fonction exponentielle

La fonction exponentielle
Rémi CHEVAL
23 décembre 2013
Depuis un bon moment, j’ai cette fameuse question en tête : Comment expliquer les différentes
propriétés de la fonction exponentielle en n’utilisant que la définition ? Et aujourd’hui, j’ai de
l’inspiration donc allons-y et démontrons.
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Définition de la notion
Définition 1 (Une fonctionne exponentielle). On appelle fonction exponentielle une fonction f dérivable
sur R et vérifiant :
f′ = f
f (0) = 1
Remarques :
– En écrivant cette définition, nous avons supposé qu’il existait effectivement une telle fonction.
– Or le problème de l’existence est assez complexe (voir problème de Cauchy et Théorème de CauchyLipschitz). Nous allons donc malheureusement devoir admettre qu’une telle fonction existe.
Objectif 2. (Unicité de la fonction exponentielle)
– Si
nous supposons qu’il existe bien une fonction exponentielle,
– alors est-ce nous pouvons démontrer qu’elle est unique ?
Les bons réflexes du mathématicien :
– Dès lors que vous définissez un objet, il faut directement se poser la question de son existence et
son unicité. Ce sont des questions fondamentales et ne sont pas toujours évidentes à démontrer.
– Une fois l’unicité vérifiée, nous pourrons parler de LA fonction exponentielle.
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Preuve de son unicité
Proposition 3. Soit exp une fonction exponentielle. Alors,
∀x ∈ R,
exp(−x) ∗ exp(x) = 1
Démonstration. Considérons la fonction g définie sur R par : g(x) = exp(−x) ∗ exp(x).
1. Est-ce que g est dérivable sur R ? On sait que exp est dérivable sur R. Ainsi g est dérivable sur
R car produit de fonctions composées dérivables sur R.
2. Démontrer que g est constante. Pour cela, il suffit de démontrer que g ′ est la fonction nulle.
Or ∀x ∈ R,
g ′ (x) = ( − exp(−x)) ∗ exp(x) + exp(−x) ∗ exp(x) = 0
3. Conclure. ∀x ∈ R,
g(x) = g(0) = exp(−0) ∗ exp(0) = 1
Corollaire 4 (Une fonction exponentielle ne s’annule pas sur R).
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Démonstration. Réalisons une preuve par l’absurde et supposons qu’il existe une fonction exponentielle f et
un réel a tels que : f (a) = 0. Nous obtenons que f (−a) ∗ f (a) = 0 : contradiction avec la proposition 3.
Théorème 5 (La fonction exponentielle est unique).
Les bons réflexes du mathématicien : Comment démontrer qu’un object est unique ?
– On suppose qu’il en existe deux et on montre qu’ils sont égaux.
Démonstration. On considère f et g deux fonctions exponentielles et on démontre que f = g. Pour cela, on
considère la fonction h définie sur R par h(x) = f (x) ∗ g(−x).
1. Vérifions que h est dérivable sur R :
On sait que f et g sont dérivables sur R donc h l’est aussi.
2. Calculons sa dérivée : ∀x ∈ R,
h′ (x) = f ′ (x) ∗ g(−x) + f (x) ∗ ( − g ′ (−x)) = f (x) ∗ g(−x) − f (x) ∗ g(−x) = 0
3. Conclusion : ∀x ∈ R
h(x) = h(0) = 1
Donc
f (x) ∗ g(−x)
Donc
f (x) =
f (x) =
Donc
=
1
1
g(−x)
car g ne s’annule pas (corollaire 4.)
g(x)
d’après la proposition 3.
À partir de maintenant, la fonction exponentielle sera toujours notée exp.
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Propriétés de la fonction exponentielle
Proposition 6.
∀(x, y) ∈ R2 ,
exp(x + y) = exp(x) ∗ exp(y)
Démonstration. On fixe le réel y et on considère la fonction f définie sur R par :
f (x) =
Il nous suffit alors de démontrer que :
exp(x + y)
exp(y)
f = exp.
1. Est-ce que f est bien définie sur R ?
D’après le corollaire 4, exp ne s’annule pas sur R donc f est bien définie sur R.
2. Est-ce que f est bien dérivable sur R ? On sait que exp est dérivable sur R, donc f l’est aussi
car quotient de fonctions dérivables sur R avec un dénominateur qui ne s’annule pas.
3. Calculons la dérivée de f sachant que exp(y) est ici une constante :
∀x ∈ R,
f ′ (x) =
1 ⋅ exp′ (x + y)
exp(y)
4. Remarquons que : f (0) = 1
5. La définition 1 nous informe que f est une fonction exponentielle.
6. Le théorème 5 nous informe que f est égale à exp.
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= f (x)