Intégrale d`une fonction continue sur un segment et dérivation

I Le résultat fondamental
A) Théorème
Théorème :
Soit I un intervalle de R, et
RIf :
une fonction continue. Soit
Ia
.
Alors l’application
x
adttfx
IF )( :
R
(qui est bien définie sur I car
Ix
,
Ixa 
],[
,
et donc f est continue sur ce segment) est dérivable de dérivée f.
Démonstration :
Soit
Ix 
0
. Montrons que F est dérivable en
0
x
et que
)()(' 00 xfxF 
.
Pour cela, étudions
)(
)()( 0
0
0xf
xx xFxF 
pour
0
\xIx
, de manière à montrer que
cela tend vers 0 quand x tend vers
0
x
.
0
0
0
0)()(
)()( xxf
xx xFxF
Pour cela, étudions
)()()()( 000 xfxxxFxF 
pour
0
\xIx
:
00
,
00
00
,
00
0
00
00000
si )()(sup)()()(
si )()(sup)()()(
))()((
)()()(
)()()()()()()()(
0
0
0
0
0
0
0
xxxftfxxdtxftf
xxxftfxxdtxftf
dtxftf
xfxxdttf
xfxxdttfdttfxfxxxFxF
xxt
x
x
xxt
x
x
x
x
x
x
x
a
x
a
Dans les deux cas :
)()(sup)()()()( 0
],[
0000
0
xftfxxxfxxxFxF xxt 
Donc
)()(sup)(
)()( 0
],[
0
0
0
0
xftfxf
xx xFxF
xxt 
Or,
0)()(sup 0
0
0
],[   
xx
xxt xftf
. En effet :
Soit
0
, soit
0
tel que
 )()(, 00 xfxfxxIx
( existe car f
est continue en
0
x
). Alors, pour
Ix
tel que
 0 xx
, on a
],[ 0  xxt
,
 tx0
.
Donc
],[ 0  xxt
,
 )()( 0 xftf
.
Donc
)()(sup 0 ],[ 0
xftf
xxt
, soit
)()(sup 0 ],[ 0
xftf
xxt
Donc
)()(sup,,0,0 0
],[
0
0
xftfxxIx xxt
, ce qui montre la
limite voulue.
D’où on tire alors le résultat voulu.
B) Remarques
Intégrale d’une fonction continue sur un segment et dérivation

Soit f une fonction définie sur I, où I est un intervalle. On suppose f non continue,
mais cependant continue par morceaux sur tout segment contenu dans I.
Alors, pour tout
Ia
,
x
adttfx
IF )( :
R
est parfaitement définie car f est continue
par morceaux sur le segment
],[ xa
.
 Elle est continue :
Soit
Ix 
0
,
0h
. Soit
IhxhxS  00 ,
. Pour tout
Sx
, on a :
)(sup)()()( 00 0tfxxdttfxFxF St
x
x
Donc F est lipschitzienne sur S, donc sur un voisinage de
0
x
. Donc F est continue
en
0
x
.
 De plus, la démonstration précédente montre que F est dérivable en tout
Ix 
0
où f est continue.
 En revanche, F n’est pas dérivable en un
0
x
où f n’est pas continue. Exemple :
l'
l
0
x
hx 
0
hx 
0
f étant continue par morceaux sur un segment contenant
0
x
, elle admet une limite
finie à
lx
lx
disons ,en gauche
' disons ,en droite
0
0
En se plaçant dans le cas de la figure :
F est dérivable de dérivée f sur
00 ,xhx 
, mais aussi sur
hxx 
00 ,
.
Si F était dérivable en
0
x
, le théorème sans nom dirait :
 '
0)('lim)(')('lim
00 00
l
xx xx
l
xx xx xFxFxF
, d’où contradiction.
C) Conséquence du théorème
Théorème :
Soit f une fonction continue sur un intervalle I.
Alors :
(1) f admet des primitives sur I.
(2) Si G est une primitive de f sur I, alors les primitives de f sur I sont exactement
les
cteG
(3) Pour tout
Ia
,
x
adttfx )(
est l’unique primitive de f qui s’annule en a.
(4) Si G est une primitive de f, alors, pour tout
Iba ,
, on a :
)()()( aGbGdttf
b
a
, noté
b
a
tG )(
Démonstration :
(1) Voir théorème : si on se donne
Ia
,
x
adttfxF )(: 
est une primitive de f.
(2) Si F et G sont deux primitives de f sur I, alors :
)(')(', tGtFIt 
, donc
0)()'(,  tGFIt
. Donc
cteGF
car I est un
intervalle. Inversement, si G est une primitive, alors
cteG
en est aussi une
(3)
x
adttfx )(
est une primitive, elle est nulle en a, et c’est la seule d’après
(2).

