Université d’Orléans - Licence Economie et Gestion Statistique Mathématique C. Hurlin. Examen Novembre 2006 Exercice 1 Election Présidentielle (d’après l’examen 2003 de Traitement Statique de l’Information Economique, Licence Economie et Gestion, Université Paris IX Dauphine, avec l’autorisation de Mme Bessec). Barème : 11 points. Le 2eme tour d’une élection présidentielle oppose le candidat A au candidat B. Pour évaluer la proportion p d’électeurs de la population souhaitant voter pour le candidat A plutôt que pour le candidat B, on tire au sort un échantillon de N individus dans une population de grande taille et on demande à chacun des individus pour lequel des deux candidats il a l’intention de voter. On associe à chaque individu sondé une variable aléatoire Xi pour i = 1; ::; N; telle que : Xi = 1 0 si l’individu i a l’intention de voter pour A sinon (1) Question 1(1 point) Quelle est la loi suivie par les variables aléatoires X1 ; X2 ; :::; XN ? Question 2 (2 points) On admet que Pr [Xi = xi ] = pxi (1 p)1 xi : Montrez que l’estimateur du Maximum de Vraisemblance (MV) de la probabilité de vote pour le candidat A; noté pb, est donnée par N 1 X pb = Xi (2) N i=1 Vous détaillerez (i) l’écriture de la log-vraisemblance et (ii) les équations de vraisemblance (conditions nécessaire et su¢ sante). Question 3 (2 points) Montrez que l’estimateur du MV pb est (i) sans biais et (ii) convergent. Question 4 (1 point) Montrez que l’estimateur du MV pb est e¢ cace au sens de la borne FDCR (Frechet Darnois Cramer Rao). Question 5 (1 point) Quelle est la loi asymptotique de l’estimateur du MV pb ? Question 6 (1 point) On a compté 98 électeurs (parmi les 200 interrogés) déclarant voter pour le candidat A. Proposer une estimation ponctuelle du paramètre p: Question 7 (1.5 point) Calculer un intervalle de con…ance de niveau 95%, puis de niveau 98% du paramètre p en indiquant comment vous construisez l’intervalle. Comparer les deux intervalles obtenus. Question 8 (1.5 point) On suppose que la vraie probabilité p que le candidat soit élu est égale à 52%. A partir de quelle taille d’échantillon, les instituts de sondage donnerait gagnant le candidat A avec une probabilité de 95% ? Remarque : on prévoit que le candidat A sera élu si la fréquence empirique pb dans l’échantillon excède 50%. C. Hurlin. Examen Novembre 2006 page 2 Exercice 2 Vrai - Faux Barème : 6 points. Toute réponse non justi…ée sera considérée comme fausse. Attention : certaines propositions contenues dans les énoncés peuvent être incomplètes. Question 1 (0.5 point) Si la v.a.r. X est distribuée selon une loi normale N m; centré d’ordre trois est égal à : h i 3 = E (X E (X)) =3 4 3 2 , son moment (3) Question 2 (0.5 point) Si la v.a.r. X est distribuée selon une loi du chi-deux à K degrés de libertés et si Y est distribuée selon une loi normale N (0; 1) alors la variable Z dé…nie par : Z=p Y (4) Y =K suit une loi de Student à N degrés de liberté. Question 3 (0.5 point) Soit fX1 ; X2 ; ::; XN g un N -échantillon de variables aléatoires i:i:d:de même loi que X, où X suit une loi du chi-deux à K degrés de libertés. On a alors : ! ! N N X X E Xi = N K V ar Xi = N K 2 (5) i=1 i=1 Question 4 (0.5 point) Soit fX1 ; X2 ; ::; XN g un N -échantillon de variables aléatoires i:i:d:de P X même loi que X, où E (X) = et soit X N = (1=N ) N i=1 i : De la loi faible des grands nombres, on peut déduire que : m:s: XN ! (6) N !1 où m:s: désigne la convergence en moyenne quadratique. Question 5 (1.5 point) Soit fX1 ; X2 ; ::; XN g un N -échantillon de variables aléatoires i:i:d:de même loi que X, où E (X) = m et V ar (X) = 2 : La variance empirique SN dé…nie par : SN N 1 X = Xi N XN 2 (7) i=1 est un estimateur biaisé de la variance 2: Question 6 (1 point) Soit fX1 ; X2 ; ::; XN g un N -échantillon de variables aléatoires i:i:d:de même loi que X, où X suit une loi de Poisson de paramètre : On rappelle que : x Pr [X = x] = e x! L’estimateur du maximum PN de vraisemblance du paramètre pirique X N = (1=N ) i=1 Xi : 2 (8) correspond à la moyenne em- C. Hurlin. Examen Novembre 2006 page 3 Question 7 (1.5 point) Soit fX1 ; X2 ; ::; XN g un N -échantillon de notes aléatoires i:i:d:de même loi que X, où X suit une loi uniforme sur [ ; 20] de densité : fX (x; ) = 1 20 si x 2 [ ; 20] sinon 0 (9) Si l’on suppose que toutes les notes sont inférieures ou égales à 20, l’estimateur du maximum de vraisemblance du paramètre ; noté b; est égal à : b = inf Xi fi g (10) Exercice 3 Intervalle de con…ance. Barème : 4 points On cherche à prévoir le taux de croissance mensuel du volume des ventes, noté X; censé être représenté par une variable aléatoire réelle de distribution normale N m; 2 . Pour cela on considère un N -échantillon de 24 valeurs passées, notées fX1 ; ::; XN g ; supposées être i:i:d et de même loi que X: A partir de cet échantillon on observe que le taux de croissance moyen des ventes est C ; est égale à 0:4. égale à 2:1% et que la variance empirique corrigée, notée SN Question 1 (2 points) Proposez à votre direction un intervalle de con…ance pour un risque de 10% sur la valeur du taux de croissance moyen des ventes en supposant que la variance 2 est connue et égale à 0.4. Question 2 (2 points) Refaites le même exercice, mais en supposant cette fois que la variance 2 est inconnue. Vous détaillerez précisément votre démarche. Bon Courage 3