Université dKOrléans " Licence Economie et Gestion Statistique

Université d’Orléans - Licence Economie et Gestion
Statistique Mathématique
C. Hurlin. Examen Novembre 2006
Exercice 1 Election Présidentielle (d’après l’examen 2003 de Traitement Statique de l’Information
Economique, Licence Economie et Gestion, Université Paris IX Dauphine, avec l’autorisation
de Mme Bessec). Barème : 11 points.
Le 2eme tour d’une élection présidentielle oppose le candidat A au candidat B. Pour évaluer la
proportion p d’électeurs de la population souhaitant voter pour le candidat A plutôt que pour le
candidat B, on tire au sort un échantillon de N individus dans une population de grande taille et
on demande à chacun des individus pour lequel des deux candidats il a l’intention de voter. On
associe à chaque individu sondé une variable aléatoire Xi pour i = 1; ::; N; telle que :
Xi =
1
0
si l’individu i a l’intention de voter pour A
sinon
(1)
Question 1(1 point) Quelle est la loi suivie par les variables aléatoires X1 ; X2 ; :::; XN ?
Question 2 (2 points) On admet que Pr [Xi = xi ] = pxi (1 p)1 xi : Montrez que l’estimateur
du Maximum de Vraisemblance (MV) de la probabilité de vote pour le candidat A; noté pb,
est donnée par
N
1 X
pb =
Xi
(2)
N
i=1
Vous détaillerez (i) l’écriture de la log-vraisemblance et (ii) les équations de vraisemblance
(conditions nécessaire et su¢ sante).
Question 3 (2 points) Montrez que l’estimateur du MV pb est (i) sans biais et (ii) convergent.
Question 4 (1 point) Montrez que l’estimateur du MV pb est e¢ cace au sens de la borne FDCR
(Frechet Darnois Cramer Rao).
Question 5 (1 point) Quelle est la loi asymptotique de l’estimateur du MV pb ?
Question 6 (1 point) On a compté 98 électeurs (parmi les 200 interrogés) déclarant voter pour
le candidat A. Proposer une estimation ponctuelle du paramètre p:
Question 7 (1.5 point) Calculer un intervalle de con…ance de niveau 95%, puis de niveau 98% du
paramètre p en indiquant comment vous construisez l’intervalle. Comparer les deux intervalles
obtenus.
Question 8 (1.5 point) On suppose que la vraie probabilité p que le candidat soit élu est égale
à 52%. A partir de quelle taille d’échantillon, les instituts de sondage donnerait gagnant le
candidat A avec une probabilité de 95% ? Remarque : on prévoit que le candidat A sera élu
si la fréquence empirique pb dans l’échantillon excède 50%.
C. Hurlin. Examen Novembre 2006 page 2
Exercice 2 Vrai - Faux Barème : 6 points.
Toute réponse non justi…ée sera considérée comme fausse. Attention : certaines propositions
contenues dans les énoncés peuvent être incomplètes.
Question 1 (0.5 point) Si la v.a.r. X est distribuée selon une loi normale N m;
centré d’ordre trois est égal à :
h
i
3
=
E
(X
E
(X))
=3 4
3
2
, son moment
(3)
Question 2 (0.5 point) Si la v.a.r. X est distribuée selon une loi du chi-deux à K degrés de
libertés et si Y est distribuée selon une loi normale N (0; 1) alors la variable Z dé…nie par :
Z=p
Y
(4)
Y =K
suit une loi de Student à N degrés de liberté.
Question 3 (0.5 point) Soit fX1 ; X2 ; ::; XN g un N -échantillon de variables aléatoires i:i:d:de
même loi que X, où X suit une loi du chi-deux à K degrés de libertés. On a alors :
!
!
N
N
X
X
E
Xi = N K
V ar
Xi = N K 2
(5)
i=1
i=1
Question 4 (0.5 point) Soit fX1 ; X2 ; ::; XN g un N -échantillon
de variables aléatoires i:i:d:de
P
X
même loi que X, où E (X) = et soit X N = (1=N ) N
i=1 i : De la loi faible des grands
nombres, on peut déduire que :
m:s:
XN !
(6)
N !1
où m:s: désigne la convergence en moyenne quadratique.
Question 5 (1.5 point) Soit fX1 ; X2 ; ::; XN g un N -échantillon de variables aléatoires i:i:d:de
même loi que X, où E (X) = m et V ar (X) = 2 : La variance empirique SN dé…nie par :
SN
N
1 X
=
Xi
N
XN
2
(7)
i=1
est un estimateur biaisé de la variance
2:
Question 6 (1 point) Soit fX1 ; X2 ; ::; XN g un N -échantillon de variables aléatoires i:i:d:de même
loi que X, où X suit une loi de Poisson de paramètre : On rappelle que :
x
Pr [X = x] = e
x!
L’estimateur du maximum
PN de vraisemblance du paramètre
pirique X N = (1=N ) i=1 Xi :
2
(8)
correspond à la moyenne em-
C. Hurlin. Examen Novembre 2006 page 3
Question 7 (1.5 point) Soit fX1 ; X2 ; ::; XN g un N -échantillon de notes aléatoires i:i:d:de même
loi que X, où X suit une loi uniforme sur [ ; 20] de densité :
fX (x; ) =
1
20
si x 2 [ ; 20]
sinon
0
(9)
Si l’on suppose que toutes les notes sont inférieures ou égales à 20, l’estimateur du maximum
de vraisemblance du paramètre ; noté b; est égal à :
b = inf Xi
fi g
(10)
Exercice 3 Intervalle de con…ance. Barème : 4 points
On cherche à prévoir le taux de croissance mensuel du volume des ventes, noté X; censé être
représenté par une variable aléatoire réelle de distribution normale N m; 2 . Pour cela on considère un N -échantillon de 24 valeurs passées, notées fX1 ; ::; XN g ; supposées être i:i:d et de même
loi que X: A partir de cet échantillon on observe que le taux de croissance moyen des ventes est
C ; est égale à 0:4.
égale à 2:1% et que la variance empirique corrigée, notée SN
Question 1 (2 points) Proposez à votre direction un intervalle de con…ance pour un risque de
10% sur la valeur du taux de croissance moyen des ventes en supposant que la variance 2
est connue et égale à 0.4.
Question 2 (2 points) Refaites le même exercice, mais en supposant cette fois que la variance
2 est inconnue. Vous détaillerez précisément votre démarche.
Bon Courage
3