Etude des fonctions trigonométriques - MPSI

Etude des fonctions trigonom´etriques
Chapitre 3
Dans ce chapitre, nous continuons le travail sur les fonctions usuelles et nous red´efinissons
les fonctions trigonom´etriques. Si celles sont d´efinies `a partir de la g´eom´etrie euclidienne,
elles permettent de nombreuses applications `a l’analyse en raison de leurs diff´erentes pro-
pri´et´es op´eratoires.
1 Etude d’une fonction p´eriodique 2
2 Les fonctions circulaires et leur repr´esentation graphique 2
2.1 Pr´esentation du cercle trigonom´etrique et premi`eres propri´et´es . . . . . . . . 2
2.2 Etude des fonctions circulaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.3 Formules de changement de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
3 Les fonctions circulaires r´eciproques 5
3.1 La fonction arccos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3.2 La fonction arcsin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3.3 La fonction arctan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
Ecriture et lecture de donn´ees dans un fichier
Liste non exhaustive des capacit´es attendues
Etudier une fonction p´eriodique ·Connaˆıtre la d´efinition des fonctions circulaires et les repr´esenter ·Transformer des expressions `a l’aide du formulaire trigonom´etrique
·Justifier l’existence des fonctions circulaires r´eciproques et connaˆıtre leurs principales propri´et´es (...)

MPSI - Lyc´ee Chrestien de Troyes
Chapitre 3
Etude des fonctions trigonom´etriques
1 Etude d’une fonction p´eriodique
D´efinition Soit fune fonction d´efinie sur Dinclus dans R. On dit que fest p´eriodique de p´eriode Tsi :
(∀x∈D, x +T∈D
∀x∈D, f (x+T) = f(x)
On dit aussi que fest T-p´eriodique.
Repr´esentation Pour une telle fonction, on peut observer que la courbe repr´esentative associ´ee ”se r´ep`ete” par translation de
vecteur ±T−→ i.
O
Ainsi, pour ´etudier une fonction p´eriodique, il suffira de se restreindre `a un intervalle d’amplitude Tet de compl´eter la courbe par
simple translation.
2 Les fonctions circulaires et leur repr´esentation graphique
2.1 Pr´esentation du cercle trigonom´etrique et premi`eres propri´et´es
D´efinition Dans un plan muni d’un rep`ere orthonorm´e direct, on consid`ere le cercle trigonom´etrique et on note Mun point du cercle
tel que l’angle de vecteurs (
~
i, −−→ OM ) = x:
O
•On appelle alors fonction cosinus la fonction not´ee cos d´efinie sur Rpar
cos(x) = xM.
•On appelle alors fonction sinus la fonction not´ee sin d´efinie sur Rpar
sin(x) = yM.
Sous r´eserve d’existence, on retrouve `a partir du cercle trigonom´etrique les relations suivantes :
les relations imm´ediates
(i) cos2(x) + sin2(x)=1
(ii) cos(−x) = cos(x), sin(−x) = −sin(x), cos(x+π) = −cos(x), sin(x+π) = −sin(x), cos( π
2−x) = sin(x), sin( π 2−x) = cos(x)...
les formules d’addition
(i) cos(a+b) = cos(a) cos(b)−sin(a) sin(b), cos(a−b) = cos(a) cos(b)−sin(a) sin(b),
(ii) sin(a+b) = sin(a) cos(b) + sin(b) cos(a), sin(a−b) = sin(a) cos(b)−sin(b) cos(a)
(iii) En particulier,
cos(2x) = cos2(x)−sin2(x) = 2 cos2(x)−1=1−2 sin2(x) et sin(2x) = 2 sin(x) cos(x)
les ´equations trigonom´etriques
(i) cos(a) = cos(b)⇔a=b[2π] ou a=−b[2π]
(ii) sin(a) = sin(b)⇔a=b[2π] ou a=π−b[2π]
Propri´et´e 1 (formulaire trigonom´etrique).
ISi les premi`eres relations sont imm´ediates, on prendra soin de justifier les deux formules d’addition cos(a+b)et sin(a+b)avant
d’en d´eduire les autres.
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Chapitre 3
Etude des fonctions trigonom´etriques
Sous r´eserve d’existence, on a aussi les transformations suivantes :
les lin´earisations de produit en somme
(i) cos(a) cos(b) = 1
2(cos(a−b) + cos(a+b))
(ii) sin(a) sin(b) = 1
2(cos(a−b)−cos(a+b))
(iii) sin(a) cos(b) = 1
2(sin(a−b) + sin(a+b))
(iv) En particulier,
cos2(x) = 1 + cos(2x)
2et sin2(x) = 1−cos(2x) 2
les transformations de somme en produit
(i) cos(p) + cos(q) = 2 cos( p+q
2) cos( p−q 2)
(ii) cos(p)−cos(q) = −2 sin( p+q
2) sin( p−q 2)
(iii) sin(p) + sin(q) = 2 sin( p+q
2) cos( p−q 2)
(iv) sin(p)−sin(q) = 2 cos( p+q
2) sin( p−q 2)
Propri´et´e 2 (autres transformations alg´ebriques).
ILes premi`eres formules d´ecoulent du formulaire trigonom´etrique. Pour les suivantes, on essaiera de reconnaˆıtre des op´erations en
cos(a+b)et sin(a+b)...
On a :
lim
x→0
sin(x)
x= 1
Propri´et´e 3 (limite de r´ef´erence).
IEncore une fois, on cherche `a obtenir un encadrement en utilisant des consid´erations g´eom´etriques sur les aires.
2.2 Etude des fonctions circulaires
La fonction cos est continue et d´erivable sur Rtelle que pour tout x∈R, cos0(x) = −sin(x). De plus, elle est paire et 2π-p´eriodique
de sorte que sur [0, π] :
et par 2π-p´eriodicit´e et parit´e, O
En particulier, on rappelle : x0π
6
π
4
π
3
π
2π
cos(x) 1 √3
2
√2
2
1
20−1
Propri´et´e 4 (´etude de la fonction cos).
La fonction sin est continue et d´erivable sur Rtelle que pour tout x∈R, sin0(x) = cos(x). De plus, elle est impaire et 2π-p´eriodique
de sorte que sur [0, π] :
et par 2π-p´eriodicit´e et imparit´e, O
En particulier, on rappelle : x0π
6
π
4
π
3
π
2π
sin(x) 0 1
2
√2
2
√3
21 0
Propri´et´e 5 (´etude de la fonction sin).
3

