Cours «Suites Usuelles

Suites usuelles
17 janvier 2010
1 Suites arithmétiques
1.1 Dénition. Soit α et r deux complexes. On appelle suite arithmétique de
premier terme α et de raison r la suite u dénie par
(
u0 = α
∀n ∈ N un+1 = r + un
1.2 Remarque. Une suite arithmétique est à valeurs réelles si et seulement si son
premier terme et sa raison sont réels.
1.3 Proposition. Soit r ∈ C et u une suite arithmétique de raison r. Alors
∀n ∈ N, un = nr + u0 . De plus
∀n ∈ N
n
X
uk = (n + 1)
k=0
u0 + un
2
1.4 Proposition. Soit r ∈ R et u une suite arithmétique à valeurs réelles de
raison r. Alors
Si r > 0, alors u −−→ +∞
+∞
Si r = 0, u est la suite constante de valeur u0 donc u −−→ u0
+∞
Si r < 0, alors u −−→ −∞
+∞
1.1 Suites géométriques
1.5 Dénition. Soit α et r deux complexes. On appelle suite géométrique de
premier terme α et de raison r la suite u dénie par
(
u0 = α
∀n ∈ N un+1 = r.un
1.6 Remarque. Une suite géométrique est à valeurs réelles si et seulement si son
premier terme est nul ou bien son premier terme et sa raison sont réels.
1.7 Proposition.
Soit r ∈ C et u une suite géométrique de raison r. Alors
∀n ∈ N, un = rn u0 . De plus
si r 6= 1, alors
n
X
1 − rn+1
∀n ∈ N
uk = u0
1−r
k=0
1
si r = 1, alors
∀n ∈ N
n
X
uk = (n + 1)u0
k=0
1.8 Proposition.
Soit r ∈ R et u une suite réelle géométrique de raison r et
de premier terme non nul.
Si r ∈] − ∞, −1], alors la suite u n'a pas de limite, ni nie, ni innie.
Si r ∈] − 1, 1[ (c'est-à-dire |r| < 1), alors la suite u converge vers 0.
Si r = 1, alors la suite u est la suite constante, de valeur u0 , elle converge
donc vers u0 .
Si r ∈]1, +∞[, alors la suite u diverge vers +∞ si u0 > 0 et vers −∞
sinon.
La suite r converge si et seulement si r ∈] − 1, 1] (c'est-à-dire |r| < 1 ou
r = 1).
2 Suite arithmético-géométrique
2.1 Dénition. Une suite u est dite suite arithmético-géométrique s'il existe
deux complexes a et b vériant : ∀n ∈ N un+1 = aun + b.
2.2 Remarque. Il s'agit d'une généralisation des notions de suites aritmétiques
et géométriques :
Si a = 1, alors u est une suite arithmétique.
Si b = 0, alors u est une suite géométrique.
2.3 Remarque. Ces suites interviennent fréquemment dans des problèmes concrets :
évolution du capital restant à rembourser en fonction du temps dans le
cas d'un emprunt à mensualités constantes ;
modélisation de l'évolution d'une population ;
dans le jeu du devinez le nombre que j'ai choisi.
Soit a et b deux complexes. On s'intéresse maintenant à l'ensemble des suites
u solutions de l'équation
∀n ∈ N un+1 = aun + b
(E)
2.4 Proposition. Soit u et v deux solutions de (E). Alors u − v (c'est-à-dire la
suite de terme général un − vn pour n ∈ N) est une suite géométrique de raison
a.
2.5 Proposition.
Soit v une suite solution de (E). Alors, pour toute suite
géométrique u de raison a, la suite u + v (c'est-à-dire la suite de terme général
un + vn pour n ∈ N) est aussi solution de (E).
2.6 Corollaire.
Soit v une solution particulière de (E). Soit u ∈ CN . On a
l'équivalence suivante : u est solution de (E) si et seulement si u − v est une
suite géométrique de raison a.
Démonstration :
v est solution de (E), donc d'après la proposition 2.4 si u
est solution de (E), u − v est une suite géométrique de raison a.
Montrons la réciproque : supposons que u − v est une suite géométrique de
raison a. Alors d'après la proposition 2.5, v + (u − v) est solution de (E). Or
v + (u − v) = u, d'où le résultat.
2
2.7 Proposition.
de (E).
Si a 6= 1, alors il existe une unique suite constante solution
Méthode de résolution de
(E)
1. Si a = 1, les solutions de (E) sont les suites arithmétiques de raison b
(autrement dit pour tout u ∈ CN , u est solution de E si et seulement si
∀n ∈ N un = u0 + nb).
2. Si a 6= 1, on cherche une solution constante. Pour cela, on détermine
l'unique α vériant
α = aα + b
3. Les solutions de (E) sont alors les suites u ∈ CN telles que la suite
u − α (c'est-à-dire (un − α)n∈N ) soit une suite géométrique de raison a.
