Université dKOrléans " Licence Economie et Gestion Statistique

Université d’Orléans - Licence Economie et Gestion
Statistique Mathématique
C. Hurlin. Examen Novembre 2006
Exercice 1 Election Présidentielle (d’après l’examen 2003 de Traitement Statique de l’Information
Economique, Licence Economie et Gestion, Université Paris IX Dauphine, avec l’autorisation
de Mme Bessec). Barème : 11 points.
Le 2eme tour d’une élection présidentielle oppose le candidat A au candidat B. Pour évaluer la
proportion pd’électeurs de la population souhaitant voter pour le candidat A plutôt que pour le
candidat B, on tire au sort un échantillon de Nindividus dans une population de grande taille et
on demande à chacun des individus pour lequel des deux candidats il a l’intention de voter. On
associe à chaque individu sondé une variable aléatoire Xipour i= 1; ::; N; telle que :
Xi=1
0
si l’individu ia l’intention de voter pour A
sinon (1)
Question 1(1 point) Quelle est la loi suivie par les variables aléatoires X1; X2; :::; XN?
Question 2 (2 points) On admet que Pr [Xi=xi] = pxi(1 p)1xi:Montrez que l’estimateur
du Maximum de Vraisemblance (MV) de la probabilité de vote pour le candidat A; noté bp,
est donnée par
bp=1
N
N
X
i=1
Xi(2)
Vous détaillerez (i) l’écriture de la log-vraisemblance et (ii) les équations de vraisemblance
(conditions nécessaire et su¢ sante).
Question 3 (2 points) Montrez que l’estimateur du MV bpest (i) sans biais et (ii) convergent.
Question 4 (1 point) Montrez que l’estimateur du MV bpest e¢ cace au sens de la borne FDCR
(FrechetDarnoisCramerRao).
Question 5 (1 point) Quelle est la loi asymptotique de l’estimateur du MV bp?
Question 6 (1 point) On a compté 98 électeurs (parmi les 200 interrogés) déclarant voter pour
le candidat A. Proposer une estimation ponctuelle du paramètre p:
Question 7 (1.5 point) Calculer un intervalle de con…ance de niveau 95%, puis de niveau 98% du
paramètre pen indiquant comment vous construisez l’intervalle. Comparer les deux intervalles
obtenus.
Question 8 (1.5 point) On suppose que la vraie probabilité pque le candidat soit élu est égale
à 52%. A partir de quelle taille d’échantillon, les instituts de sondage donnerait gagnant le
candidat A avec une probabilité de 95% ? Remarque : on prévoit que le candidat A sera élu
si la fréquence empirique bpdans l’échantillon excède 50%.

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Exercice 2 Vrai - Faux Barème : 6 points.
Toute réponse non justi…ée sera considérée comme fausse. Attention : certaines propositions
contenues dans les énoncés peuvent être incomplètes.
Question 1 (0.5 point) Si la v.a.r. Xest distribuée selon une loi normale Nm; 2, son moment
centré d’ordre trois est égal à :
3=Eh(XE(X))3i= 34(3)
Question 2 (0.5 point) Si la v.a.r. Xest distribuée selon une loi du chi-deux à Kdegrés de
libertés et si Yest distribuée selon une loi normale N(0;1) alors la variable Zdé…nie par :
Z=Y
pY=K (4)
suit une loi de Student à Ndegrés de liberté.
Question 3 (0.5 point) Soit fX1; X2; ::; XNgun N-échantillon de variables aléatoires i:i:d:de
même loi que X, où Xsuit une loi du chi-deux à Kdegrés de libertés. On a alors :
E N
X
i=1
Xi!=N K V ar N
X
i=1
Xi!=N K2(5)
Question 4 (0.5 point) Soit fX1; X2; ::; XNgun N-échantillon de variables aléatoires i:i:d:de
même loi que X, où E(X) = et soit XN= (1=N )PN
i=1 Xi:De la loi faible des grands
nombres, on peut déduire que :
XN
m:s:
!
N!1 (6)
où m:s: désigne la convergence en moyenne quadratique.
Question 5 (1.5 point) Soit fX1; X2; ::; XNgun N-échantillon de variables aléatoires i:i:d:de
même loi que X, où E(X) = met V ar (X) = 2:La variance empirique SNdé…nie par :
SN=1
N
N
X
i=1 XiXN2(7)
est un estimateur biaisé de la variance 2:
Question 6 (1 point) Soit fX1; X2; ::; XNgun N-échantillon de variables aléatoires i:i:d:de même
loi que X, où Xsuit une loi de Poisson de paramètre : On rappelle que :
Pr [X=x] = ex
x!(8)
L’estimateur du maximum de vraisemblance du paramètre correspond à la moyenne em-
pirique XN= (1=N)PN
i=1 Xi:
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Question 7 (1.5 point) Soit fX1; X2; ::; XNgun N-échantillon de notes aléatoires i:i:d:de même
loi que X, où Xsuit une loi uniforme sur [; 20] de densité :
fX(x; ) = 1
20
0
si x2[; 20]
sinon (9)
Si l’on suppose que toutes les notes sont inférieures ou égales à 20, l’estimateur du maximum
de vraisemblance du paramètre ; noté b ; est égal à :
b
= inf
figXi(10)
Exercice 3 Intervalle de con…ance. Barème : 4 points
On cherche à prévoir le taux de croissance mensuel du volume des ventes, noté X; censé être
représenté par une variable aléatoire réelle de distribution normale Nm; 2. Pour cela on con-
sidère un N-échantillon de 24 valeurs passées, notées fX1; ::; XNg;supposées être i:i:d et de même
loi que X: A partir de cet échantillon on observe que le taux de croissance moyen des ventes est
égale à 2:1% et que la variance empirique corrigée, notée SC
N;est égale à 0:4.
Question 1 (2 points) Proposez à votre direction un intervalle de con…ance pour un risque de
10% sur la valeur du taux de croissance moyen des ventes en supposant que la variance 2
est connue et égale à 0.4.
Question 2 (2 points) Refaites le même exercice, mais en supposant cette fois que la variance
2est inconnue. Vous détaillerez précisément votre démarche.
Bon Courage
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