TD9. Variables aléatoires

Faculté des Sciences et Techniques de Limoges
Licence MISM, 6
e
2006-07
Mesure, intégration, probabilités
semestre
TD9. Variables aléatoires
Exercice 1
On se place dans (R2 , BR2 ) ; on considère le carré C = [−1, 1] × [−1, 1] et les applications X(x, y) =
x, S(x, y) = x + y .
(a) Déterminer a pour que p = aλ|C , où λ désigne la mesure de Lebesgue de R2 , soit une probabilité
sur (R2 , BR2 ). Vérier que X et S sont mesurables (R étant muni de la tribu BR ).
(b) Calculer pX ( ] − ∞, t[ ) = p(X < t) pour tout t ∈ R. Tracer le graphe de la fonction de
répartition FpX de la variable aléatoire réelle X . Quelle est la loi de X ?
(c) Faire de même pour la variable aléatoire réelle S . A-t-elle la même loi que X ?
(d) Montrer que FpS est dérivable sur R, en déduire la densité de S (c'est-à-dire de pS ) par rapport
à λR , la mesure de Lebesgue sur R.
(e) Calculer les espérances de X et de S . Que vaudraient-elles si on remplaçait C par C 0 =
[0, 2] × [−1, 1] ?
Exercice 2
Dans chacun des cas suivants, donner une description de l'ensemble de départ de la variable
aléatoire X comptant le nombre d'As obtenus et déterminer sa loi de probabilité, son espérance
et sa variance :
(i) on tire une carte au hasard dans un jeu de 32 cartes ;
(ii) on tire et on remet successivement 10 cartes au hasard dans un jeu de 32 cartes ;
(iii) on tire en une fois 10 cartes au hasard dans un jeu de 32 cartes.
Exercice 3
Soit X une variable aléatoire à valeurs dans N, dénie sur un espace avec probabilité p.
(a) Etablir les formules :
E(X) =
+∞
X
k=1
p(X ≥ k) ,
+∞ X
+∞
X
E X(X − 1) = 2
p(X ≥ l) .
k=2 l=k
(b) En déduire l'espérance et la variance de la variable aléatoire comptant le nombre de jets
nécessaires pour obtenir 5 As au poker de dés (au 1er jet, on lance les 5 dés ; au 2e jet, on
relance les dés qui n'ont pas donné un As auparavant ; etc.).
Exercice 4
On rappelle qu'une variable aléatoire X à valeurs dans N suit la loi hypergéométrique de paramètres n, a, b (où n ≤ a + b) si
p(X = k) =
a
k
b
n−k
a+b
n
si max{0, n − b} ≤ k ≤ min{a, n} ,
p(X = k) = 0 sinon.
(a) On rappelle que
formule :
a+b
n
compte le nombre de façons de choisir n objets parmi a + b. Etablir la
min{a,n}
a X
k
k=max{0,n−b}
Qu'en déduit-on pour
R
N dpX
=
a+b
n
.
?
min{a,n}
(b) Vérier que E(X) =
b
n−k
X
k
a
k
k=max{1,n−b}
b
n−k
a+b
n
; procéder au changement de variables : k0 =
k − 1, n0 = n − 1, a0 = a − 1, b0 = b, pour en déduire que E(X) =
(c) On montre par un raisonnement analogue que
min{a,n}
X
k(k − 1)
k=max{0,n−b}
a
k
b
n−k
a+b
n
en déduire que le moment d'ordre 2 vaut m2 (X) =
V ar(X) =
=
a(a − 1)n(n − 1)
;
(a + b)(a + b − 1)
an(an−n+b)
(a+b)(a+b−1) ,
puis que
abn(a + b − n)
.
(a + b)2 (a + b − 1)
(d) On fait maintenant tendre N = a + b vers l'inni, en gardant p =
que n et k. Montrer que
lim p(X = k) =
N
(On commencera par exprimer
équivalent quand
N → +∞
p(X = k)
an
.
a+b
a
a+b
et q =
b
a+b
xes, ainsi
n k n−k
p q
.
k
en fonction de
N , p, q , n
et
k,
et on cherchera un
N!
de (N −r)! .)
