Matrices inversibles

Chapitre IV
Matrices inversibles - Applications
1 Inverse d’une matrice carrée
Définition 1 Soit Aune matrice carrée d’ordre n≥2. Dire que Aest inversible signifie
qu’il existe une matrice carrée d’ordre ntelle que AB =BA =In.
Propriété 1 S’il existe Btelle que AB =In(ou BA =In), alors Aest inversible.
Propriété 2 Si Aest inversible, son inverse est unique et notée A−1
Propriété 3 Une matrice carrée A=a b
c dd’ordre 2est inversible si et seulement si son
déterminant ad −bc est non nul.
Dans ce cas, on a A−1=1
ad −bc d−b
−c a .
Remarque 1 Dans la pratique, on utilisera la calculatrice pour inverser une matrice.
2 Écriture matricielle d’un système linéaire
Soit (S)le système : 2x−3y= 1
5x+ 7y=−3.
(S)s’écrit sous forme matricielle AX =Bavec A=2−3
5 7 ;X=x yet B=1 −3
Propriété 4 Soit Aune matrice carrée inversible et Bune matrice colonne.
Le système dont l’écriture matricielle est AX =Badmet une unique solution : X=A−1B.
Démonstration :
Si AX =Bet Ainversible alors A−1A
|{z}
In
X=A−1Bsoit X=A−1B.
Réciproquement, si X=A−1Balors AX =AA−1B=B.
On a donc bien AX =B⇐⇒ X=A−1B.
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3 Matrices diagonalisables
Définition 2 Soit Aune matrice carrée d’ordre n. On dit que Aest diagonalisable s’il existe
une matrice carrée Pd’ordre ninversible et une matrice Ddiagonale telles que A=P DP −1
Remarque 2 Toutes les matrices ne sont pas diagonalisables. Déterminer si une matrice
est diagonalisable nécessite des connaissances d’algèbre linéaire hors-programme. En TS, on
donnera donc les matrices Pet Dtelles que A=P DP −1. On peut aussi utiliser un logiciel
de calcul formel. Par exemple, sous xcas, l’instruction jordan(A) donne, si elles existent, les
matrices Pet D. L’intérêt de la diagonalisation réside dans la propriété qui suit (énoncée
pour les matrices d’ordre 2) qui se démontre facilement par récurrence :
Propriété 5 Soit Aune matrice carrée d’ordre 2telle que A=P DP −1avec D=a0
0b.
Alors, pour tout n∈N, An=P DnP−1=Pan0
0bnP−1.
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