Fonctions de R dans R de PCSI

Fonctions de R dans R de PCSI
II - Limites et relation d’ordre
Théorème : toute fonction admettant une limite strictement positive en un point (finie ou non) est
minorée, au voisinage de ce point, par un réel strictement positif.
Théorème : soit fet gdeux fonctions ayant le même ensemble de définition D, de limites respectives
ℓet ℓ
′
en a(ℓ, ℓ
′
, a)∈R
3
.
Si f≤gsur D\ {a}, alors ℓ≤ℓ
′
.
Attention ! Les inégalités strictes ne passent pas à la limite.
Théorème : soit f, g, h trois fonctions définies sur un même ensemble de définition Dtelles que :
f≤g≤hsur D,aun élément de Radhérent à Det ℓun réel.
a) Si lim
a
f= lim
a
h=ℓ, alors gadmet la limite ℓen a(théorème d’encadrement).
b) Si lim
a
f= +∞, alors lim
a
g= +∞.
c) Si lim
a
h=−∞, alors lim
a
g=−∞.
Théorème : limite d’une fonction monotone.
Soit aet bdeux éléments de R,a < b et I= ]a, b[.
a) Si fest croissante sur I, alors fadmet une limite dans Ren aet en b.
(i) Si fest majorée, alors lim
b
f= sup
I
f(∈R), sinon lim
b
f= +∞.
(ii) Si fest minorée, alors lim
a
f= inf
I
f(∈R), sinon lim
a
f=−∞.
b) Si fest décroissante sur I, alors fadmet une limite dans Ren aet en b.
(i) Si fest majorée, alors lim
a
f= sup
I
f(∈R), sinon lim
a
f= +∞.
(ii) Si fest minorée, alors lim
b
f= inf
I
f(∈R), sinon lim
b
f=−∞.
IIII - Opérations algébriques sur les limites
Dans le tableau suivant, fet gsont deux fonctions à valeurs dans R, définies sur la même partie Dde
R,aest un point de Radhérent à D. Si lim
a
f(resp.lim
a
g) existe, on la notera ℓ(resp.ℓ
′
).
Fonction Hypothèses sur fet gConclusion
f+g ℓ et ℓ
′
existent et sont réelles lim
a
(f+g) = ℓ+ℓ
′
f+g f minorée au voisinage de a,ℓ
′
existe et vaut +∞lim
a
(f+g) = +∞
f+g f majorée au voisinage de a,ℓ
′
existe et vaut −∞ lim
a
(f+g) = −∞
λ f λ ∈Rfa une limite finie ℓlim
a
(λ f) = λ ℓ
f g ℓ et ℓ
′
existent et sont réelles lim
a
(f g) = ℓ ℓ
′
f g f minorée par α > 0au voisinage de a,ℓ
′
existe et vaut +∞lim
a
(f g) = +∞
f g f majorée par β < 0au voisinage de a,ℓ
′
existe et vaut +∞lim
a
(f g) = −∞
1
ffà valeurs dans R
∗
ℓexiste, ℓ= 0 lim
a
1
f=1 ℓ(1)
1
ffà valeurs dans R
∗
+
(resp; R
∗
−
)ℓexiste, ℓ= 0 lim
a
1
f= +∞(resp; −∞)
(1) avec la convention 1
+∞=1 −∞ = 0.

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IIIIII - Continuité
1) Définitions
fdésigne une fonction de Rdans Rdéfinie sur une partie Dde R.
Définition : soit a∈D.
On dit que fest continue en asi et seulement si fadmet une limite en a.
Dans ce cas, lim
a
f=f(a)et
∀ε > 0∃η > 0∀x∈D|x−a| ≤ η⇒ |f(x)−f(a)| ≤ ε.
Définition : on dit que fest continue à droite (resp. à gauche) en asi et seulement si la restriction
de fàD∩[a, +∞[(resp. à D∩]−∞, a]) est continue en a.