Exercice 5
La fabrication d'un objet dans une usine s'eectue avec 4% de défauts. Calculer la probabilité Pk
qu'un lot de 35 objets choisis au hasard comprenne k objets défectueux, pour k = 0, 1, 2, 3.
Refaire le calcul en utilisant l'approximation par la loi de Poisson.
Exercice 6
On donne ci-dessous la table de la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite N (0, 1).
(a) Soit X une variable aléatoire de loi N (−1, 2). Calculer P (X < 1,91), P (X > 0,82), P (0,82 <
X < 1, 91), P (−0,82 < X < 1, 91), P (X 2 < 1,44), P (log |X| < 0).
Trouver a tel que P (X > a) = 0,400.
(b) Soit Y et Z deux variables aléatoires de loi de Laplace-Gauss. Calculer E(Y ) sachant que
V ar(Y ) = 4 et P (Y > 2) = 0,4 ; calculer V ar(Z) sachant que E(Z) = −2,5 et P (Z < 0) = 0,9.
Exercice 7
Soit X la variable aléatoire positive associée à la durée de vie d'un atome radioactif. On admet
que P (X ≥ x) > 0 pour tout x ≥ 0. On veut montrer l'équivalence des deux propriétés suivantes :
(P1) la probabilité que l'atome vive pendant un temps supplémentaire ≥ b sachant qu'il est en
vie à l'instant a est égale à la probabilité qu'il vive au moins un temps b :
∀a, b ≥ 0 ,
p(X ≥ a+b | X ≥ a) = p(X ≥ b) ;
(P2) la loi de probabilité de la durée de vie est exponentielle de paramètre σ > 0, c'est-à-dire que
X a pour densité la fonction f (x) = σ1 e−x/σ si x ≥ 0, f (x) = 0 sinon.
On note F la fonction de répartition de la loi de X telle que F (0) = 0.
(a) On suppose (P2) satisfaite. Déterminer p(X ≤ a) pour tout a ≥ 0, en déduire p(X ≥ a), puis
que (P1) est satisfaite.
(b) On suppose que (P1) est satisfaite et on note G = 1 − F .
(i) Montrer que G(a + b) = G(a)G(b) pour tous a, b ≥ 0 ;
(ii) montrer qu'il existe σ > 0 tel que G(1) = e−1/σ ;
(iii) en déduire que G(q) = e−q/σ pour tout q ∈ Q+ , puis que que (P2) est satisfaite.
Exercice 8
On suppose que les trois variables aléatoires U, V et W = max{U, V } suivent la même loi. Pour
t ∈ R, on considère les ensembles :
At = {(x, y) ∈ R2 | x > t , y < t} ,
Bt = {(x, y) ∈ R2 | x < t , y > t} .
1. Soit t ∈ R.
a) Que dire de p(U<t), p(V <t) et p(W<t) en utilisant l'hypothèse ?
b) Exprimer p(U <t), p(V <t) et p(W <t) comme les mesures par p(U,V ) de certains domaines
du plan.
c) En déduire que les ensembles At et Bt sont p(U,V ) -négligeables.
2. On note ∆ = {(x, x) ∈ R2 , x ∈ R} la première bissectrice.
a) Montrer que son complémentaire dans le plan est la réunion des At et des Bt pour t ∈ R,
puis qu'on peut se restreindre à t dans un ensemble inni dénombrable, à préciser.
b) Établir que la mesure p(U,V ) est à support inclus dans ∆.
3. On suppose maintenant U et V indépendantes.
a) Soient x ≤ y des réels, déterminer l'intersection de Qx,y =] − ∞, x[ × ] − ∞, y[ avec ∆.
b) En calculant la mesure par p(U,V ) de Qx,y , en déduire que F (x)F (y) = F (x)2 , où F est la
fonction de répartition de U et de V .
c) Qu'en déduit-on pour la loi commune de U , V et W ?