Autrement dit, les solutions de (E) sont les suites u ∈ CN vériant :
∀n ∈ N un = α + an (u0 − α)
2.8 Exercice. Donner le terme général de la suite u dénie par :
(
u0 = 0
∀n ∈ N un+1 = 2un + 1
2.9 Exercice. Votre banquier vous propose un prêt à la consommation de
10 000 e à un taux de 18% annuel sur 5 ans, à mensualités xes (soit 60
mensualités). Après avoir signé le contrat, vous constatez que le taux est de
1, 5% par mois. Quel est le montant des mensualités ? Quel est le coût total du
crédit ? En quoi les déclarations du banquier étaient-elles mensongères ?
3 Suite récurrente linéaire double
3.1 Dénition. On appelle équation de récurrence linéaire double ou équation
de récurrence linéaire d'ordre deux toute équation de la forme
∀n ∈ N un+2 = aun+1 + bun
(E)
où a et b sont des complexes xés et u, une suite (réelle ou complexe) est l'inconnue. Toute solution de cette équation est appelée suite récurrente linéaire double
(ou d'ordre deux ). On appelle équation caractéristique de cette équation/suite
l'équation
r2 − ar − b = 0
(C)
Dans tout ce qui suit, on ne s'intéressera qu'au cas où les coecients a et b
sont réels.
3.2 Théorème (Terme général des solutions).
Les suites réelles solutions de l'équation
∀n ∈ N un+2 = aun+1 + bun
Soit a et b deux réels avec b 6= 0.
(E)
sont les suivantes, en notant (C) l'équation caractéristique de (E) et ∆ le discriminant de (C) :
3
Si ∆ > 0, alors (C) admet deux solutions réelles distinctes r1 et r2 . Dans
ce cas, les solutions réelles de (E) sont les suites de la forme (λr1n + µr2n )n∈N ,
où λ et µ sont des réels xés.
Si ∆ = 0, alors (C) admet une unique solution, r0 , qui est réelle. Alors
les solutions réelles de (E) sont les suites de la forme (λr0n + µnr0n )n∈N ,
où λ et µ sont des réels xés.
Si ∆ < 0, alors (C) admet deux solutions complexes conjuguées reiθ
et re−iθ . Alors les solutions réelles de (E) sont les suites de la forme
(rn (λ cos(nθ) + µ sin(nθ)))n∈N où λ et µ sont des réels xés.
Dans tous les cas, il existe une unique solution à (E) pour u0 et u1 xés.
3.3 Remarque. En pratique, on rencontrera des suites dénies par la valeur de
u0 et u1 et une équation linéaire de récurrence d'ordre deux. On détermine alors
les solutions générales de l'équation en utilisant le théorème ci-dessus, puis on
détermine les constantes λ et µ avec les valeurs de u0 et u1 .
3.4 Exercice (Démonstration du théorème). Soit a et b deux réels quelconques
avec b 6= 0. On considère l'équation (d'inconnue u) ∀n ∈ N un+2 = aun+1 + bun .
1. Montrer que s'il existe une solution, elle est entièrement déterminée par
la donnée de u0 et u1 .
2. Montrer selon les cas que les suites données dans l'énoncé du théorème
sont eectivement des solutions.
3. Montrer, selon les cas, que pour tout choix de u0 et u1 , une de ces suites
est solution.
4. En déduire selon les cas que les suites données dans l'énoncé du théorème
sont eectivement les solutions.
3.5 Exercice (Application pratique). On considère la suite (un )n∈N dénie par
u0 = 0 et u1 = 1
∀n ∈ N un+2 = un+1 + un
Déterminer une expression de un en fonction de n.
4 Suite dénie par une relation de récurrence
d'ordre 1
On étudie dans cette partie les suites (réelles) récurrentes d'ordre 1, c'est-àdire les suites réelles u vériant une relation du type : ∀n ∈ N, un+1 = f (un ),
où f est une fonction dénie sur une partie D de R et à valeur dans R.
4.1 Dénition de la suite
On se donne donc une partie D de R, f : D → R, et a ∈ R. On veut dénir
la suite u par récurrence de la façon suivante
(
u0 = a
et ∀n ∈ N un+1 = f (un )
4
Une telle dénition n'est pas nécessairement légitime : par exemple, si a ∈
/ D,
alors u1 est mal déni donc
la
suite
est
mal
dénie.
Autre
exemple
:
on
prend
√
1 et pour a la valeur 9. On a bien a ∈ R+ mais
pour f l'application x 7→ x − p
√
√
u1 = 2, u2 = 2 − 1 < 1, u3 =
2 − 1 − 1 < 0 et u4 est mal déni.
Une condition susante1 pour que la suite soit bien dénie est de trouver
une partie A de D (c'est-à-dire une partie A de R sur laquelle f est bien dénie)
stable par f (c'est-à-dire telle que : ∀x ∈ A f (x) ∈ A) et contenant le premier
terme de la suite (a ∈ A).
En notant, pour n ∈ N, P (n) la propriété un est bien dénie et un ∈ A,
on peut alors montrer par récurrence que pour tout n ∈ N, un est bien dénie,
donc que u est bien dénie.