∀ε > 0∃η > 0∀x∈D0≤x−a≤η⇒ |f(x)−f(a)| ≤ ε
resp. ∀ε > 0∃η > 0∀x∈D−η≤x−a≤0⇒ |f(x)−f(a)| ≤ ε
Théorème : fest continue en a⇔fest continue à droite et à gauche en a.
Définition : continuité sur un ensemble
Soit Eune partie de D. On dit que fest continue sur Esi et seulement si la restriction
de fàEest continue en chaque point de E.
Définition : continuité uniforme (hors programme)
On dit que fest uniformément continue sur Dsi et seulement si
∀ε > 0∃η > 0∀(x, y)∈D
2
|y−x| ≤ η⇒ |f(x)−f(y)| ≤ ε
(la continuité uniforme implique la continuité en tout ade Davec ηindépendant de a).
2) Opérations sur les fonctions continues
Théorème : 1) Si fet gsont deux fonctions continues sur un intervalle I, alors f+g,λ f (λ∈R)et
f×gsont continues sur I.
L’ensemble C
0
(I, R)des fonctions continues de Idans Rest une R-algèbre.
Si, de plus, gne s’annule pas sur I, alors 1
get f gsont continues sur I.
2) Si fest continue sur I, à valeurs dans un intervalle Jet gcontinue sur J, alors g◦f
est continue sur I.
Théorème : 1) Si fest continue sur l’intervalle I, alors la restriction de fà tout intervalle Jinclus
dans Iest continue sur J.
2) Si fest continue sur [a, b]et sur [b, c], alors fl’est aussi sur [a, c].
Soient f:I→R,f
+
:x→ max 0, f (x)et f
−
:x→ max 0,−f(x).
On a : f=f
+
−f
−
et |f|=f
+
+f
−
.
Théorème : si fest continue sur l’intervalle I, alors f
+
, f
−
et |f|sont continues sur I.
3) Théorème des valeurs intermédiaires
Théorème : l’image d’un intervalle Ipar une fonction continue sur Iest un intervalle.
Attention ! En général, f(I)n’est pas de même nature topologique que I(cf. sin (]0,+∞[) = [−1,1]).
Conséquences :
1) Si fest continue sur [a, b], alors fprend toute valeur comprise entre f(a)et f(b).
2) Si fest continue sur [a, b]et f(a)f(b)<0, alors l’équation f(x) = 0 admet au moins une solution
dans [a, b].

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4) Continuité sur un segment
Théorème : l’image d’un segment par une fonction continue est un segment.
Une fonction réelle continue sur un segment est bornée et atteint ses bornes.
5) Fonctions continues strictement monotones sur un intervalle
Théorème : soit Iun intervalle de Rd’extrémités aet b,(a, b)∈R
2
et fune fonction continue
strictement monotone sur I.
a) fadmet, dans R, une limite en aet une limite en b.
b) f(I)est un intervalle de même nature topologique (ouvert, fermé, semi-ouvert) que I
d’extrémités lim
a
fet lim
b
f.
c) fest bijective de Isur f(I).
d) f
−1
est continue strictement monotone de même sens que fsur f(I).
Attention ! Ipeut être borné et f(I)non borné (cf. tan (]−π/2, π/2[) = R).
IVIV - Dérivabilité
Les fonctions étudiées dans ce paragraphe sont définies sur un intervalle I(non réduit à un point) de
Ret à valeurs dans R.
1) Définitions
Définition : soit aun point de I, on dit que fest dérivable en asi et seulement si la fonction
h→ f(a+h)−f(a)
h,
définie sur I\ {a}, admet une limite finie en 0.
Cette limite est alors appelée nombre dérivé de fen aet est notée f
′
(a).
Notations : f
′
(a)est aussi noté Df(a)ou df
dx(a).
Définition : soit aun point de Itel que I
′
a
=I∩[a, +∞[(resp.I
′′
a
=I∩]−∞, a]) ne soit pas réduit
au point a.
