Activité 6 du chap. 5

Activité 6 du chap. 5 : Mouvement d’un point dans un champ uniforme.
On repère la position d’un objet par la lettre M. Les coordonnées du vecteur
position  changent au cours du temps. On note ces coordonnées (x(t), y(t),
z(t)). On note les coordonnées du vecteur vitesse  de ce point M (vx(t), vy(t),
vz(t)), et les coordonnées de son vecteur accélération  (ax(t), ay(t), az(t)).
Dans toute cette activité on négligera les forces de frottements.
Le but de cette activité est de déterminer les coordonnées du point M pour
différents mouvements à partir de la seule description du problème.
A/ Mouvement dans le champ de pesanteur d’un objet lâché sans vitesse
initiale.
On lâche un objet de masse m d’une hauteur h.
On suppose que le champ de pesanteur est uniforme, c’est-à-
dire qu’on considère que l’intensité de la pesanteur g est la
même partout.
1. Faire le bilan des forces appliquées à l’objet. Donner l’expression de cette (ou
ces) force(s) en fonction des données du problème.
La seule force qui s’exerce que l’objet est le poids  .
2. Appliquer la 2de loi de Newton afin de déterminer le vecteur accélération.
On en déduit  .
3. En déduire les coordonnées du vecteur accélération.
Les coordonnées du vecteur accélération sont : 
4. En intégrant les coordonnées du vecteur accélération, déterminer les
coordonnées du vecteur vitesse.
Comme l’accélération est la dérivée de la vitesse, on a :
On peut alors déterminer les coordonnées du vecteur vitesse à l’aide de primitives :

On détermine les constantes grâce aux conditions initiales (c’est-à-dire la vitesse à
l’instant t = 0 s).
Ici, à t = 0s, la vitesse est nulle, donc : 
On en déduit que .
Les coordonnées du vecteur vitesse sont donc : 
5. A l’aide d’une nouvelle intégration, déterminer les coordonnées du vecteur
position.
On sait que :
Donc 
On détermine les constantes grâce aux conditions initiales (c'est-à-dire la
position à l’instant t = 0 s).
Ici, à t = 0 s, 
On en déduit que  et 
Les coordonnées du vecteur position sont donc : 

6. En déduire une description du mouvement.
Puisque le vecteur accélération est constant, le mouvement est rectiligne
uniformément varié.
On remarque que le mouvement est rectiligne puisque seule la coordonnée z(t)
varie.
B/ Mouvement dans le champ de pesanteur d’un objet lancé avec une vitesse
initiale.
On lance un objet de masse m depuis le point O, avec
une vitesse  , faisant un angle α avec l’horizontale.
On suppose que le champ de pesanteur est uniforme,
c’est-à-dire qu’on considère que l’intensité de la
pesanteur g est la même partout.
1. Faire le bilan des forces appliquées à l’objet.
Donner l’expression de cette (ou ces) force(s) en fonction des données du
problème.
La seule force qui s’exerce que l’objet est le poids  .
2. Appliquer la 2de loi de Newton afin de déterminer le vecteur accélération.
On en déduit  .
3. En déduire les coordonnées du vecteur accélération.
Les coordonnées du vecteur accélération sont : 
4. En intégrant les coordonnées du vecteur accélération, déterminer les
coordonnées du vecteur vitesse.
Comme l’accélération est la dérivée de la vitesse, on a :
On peut alors déterminer les coordonnées du vecteur vitesse à l’aide de primitives :

On détermine les constantes grâce aux conditions initiales (c’est-à-dire la vitesse à
l’instant t = 0 s).
Ici, à t = 0s, 
On en déduit que ,  et 
Les coordonnées du vecteur vitesse sont donc : 
5. A l’aide d’une nouvelle intégration, déterminer les coordonnées du vecteur
position.
On sait que :
Donc 
On détermine les constantes grâce aux conditions initiales (c'est-à-dire la position à
l’instant t = 0 s).
Ici, à t = 0 s, 
On en déduit que 
Les coordonnées du vecteur position sont donc :
6. Comme le mouvement est contenu dans le plan (O,,
), l’équation de la
trajectoire est donnée par la courbe . On obtient cette équation en

éliminant le temps entre les expressions  et . Trouver
l’équation de la trajectoire.
Comme , on en déduit  
.
On insère cette expression dans celle de z(t) :
7. En déduire une description de la trajectoire.
On obtient l’équation d’un parabole, donc la trajectoire est une parabole.
C/ Mouvement dans un champ électrostatique d’un objet lancé avec une
vitesse initiale.
Une particule de masse m et de charge q traverse un
champ électrostatique uniforme  . La particule entre au
niveau du point O dans le champ électrostatique avec
une vitesse  colinéaire à l’axe (Ox).
Le poids est négligeable devant la force électrostatique.
1. Faire le bilan des forces appliquées à l’objet.
Donner l’expression de cette (ou ces) force(s) en
fonction des données du problème.
La seule force qui s’exerce est la force électrostatique : 
2. Appliquer la 2de loi de Newton afin de déterminer le vecteur accélération.
On en déduit 
.
3. En déduire les coordonnées du vecteur accélération.
Les coordonnées du vecteur accélération sont : 
4. En intégrant les coordonnées du vecteur accélération, déterminer les
coordonnées du vecteur vitesse.
Comme l’accélération est la dérivée de la vitesse, on a :