4.1 Exemple.
1. Soit a ∈ [−1, +∞[, et notons u la suite dénie par
(
u0 = a
√
et ∀n ∈ N un+1 = 1 + un
√
Notons f la fonction x 7→ 1 + x. Alors l'ensemble de dénition [−1, +∞[
est stable par f . Donc la suite (un )n∈N est bien dénie. Pour le justier de
façon détaillée, on montre par récurrence que, pour tout n de N, un existe
et appartient à [−1, +∞[.
2. Notons v la suite dénie par
(
v0 = 5
3
et ∀n ∈ N vn+1 = vn2 − 1
Posons
f : R+
x
→ R
3
7
→
x2 − 1
L'ensemble de dénition de f est R+ , qui n'est pas stable par f puisque
f (0) ∈
/ R+ . En revanche, en posant A = [4, +∞[, on peut remarquer que
A est une partie de l'ensemble de dénition de f stable par f : en eet,
f est croissante sur R+ et f (4) = 7 ≥ 4 donc pour tout x ∈ A, on a
f (x) ≥ f (4) ≥ 4 donc f (x) ∈ A. Or 5 appartient à A donc on peut
montrer que v est bien dénie.
Dans toute la suite, A désigne une partie de R, et f une application dénie
(au moins) sur A et telle que f (A) ⊂ A.
4.2 Recherche d'une limite éventuelle
4.2 Proposition.
Si la suite (un )n∈N converge vers un réel l et f est continue
en l, alors f (l) = l. On dit que l est un point xe de f .
4.3 Remarque. Cette proposition sert à déterminer les limites éventuelles de la
suite (un )n∈N ou à montrer qu'elle n'admet pas de limite.
1 Cette condition est aussi nécessaire (pourquoi?) mais en pratique, c'est le fait qu'elle soit
susante qui nous intéressera.
5
4.4 Exemple.
Étudier la convergence de la suite (un )n∈N dénie par
u0 = 1
∀n ∈ N, un+1 = u2n + 1
Étudier la convergence de la suite (un )n∈N dénie par
u0 = 1
∀n ∈ N, un+1 = u2n +
1
4
4.3 Cas où f est croissante sur A
4.5 Proposition.
Si f est une fonction croissante sur A : alors la suite u est
monotone. Plus précisément :
Si u0 ≤ u1 alors u est croissante.
Si u0 ≥ u1 alors u est décroissante.
Démonstration : Montrons le premier point (le second est similaire). Sup-
posons f croissante sur A et u0 ≤ u1 . Alors, pour n ∈ N, notons P (n) l'assertion
un ≤ un+1 .
On a u0 ≤ u1 donc on a P (0).
Soit n ∈ N vériant P (n). Alors on a un ≤ un+1 . Or f est croissante sur
A, donc f (un ) ≤ f (un+1 ), donc un+1 ≤ un+2 , donc on a P (n + 1).
On a donc, d'après le principe de récurrence, ∀n ∈ N un ≤ un+1 .
Note. Vous n'avez pas besoin de retenir cette proposition. En revanche, vous
devez retenir la technique de démonstration pour être en mesure de l'adapter à
un cas concret.
4.6 Exercice. Étudier, pour a = 0 et pour a = 2, la suite u dénie par
u0 = a
√
∀n ∈ N, un+1 = 1 + un
4.7 Exercice. Étudier la suite u dénie par
u0 = 0
∀n ∈ N, un+1 = u2n + 2un + 1
u admet-elle une limite ? laquelle ?
4.4 Cas où f est décroissante sur A
4.8 Proposition. Si f est une fonction décroissante sur A, alors les suites
(u2n )n∈N et (u2n+1 )n∈N sont monotones et de sens contraire. Plus précisément :
Si u0 ≤ u2 , alors (u2n )n∈N est croissante et (u2n+1 )n∈N est décroissante.
Si u0 ≥ u2 , alors (u2n )n∈N est décroissante et (u2n+1 )n∈N est croissante.
Démonstration : Montrons le premier point (le second se montre de la même
façon).
Supposons f décroissante. Alors f ◦ f est croissante.
Supposons de plus u0 ≤ u2 .
Montrons alors que (u2n )n∈N est croissante et (u2n+1 )n∈N est décroissante.
6
En posant v = (u2n )n∈N , on a ∀n ∈ N vn+1 = (f ◦ f )(vn ) et v0 ≤ v1 .
Donc v est croissante, d'après la proposition 4.5.
On a donc ∀n ∈ N u2n ≤ u2n+2 .
f étant décroissante, on en déduit ∀n ∈ N f (u2n ) ≥ f (u2n+2 ).
Donc ∀n ∈ N u2n+1 ≥ u2n+3 .
Note. Même remarque que pour la proposition 4.8.
4.9 Exercice. Étudier la suite u dénie par
u0 = 10
√
∀n ∈ N, un+1 = 10 − un
7