(4) Soit G une primitive de f. Alors la fonction
)()(: aGtGtF 
est une
primitive de f qui s’annule en a. Alors
)()()()( aGbGbFdttf
b
a
D) Exercices d’application
 Soit
xtdtexF 0
2
:
. Alors, comme
2
t
et 
est continue sur R, F est définie
et dérivable sur R, et :
2
)(', x exFx   R
. D’où étude (en exercice)…
 Soit
2
1
:x
x
tdt
te
x
.
- Déjà,
2
1
x
x
tdt
te
a un sens lorsque
1
:te tf t
est définie et continue
(intégrable suffit mais ici c’est pareil…) sur le segment
],[ 2
xx
, c'est-à-dire
lorsque 1 n’appartient pas au segment
],[ 2
xx
, c'est-à-dire lorsque
1x
ou
11  x
. Ainsi, le domaine de définition de est
1\,1D
- Justifier que est dérivable sur D, donner
)(' x
:
o Dérivabilité sur
,1
:
f est continue sur l’intervalle
,1
. Donc elle y admet une primitive,
disons F. Alors
)()()(,,1 2xFxFxx 
((4) du théorème
précédent). Donc est dérivable sur
,1
et, pour tout
,1x
:
11
2
)(')('2)(' 2
2
2
 xe
xxe
xFxxFxxx
o Dérivabilité sur
1,1
: analogue.
E) Les choses fausses
 f intégrable sur un segment
ba,
f admet une primitive sur
ba,
 f admet une primitive sur
ba,
f est intégrable sur
ba,
Exemples :
 Si f est continue par morceaux sur
ba,
(mais pas continue)
Alors f est intégrable sur
ba,
, mais n’admet pas de primitive sur
ba,
:
Si F en était une, il y aurait contradiction avec le théorème sans nom pour
)(' cF
où c est un point de discontinuité.
 Considérons
0 si 0
1,0 si
1
sin
:2
2
x
x
x
x
xF 
Alors F est dérivable sur
1,0
, et :
222
2
32 1
cos
21
sin2
1
cos
21
sin2)(',1,0 x
x
x
x
x
x
xx
xxFx 
De plus, pour tout
1,0x
:
0
1
sin
0)0()( 0
2 
x
x
x
xFxF
. Donc F est
dérivable en 0 et
0)0(' F
La fonction
0 si 0
1,0 si
1
sin2
:2
x
x
x
x
xg 
est continue sur
1,0
. Elle y admet donc
une primitive G. Ainsi, pour tout
1,0x
:

)(')('
1
cos
22xFxG
x
x
La fonction
0 si 0
1,0 si
1
cos
22
x
x
x
x
x
admet donc une primitive sur
1,0
(à savoir
FG 
), mais elle n’est pas intégrable car non bornée.
(Remarque : elle n’est pas continue en 0, ni continue par morceaux sur
1,0
car, en
0, il n’y a pas de limite finie à droite)
 On rappelle aussi que pour f continue sur D, si F est une primitive de f sur D, il
est faux en général que les primitives de f sur D sont les
cteF
(car D n’est
pas forcément un intervalle)
II Tableau des primitives usuelles
Tableau donnant la valeur en x d’une primitive F pour une fonction f continue sur un
intervalle I :
ctecosln
2
,
2
tan
cteArgcoth
cteArgth
cte1ln
2
1
1ln
2
1
1,,,1
1,1
,1,1,1,1,
11
cte)(Argch
cteArgch
1,
,1
1
1
cteArgsh
1
1cteArccosou
cteArcsin
1,1
1
1
cteArctan
11
x
ctechsh
cteshch
ctecossin
ctesincos
cte
cte
1
*
1\,
cteln
cte)ln(
cteln
*
*
cte
1
*
ou
*
2,
cte
1
,
2
2
2
2
2
1
1
1
1
xxkkIxx
xx
xx
xxx
x
x
xx
xx
x
x
xx
x
x
xx
xx
x
x
xx
x
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
exex
x
xxx
xx
xx
xx
xx
n
x
xnxx
n
x
xnxx
FIf
k
xx
n
n
n
n
R
R
R
R
R
R
R
RR
R
R
RR
RN

III Intégration par parties
A) Théorème
Théorème :
Soient
Rba,
.
Soient f, g deux fonctions de classe C1 sur le segment
],[  ba
.
Alors
  b
a
b
a
b
adttgtftgtfdttgtf )()(')()()(')(
.
Démonstration :
)(')( tgtft 
et
)()(' tgtft 
sont continues sur
],[  ba
, donc déjà les deux
intégrales on un sens. De plus, une primitive de la fonction
)(')()()(' tgtftgtft 
(continue) est
)()( tgtft 
. Donc
b
a
b
atgtfdttgtftgtf )()())()(')(')(( 
D’où le résultat par linéarité.
B) Exemples pratiques
2ln
2
1
4
)1ln(
2
1
41
ArctanArctan 1
0
2
1
02
2
1
0
)(1)(' 1
1
)('Arctan)(
partiespar n intégratio
1
0
2
tdt
t
t
ttdtt
ttgtg t
tfttf
Remarque : pour tout
Rx
, on a de même :
0
2
0cte)1ln(
2
1
ArctanArctan
xxxdtt
x
Or,
xdttx 0Arctan
est une primitive de la fonction continue
Arctan
. Ainsi,
une primitive de
Arctan
est
)1ln(
2
1
Arctan 2 xxxx 
On trouve parfois (mais il faut éviter de l’utiliser) la notation :
cte)1ln(
2
1
ArctanArctan 2
indéfinie intégrale
xxxdxx
 Pour tout
*
Rx
,
1lnlnln 1
1
)(1)('
1
)('ln)(
1 
xxxdttttdt x
x
ttgtg t
tfttf
x
Ainsi, une primitive de
ln
sur
*
R
est
xxxx ln
.
Pour tout
Nn
(voire même
1\ Z
) :
2
)1(
1
1
1
1
1
1
1
1cte
1
ln
1
11
1
ln
1
ln
n
n
n
xn
x
n
xnn
x
xx
n
dt
tn
t
t
n
t
tdtt
pour
1n
:
  x
x
xdt
tt
tdt
tt
1
1
2
1
ln
ln
ln
, d’où
xdt
tt
x2
1ln
2
1ln 
 Pour tout
Rx
,
Nn
on note
xtn
ndtetxI 0
)(
Alors :
)()1()1()( 1
0
0
1
0
1
1xInexdtetnetdtetxI n
xn
xtn
x
tn
xtn
n 
0
0
2
0
2cos2cossin xdxxxxxdxx