sont inverses l’une de l’autre.
Montrer que A =
312
735
121
et B =
731
211
1152
sont inverses l’une de l’autre.
Monter que A =
111
111
111
n’est pas inversible.
Existe-t-il une matrice B =
ihg
fed
cba
telle que AB =
100
010
001
?
AB =
ifchebgda
ifchebgda
ifchebgda
Alors a, d et g sont tels que a+d+g = 1 et a+d+g = 0 ce qui est impossible donc B n’existe pas.
A n’est pas inversible.
Ex 1-2-3-4-5 p.119
2) Propriété
Soit A une matrice inversible de taille n.
Pour toutes matrices M et N carrées ou colonnes de tailles n, on a :
A M = N  M = A-1 N
Dem :
En multipliant l’égalité par A-1.
Propriété :
Soit A une matrice inversible.
Pour tout réel k  0, la matrice kA est inversible et sa matrice inverse est
1
A
k
1
.
Dem : produit des deux matrices
Ex 6-7-8-9 p.119

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3)Inverse d’une matrice carrée d’ordre 2
Définition :
Soit A =
dc
ba
, on appelle déterminant de A le nombre : dét A =
dc
ba
= ad – bc
Propriété :
Soit A =
dc
ba
une matrice non nulle.
A est inversible dét A 0
Dem :
Soit B =
ac
bd
.
AB = … = (det A) I2.
Donc
si det A  0,
2
IB
Adet
1
A
, donc A est inversible et
B
Adet
1
A1
si det A = 0, alors AB = 02, donc A n’est pas inversible, car si A était inversible de matrice
inversible C, on aurait CAB =I2B = B et CAB = C02 = 02.
B serait la matrice nulle, ce qui n’est pas le cas.
Exemple :
Les matrices suivantes sont-elles inversibles ?
A =
610
35
det A = 0 ; A n’est pas inversible.
B =
43
21
det B = 10 0 ; B est inversible. B-1 =
1,03,0
2,04,0
Ex 10-11-12-13-14
II. Systèmes linéaires
1) Ecriture matricielle d’un système linéaire
Exemple :
Un système de deux équations linéaires à deux inconnues peut s’écrire comme une égalité de
deux matrices.
Par exemple :
17y5x3
6y2x
est équivalent à
17
6
y
x
53
21
Si on pose A =
53
21
, X =
y
x
et C =
17
6
, le système s’écrit AX = C.
Cette notation fournit une méthode pour résoudre le système dans le cas où A admet une
inverse A-1 : A-1(AX) = A-1C, d’où (A-1A)X = A-1C, donc I2X = A-1C, c’est à dire X = A-1C.

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Ici A-1 =
13
25
donc
y
x
=
13
25
17
6
=
1
4
On en déduit x = 4 et y = -1
2) Définition :
Tout système linéaire de n équations à p inconnues, peut s’écrire sous une forme matricielle
du type AX = B, où A est une matrice de taille np.
Propriété :
Soit AX = B l’écriture matricielle d’un système linéaire.
Si la matrice carrée A est inversible , alors le système a une unique solution.
Cette solution est donnée par X = A-1B.
Dem :
AX = B  X = A-1B
Propriété (admise)
Soit AX = B l’écriture matricielle d’un système linéaire.
Si la matrice A n’est pas inversible, alors :
 Soit le système a une infinité de solutions
 Soit le système n’a pas de solution.
Exemple :
4z3yx2
8z7y3x5
3zy2x
est équivalent à
4
8
3
z
y
x
312
735
121
Si on pose A =
312
735
121
, X =
z
y
x
et C =
4
8
3
, le système s’écrit AX = C.
Ici A-1 =
731
211
1152
donc
z
y
x
=
731
211
1152
4
8
3
=
1
3
2
On en déduit x = 2, y = 3 et z = 1
Ex 17-18-19-
Ex 26-27 … p.121
Ex 54 p.129