StatL3S6 code ECUE E64XP1

PSYCHOLOGIE - Licence 3
StatL3S6
code ECUE E64XP1
Fiche 1
Estimation ponctuelle, estimation par Intervalle
Exercice 1 :
– Au cours du mois de novembre 2008, on a réalisé un test clinique Tc sur un échantillon de
100 patients et le résultat moyen (t̄cnov ) obtenu était alors de 25. On note µ l’espérance
mathématique de la variable Tc et σ 2 sa variance.
Proposer une estimation ponctuelle de µ, quelle est la variance de cet estimateur.
– Au cours du mois de décembre, le même test réalisé sur un échantillon de 50 patients a
donné un résultat moyen : t̄cdec = 31.
Proposer une nouvelle estimation ponctuelle de µ en utilisant uniquement les résultats du
mois de décembre, quelle est la variance de cet estimateur.
– Encore mal remis des fêtes de fin d’année, le praticien décide de proposer comme estimation
de µ, le "milieu" des 2 résultats moyens.
Quelle est alors l’estimation proposée, et la variance de ce nouvel estimateur ? Est-ce un
estimateur sans biais de µ ?
Est-il meilleur que les 2 précédents ?
– Un étudiant de Master en stage dans le service propose de choisir la moyenne pondérée des
2 résultats moyens.
Quelle est alors la nouvelle estimation proposée, et la variance de ce nouvel estimateur ?
Est-ce un estimateur sans biais de µ ?
L’étudiant a t-il eu raison de proposé cette correction ?
– Donner la forme générale d’un estimateur sans biais de de µ combinaison linéaire de T̄cnov
et T̄cdec .
Les 4 questions précédentes sont des cas particuliers : Lesquels ?
Avec une combinaison de votre choix (autre que celles des questions précédentes), donner
la nouvelle estimation proposée, et la variance de cet estimateur ?
Faites vous mieux que l’étudiant de Master ?
Exercice 2 :
– On suppose que le nombre d’urgences à l’hôpital la nuit suit une loi de poisson de paramètre
λ. On a noté ce nombre lors les nuits précédentes :
23 23 30 26 26 20 19 23 27 26 21 29 34 32 19 23 26 19 27 29.
Proposez une estimation du paramètre λ. Justifier.
Proposez plusieurs façon d’estimer la variance de cette variable.
– On a aussi noté le rang d’arrivée du premier patient nécessitant une hospitalisation :
13 15 11 10 14 15 12 16 17 16 10 5 9 11 13 8 5 7 16 12
Proposer une estimation de la probabilité d’être hospitalisé pour un patient se rendant aux
urgences la nuit. Commenter.
Comment estimer la variance de cette variable ?
– Même question pour la variable "temps d’attente avant prise en charge" (exprimée en mn),
observée sur 20 patients pris au hasard, dont on suppose qu’elle suit une loi exponentielle.
27 166 20 55 8 7 3 108 61 15 18 6 4 32 107 15 242 80 30 22
2
Exercice 3 : Pour étudier un taux de pollution X dans une grande ville, on effectue, en
différents endroits, 42 prélèvements qui donnent une moyenne des taux de pollution égale à 2,1
avec un écart-type de 0,3.
– On note µ le paramètre égal au taux de pollution moyen dans cette ville. À quoi correspond
ce paramètre ?
– Quelle est la nature de la loi du taux du pollution mesuré lors d’un prélèvement (donner
la valeur de l’écart-type).
– Donner la loi de la moyenne du taux du pollution.
– Donner un intervalle de confiance à 92% de µ.
Exercice 4 : Dans un échantillon de 2 000 personnes, prélevé au hasard dans une population, on
observe 18% d’individus qui ont un niveau d’études particulier. Donner un intervalle de confiance
à 98% de la proportion d’individus dans la population qui ont ce niveau d’études.
Exercice 5 : Reprendre l’exercice 1 et reporter sur un graphique les différents intervalles de
confiance (à 96%) qu’il est possible de construire. On prendra σ = 20.
Exercice 6 :
Le service contentieux d’une banque étudie le montant des chèques sans provision Elle effectue
un sondage durant le mois de décembre 2004 : elle en a comptabilisé 520, avec une moyenne égale
à 75 euros et un écart-type de 30 euros.
Proposez une estimation ponctuelle et par intervalle du paramètre µ, "montant moyen d’un
chèque sans provision".
Exercice 7 : (difficile)
P
P
– Vérifiez que (yi − a)2 = (yi − ȳ)2 + n(ȳ − a)2 . Interprétez cette égalité en terme de
dispersion (cours de 1re année) et en terme "d’estimateur des moindres carrés" lorsque les
yi sont des réalisations de variables aléatoires d’espérance a.
– Même question pour
P
P
X
X
(yi xi ) 2 X
(yi xi )
2
(yi − axi ) =
(yi − P
xi ) +
(P
xi − axi )2 .
2
(xi )
(xi )2
Interprétez en terme "d’estimateur des moindres carrés" lorsque les yi sont des réalisations
de variables aléatoires d’espérance axi .
– On suppose maintenant que les yi sont des réalisations de variables aléatoires d’espérance
axi +b. Montrer que yi − ȳ sont des réalisations de variables aléatoires d’espérance a(xi − x̄).
Utiliser la question précédente pour proposer un estimateur de a
Exercice 8 : Dans un service hospitalier, on a l’habitude de déclarer aux patients atteints
d’une certaine pathologie que l’examen qu’ils doivent subir comporte un risque de complication.
Une nouvelle procédure vient récemment d’être mise au point de sorte à diminuer ce risque de
complication. On envisage donc de procéder à une expérimentation sur 200 patients.
- Quelle conclusion pouvez-vous apporter lorsque on observe 22 patients (sur 200) atteints de
complication.
- Même question pour 15 patients (sur 200) atteints de complication.
- Discuter de la longueur de l’intervalle proposé.