Stats

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Fiche de Statistiques
Contents
I
Rappels et formules utiles
2
1 Rappels généraux
2
2 Espérance mathématique
2
3 Variance
2
II
3
Estimateurs
1 Définition
3
2 Qualité d’un estimateur
3
3 Stratégie bayésienne
4
1
Statistiques
Pougne Pandore
Part I
Rappels et formules utiles
Ceci est plus une liste des choses à réviser qu’un rappel en soit, tout le reste se trouve dans la pougne de proba.
Il faut aussi savoir faire des calculs d’espérance. Toutes les formules ici sont à connaître, elles sont toutes utiles et
utilisées.
1
Rappels généraux
Définition d’un espace probabilisé (Ω, A, P ) est un espace probabilisé où Ω un ensemble, A ∈ P(Ω) est une
tribu et P probabilité
Tribu borélienne B(R) = {] − ∞, a[, a ∈ R}
Probabilités conditionnelles
Soit Cn famille de A où aucun des termes n’a une probabilité nulle,
Formule des probabilités totales
∀A ∈ A, P (A) =
+∞
X
P (A|Cn )P (Cn )
n=1
Formule de Bayes
Si P (A) 6= 0, P (Ci |A) =
P (A|Ci )P (Ci )
+∞
X
P (A|Cn )P (Cn )
n=1
2
Espérance mathématique
Calcul
v.a discrète E[X] =
X
ω∈Ω
Z
v.a continue E[X] =
X
X(ω)P (ω) =
an P (X = an )
k∈(1,...n)
Z
X(ω)dP (ω) =
ω∈Ω
xdPX (x)
R
Propriétés
• E[X + Y ] = E[X] + E[Y ]
• Linéarité : E[aX + b] = aE[X] + b, a, b ∈ R (⇒ E[XE[X]] = E[X]2 car E[X] est un scalaire)
• Formule à retenir : E[1C ] = P (C)
• En pratique si les Xi sont n v.a.i.i.d., E[
3
P
Xi ] = nE[X1 ]
Variance
Calcul

− E[X])2 ]
 = E[(X
R
V ar(X) = R (x − E[X])2 fX (x)dx

2
2
= E[X ] − E[X]
Covariance
(Définition)
(Théorème de transfert)
(Pour les calculs. ATTENTION à vérifier que X 2 est intégrable)
Définition : Cov(X, Y ) = E[(X − E[X])(Y − E[Y ])] = E[XY ] − E[X]E[Y ]
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Statistiques
Pougne Pandore
Propriétés
• V ar(aX + b) = a2 V ar(X)
• V ar(X + Y ) = V ar(X) + V ar(Y ) + 2Cov(X, Y )
• Si X et Y sont indépendants alors E[XY ] = E[X]E[Y ] et Cov(X, Y ) = 0 donc V ar(X + Y ) = V ar(X) +
V ar(Y )
Ecart type
σX =
p
V ar(X)
Lα
Xn −−→ X
⇓
p.s.
P
L
Xn −−→ X ⇒ Xn −
→ X ⇒ Xn −
→X
Relations entre les convergences
Les principales lois à connaître (minimum)
Nom
Formule
1
Uniforme [a, b]
fX (x) = b−a
1[a,b]
Binomiale B(n, p)
n
P (X = k) = ( k )pk (1 − p)n−k
Normale N (µ, σ)
f (x) =
√ 1
2πσ 2
exp
h
−(x−µ)2
2σ 2
Espérance
Variance
a+b
2
(b−a)2
12
np
np(1 − p)
µ
σ2
i
Graph
Part II
Estimateurs
1
Définition
Introduction Lorsque l’on a un problème complexe avec beaucoup de données, cela devient vite intraitable.
On décide donc de prendre un échantillon, ce qui implique ne plus avoir des valeures excates mais des échantillons.
Une estimation est une valeur calculée sur un échantillon, que l’on espère proche de la valeur d’un paramètre
et qui permet de caractériser la population totale. En général, la problématique ici est de trouver le "meilleur"
estimateur.
Contexte Soient (X1 , ...Xn ) v.a. indépendantes de loi commune appartenant à la famille (Pθ )θ∈Θ , la famille de
modèle probabiliste (A ⊂ R, An ⊗ Pθ )θ∈Θ est dite modèle statistique
2
Qualité d’un estimateur
Minimisation de l’erreur Si T̂
n
estimateur de t, on minimise les critères suivants :
• biais(T̂ n ) = |E[t−T̂ n ]| = |t − E[T̂ n ]|
• Var(T̂ n ) = E[(T̂
n
− E[T̂ n ])2 ] (stabilité autour de la valeur)
• Erreur quadratique : EQM(T̂ n ) =E[(t−T̂ n )2 ] = V ar(T̂ n )+biais(T̂ n )2
Remarque : l’erreur quadratique est UNE façon de mesurer l’erreur, mais il y en a d’autre..
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Statistiques
Pougne Pandore
Convergence
n→+∞
en probabilité si ∀ > 0, lim −−−−−→ P (|t−T̂ n | > 0) = 0
Estimateur sans biais si E[T̂ n ] = t
Construction des estimateurs
• Sans biais (on s’arrange pour qu’après calcul, le biais soit nul)
b 1 , ..., xn ) = arg max log f n (x1 , ...., xn ))
• Maximum de vraissemblance ( θ(x
θ
θ
• Méthode des moments (exemple E[X] = kθ ⇒ θ = kE[X] ⇒ θbn =
k
n
P
Xi
• Moindre carrés (p37)
En pratique : Il faut savoir faire des calculs d’espérance...
3
Stratégie bayésienne
Notation
poly p59
• θ paramètre
• ŝ estimateur
• ξ v.a. de densité f
•
Q
Q
=(
1 , ...,
Q
k)
loi de ξ, probabilité "a priori"
Q
Qx
f (x)
i i
P
Q
• i =
probabilité "a posteriori"
fj (x)
j
j
Fonction de perte
Risque
0 si θi = θj
L ={ λ
où λi,j modélise la gravité de l’erreur "on a choisi θi au lieu de θj
i,j si θi 6= θj
R(ŝ, θ) = E[L(ŝ(X), θ)] =
R
R L(ŝ(x), θ)dPθ (x)
Stratégie bayésienne ou estimateur bayésien ŝB permet de prendre des décisions et vérifie E[L(ŝB (X), ξ)] =
minŝ E[L(ŝ(X, ξ)]
P
Q
P
Q
mais surtout (2.10) [ŝB = θm ] ↔ [∀1 ≤ i ≤ k, j λmj xj ≤ j λij xj
Probabilité d’erreur se calcule souvent grâce aux probabilités conditionnelles
Coût d’une erreur (perte moyenne) formule 2.8 E[L(ŝ(X), ξ)]
PS :
Le poly est sympa, y’a plein plein d’annales à la fin...
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