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Chapitre 3
Etude des fonctions trigonom´etriques
Pour ´etudier une fonction trigonom´etrique, on appliquera le mˆeme plan d’´etude que pour les autres fonctions usuelles. N´eanmoins, on
n’oubliera pas de commencer par r´eduire le domaine d’´etude par p´eriodicit´e et parit´e.
Exemple 1 Etudier la fonction f:x7→ cos(x)
1 + sin2(x).
On note tan la fonction tangente d´efinie par tan : x7−→ sin(x)
cos(x). Alors, tan est d´efinie, continue et d´erivable sur R−{π
2+kπ, k ∈Z}
avec pour tout x∈R− {π
2+kπ, k ∈Z},
tan0(x) = 1
cos2(x)= 1 + tan2(x)
De plus, elle est impaire et π-p´eriodique de sorte que sur [0,π
2[ :
et par π-p´eriodicit´e et imparit´e,
O
En particulier, on rappelle : x0π
6
π
4
π
3
π
2
tan(x) 0 1
√31√3×
Propri´et´e 6 (pr´esentation et ´etude de la fonction tan).
IPour cette derni`ere fonction, cela revient `a ´etudier le quotient de deux fonctions connues.
Sous r´eserve d’existence, on a aussi les formules suivantes :
(i) tan(−x) = −tan(x), tan(x+π) = tan(x)...
(ii) tan(a+b) = tan(a) + tan(b)
1−tan(a) tan(b), tan(a−b) = tan(a)−tan(b) 1 + tan(a) tan(b)
(iii) tan(a) = tan(b)⇔a=b[π]
Propri´et´e 7 (formulaire trigonom´etrique).
IA partir des formules donn´ees, on revient aux propri´et´es des fonctions cos et sin.
Exemple 2 Etudier la fonction cotan d´efinie par cotan(x) = cos(x)
sin(x).
On pourra alors retenir :
(i) lim
x→0
cos(x)−1
x= 0 (ii) lim
x→0
sin(x)
x= 1 (iv) lim
x→0
tan(x)
x= 1
Propri´et´e 8 (formes ind´etermin´ees en 0).
2.3 Formules de changement de variable
Sous r´eserve d’existence et en posant t= tan( x
2), on a :
(i) cos(x) = 1−t2
1 + t2(ii) sin(x) = 2t 1 + t2(iii) tan(x) = 2t 1−t2
Propri´et´e 9 (les fonctions circulaires en fonction de la tangente du demi-angle).
IIl suffit d’exploiter les formules de transformations alg´ebriques.
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Chapitre 3
Etude des fonctions trigonom´etriques
Soient x, y ∈R, alors :
x2+y2= 1 ⇔il existe un unique θ∈[0,2π[ tel que x= cos(θ) et y= sin(θ).
Th´eor`eme 10 (param´etrisation du cercle trigonom´etrique).
ICe r´esultat d´ecoule imm´ediatement de la d´efinition des fonctions cos et sin comme abscisse et ordonn´ee des points du cercle.
Cette derni`ere propri´et´e nous permet en outre de transformer les r´esultats obtenus en physique : on parle de la transformation de
Fresnel.
Exemple 3 Soient ω∈R∗
+,A, B ∈R. Montrer qu’il existe (C, φ)∈R2tel que :
∀t∈R, A sin(ωt) + Bcos(ωt) = Csin(ωt +φ)
3 Les fonctions circulaires r´eciproques
3.1 La fonction arccos
La fonction cos r´ealise une bijection de [0, π] sur [−1,1] et admet ainsi une bijection r´eciproque not´ee arccos d´efinie sur [−1,1] telle
que:
(y= cos(x)
x∈[0, π]⇔(arccos(y) = x y∈[−1,1]
De plus,
(i) arccos est d´erivable sur ] −1,1[ et pour tout x∈]−1,1[, arccos0(x) = −1
√1−x2.
(ii) arccos(−1) = π, arccos(1) = 0 de sorte que :
O
Propri´et´e 11 (existence de la fonction arccos).
IOn utilise encore les mˆemes propri´et´es sur les bijections et leur fonction r´eciproque...
Remarque On fera attention aux intervalles sur lesquels ces fonctions d´esignent des bijections r´eciproques, ainsi :
∀x∈[−1,1],cos ◦arccos(x) = xet ∀x∈[0, π],arccos ◦cos(x) = x
En fait, arccos nous donne l’angle associ´e situ´e dans l’intervalle [0, π].
Pour tout x∈[−1,1],
(i) cos ◦arccos(x) = x(ii) sin ◦arccos(x) = p1−x2(iii) et avec x6= 0, tan ◦arccos(x) = √1−x2
x
Propri´et´e 12 (compos´ees remarquables).
ISi la premi`ere ´egalit´e est ´evidente, les autres font intervenir les formules trigonom´etriques courantes.
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