On dit que fest dérivable à droite (resp. à gauche) en asi et seulement si la restriction
de fàI
′
a
(resp. à I
′′
a
) est dérivable en a.
Si elle existe, une telle dérivée s’appelle dérivée à droite (resp. à gauche) de fen aet est
notée f
′
d
(a)(resp.f
′
g
(a)).
Définition : soit Jun intervalle inclus dans I.
On dit que fest dérivable sur Jsi, et seulement si, la restriction de fàJest dérivable
en tout point de J.
Dans ce cas, f
′
:J→R, x → f
′
(x)est appelée application dérivée de fsur J.
L’application f
′
est aussi notée Dfou df
dx.
Théorème : fest dérivable en asi et seulement si fadmet le développement limité à l’ordre 1 :
f(a+h) =
h→0
f(a) + h.f
′
(a) + o(h)
Corollaire : toute fonction dérivable en a(resp. sur J) est continue en a(resp. sur J).
Attention ! La réciproque est fausse (cf. x→ |x|).
Définition : on dit que fest de classe C
1
sur Isi et seulement si fest dérivable sur Iet la fonction
dérivée f
′
est continue sur I.
Attention ! On peut avoir fdérivable et f
′
non continue (cf. x→ x
2
sin 1
x).

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2) Opérations sur les fonctions dérivables
a) Linéarité de la dérivation
Soit (f, g)∈(D(I, R))
2
et λ∈R. Les fonctions f+get λ. f sont dérivables sur Iet :
(f+g)
′
=f
′
+g
′
,(λ .f)
′
=λ. f
′
.
L’ensemble D(I, R)des fonctions dérivables sur Ià valeurs dans Rest un R-espace vectoriel et la
dérivation est linéaire de D(I, R)dans F(R,R).
C
1
(I, R)est un R-espace vectoriel.
b) Dérivation d’une fonction composée
Soit Jun intervalle de R. Si ϕ∈ D (J, R),f∈ D (I, R)et si ϕ(J)⊂I, alors
f◦ϕest dérivable sur Jet (f◦ϕ)
′
=ϕ
′
.f
′
◦ϕ.
Si ϕ∈ C
1
(J, R), f ∈ C
1
(I, R)et si ϕ(J)⊂I, alors f◦ϕ∈ C
1
(J, R).
c) Dérivation d’un produit, d’un quotient
Soit (f, g)∈(D(I, R))
2
:(f·g)
′
=f
′
·g+f·g
′
et, si gne s’annule pas,
f
g
′
=f
′
g+f·1 g
′
=f
′
·g−f·g
′
g
2
d) Dérivation d’une bijection réciproque
Si fest une bijection continue et strictement monotone de Isur J=f(I), dérivable en a∈Itel que
f
′
(a)= 0, alors sa bijection réciproque f
−1
est dérivable en b=f(a), avec
f
−1
′
(b) = 1
f
′
(a)=1 f
′
◦f
−1
(b).
Si f
′
(a) = 0, le graphe de f
−1
admet en bune (demi-)tangente parallèle à Oy.
Si fest dérivable sur Iet si f
′
ne s’annule pas sur I, alors f
−1
est dérivable sur Javec
f
−1
′
=1
f
′
◦f
−1
.
3) Accroissements finis — Applications
a) Extremums locaux d’une fonction dérivable
Théorème : si fdérivable sur Iadmet en aintérieur à Iun extremum local, alors f
′
(a) = 0.
Attention ! Peut être faux en une extrémité de I!!
b) Théorème de Rolle
Si fest continue de [a, b]dans R, dérivable sur ]a, b[et si f(a) = f(b), alors
∃c∈]a, b[f
′
(c) = 0.
c) Théorème des accroissements finis
Si fest continue de [a, b]dans R, dérivable sur ]a, b[, alors
∃c∈]a, b[f(b)−f(a) = (b−a)·f
′
(c).
Autrement dit, la tangente au graphe de fau point d’abscisse cest parallèle à la corde joignant les
points d’abscisses aet b.
d) Inégalités des accroissements finis
1) Si a < b,fcontinue de [a, b]dans R, dérivable sur ]a, b[et si m, M sont deux réels tels que
m≤f
′
≤M, alors
m·(b−a)≤f(b)−f(a)≤M·(b−a)
2) Si f, g sont continues de [a, b]dans R, dérivables sur ]a, b[et si |f
′
| ≤ g
′
, alors
|f(b)−f(a)| ≤ |g(b)−g(a)|

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Corollaire : soit fune application continue de Idans R, dérivable en tout point intérieur à I.
1) fest k-lipschitzienne sur Isi et seulement si |f
′
| ≤ k.
2) fest constante sur Isi et seulement si f
′
est nulle en tout point intérieur à I.
3) fest croissante sur Isi et seulement si f
′
≥0en tout point intérieur à I.
4) fest décroissante sur Isi et seulement si f
′
≤0en tout point intérieur à I.
5) fest strictement monotone sur Isi et seulement si f
′
ne change pas de signe et n’est
identiquement nulle sur aucun intervalle non trivial.
e) Théorème de la limite de la dérivée
Si fest continue sur I, dérivable sur I\ {a}, et si f
′
(x)tend vers ℓ(réel ou infini) lorsque xtend vers a,
alors f(x)−f(a)
x−atend vers ℓlorsque xtend vers a. Si ℓest réel, alors fest dérivable en aet f
′
(a) = ℓ.
4) Fonctions de classe C
k
a) Dérivées successives
Définition : on définit par récurrence les dérivées successives de f:f
(0)
=fet, pour k∈N
∗
, on dit
que fest kfois dérivable si f
(k−1)
est dérivable sur Iet on note f
(k)
=f
(k−1)
′
.
On désigne par D
k
(I, R)l’ensemble des fonctions kfois dérivables sur I.
Notations : f
(k)
=D
k
(f) = d
k
f
dx
k
.
Définition : a) Soit k∈N; on dit que fest de classe C
k
sur Isi et seulement si fest kfois dérivable
sur Iet f
(k)
continue sur I.
b) fest dite de classe C
∞
si et seulement si elle est indéfiniment dérivable sur I(autrement
dit kfois dérivable pour tout kdans N).
Notations : C
0
(I, R): ensemble des fonctions continues sur Ià valeurs dans R.
C
k
(I, R): ensemble des fonctions de classe C
k
sur Ià valeurs dans R.
C
∞
(I, R): ensemble des fonctions de classe C
∞
sur Ià valeurs dans R.
b) Formule de Leibniz — Opérations sur les fonctions de classe C
k
Théorème : soit k∈N,fet gdeux fonctions de Idans Ret λ∈R.
si fet gsont kfois dérivables sur I, alors λ. f +gest kfois dérivable sur Iet :
(λ .f +g)
(k)
=λ .f
(k)
+g
(k)
.
C
k
(I, R)et C
∞
(I, R)sont des sous-espaces vectoriels de C
0
(I, R).
Théorème : formule de Leibniz
Soit k∈N
∗
,f:I→Ret g:I→R.
Si fet gsont kfois dérivables sur I, alors f·gest kfois dérivable sur Iet
(f·g)
(k)
=
k
j=0
k
jf
(k−j)
. g
(j)
.
Théorème : composée de fonctions de classe C
k
Soit k∈N∪ {+∞} et Jun intervalle de R.
Si ϕ∈ C
k
(J, R), f ∈ C
k
(I, R)et ϕ(J)⊂I, alors f◦ϕ∈ C
k
(J, R).
Théorème : bijection réciproque d’une bijection de classe C
k
Soit Iun intervalle de R,k∈N
∗
,f∈ C
k
(I, R), strictement monotone sur I.
f
−1
est de classe C
k
sur f(I)si et seulement si f
′
ne s’annule pas sur I
(on parle alors de C
k
-difféomorphisme).