Fiche 10 : Probabilités Nº : 32010 MATHEMATIQUES Série S

Fiche Cours
Nº : 32010
MATHEMATIQUES
Série S
Fiche 10 : Probabilités
Plan de la fiche
I - Les parties d’un ensemble E
II - Probabilité
III - Probabilité conditionnelle
IV - Variable aléatoire
V - Lois discrètes usuelles
VI - Loi continue
I - Les parties d’un ensemble E
Opérations sur les parties d’un ensemble
A∪B
A∩B
A ∩ B = ∅ Partition
Les parties A1, A2, …, An constituent une partition de E si elles sont non vides, deux à deux disjointes et si leur réunion est égale
à E.
Exemple
Dans un jeu de trente deux cartes : pique, cœur, carreau, trèfle est une partition car il n’existe pas de carte qui soit
à la fois pique et cœur, pique et carreau… Ces ensembles sont bien deux à deux disjoints ; si on réunit ces quatre
ensembles, on obtient le jeu de trente deux cartes.
Une autre partition du jeu de cartes et de considérer les huit hauteurs : sept, huit, neuf, dix, valet, dame, roi, as.
► À SAVOIR
Les événements
Soit E = {x1 , x 2 ,....., x k } l’ensemble des issues d’une expérience aléatoire.
• On appelle événement toute partie A de E.
• Un événement noté {x i } réduit à un seul élément est un événement élémentaire.
• ∅ désigne l’événement impossible.
• E désigne l’événement certain.
• A désigne le contraire de A.
• A ∩ B signifie que les deux événements A et B sont réalisés simultanément.
• A ∪ B signifie que l’un au moins des deux événements A, B est réalisé.
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II - Probabilité
Loi de probabilité
Lorsqu’une expérience aléatoire comporte un nombre fini d’issues, on définit sur l’ensemble E = {x1 , x 2 ,..., x k } (appelé aussi univers)
une loi de probabilité en se donnant des nombres P1, P2, …, Pk respectivement associés à x1, x2, …, xk. tels que Pi ≥ 0 et
i=k
∑P
i
= 1.
i =1
Equiprobabilité
On dit qu’il y a équiprobabilité quand chaque événement élémentaire a la même probabilité d’apparition.
Exemple
a) Tirer une carte au hasard dans un jeu de 32. Le groupe de mots « au  hasard » nous indique l’équiprobabilité : chaque
carte a la même probabilité 1/32 d’être tirée.
Dans ce cas, pour tout événement A :
P (A ) =
nombre d'éléments de A nombre de cas favorables
=
nombre d'éléments de E
nombre de cas possibles
b) Dans un supermarché, il y a 150 cartons de lait, dont 8 sont avariés. Un client prend deux cartons au hasard. Quelle
est la probabilité que ce client soit mécontent ?
Il suffit de dénombrer les cas possibles et les cas favorables.
L’ordre dans lequel il choisit ses cartons n’a pas d’importance et les répétitions ne sont pas possibles (il prend deux
cartons obligatoirement distincts).
n
p
Donc on dénombrera avec   .
 Méthode : « Calculer une probabilité simple », fiche exercices n°10 « Probabilités ».
► À SAVOIR
Opérations sur les probabilités
• 0 ≤ P (A ) ≤ 1
• P (∅ ) = 0
• P(E) = 1
• P ( A ) = 1 – P(A)
• P (A ∪ B ) = P (A ) + P (B ) − P (A ∩ B )
• Dans le cas particulier où A et B sont disjoints (A ∩ B = ∅ )  : P (A ∪ B ) = P (A ) + P (B ).
Exemple
On extrait simultanément et au hasard 5 cartes d’un jeu de 32. Calculer la probabilité d’obtenir trois rois ou une
dame.
La solution sera de la forme :
P ((3rois ) ∪ (1dame )) = P (3rois ) + P (1dame ) − P ((3rois ) ∩ (1dame )) .
 Méthode : « Opérations sur les événements et probabilité », fiche exercices n°10 « Probabilités ».
III - Probabilité conditionnelle
Formule des probabilités conditionnelles
Soit A un événement de l’ensemble E, tel que P(A) ≠ 0.
P (A ∩ B )
.
On appelle probabilité conditionnelle de B sachant que A est réalisé le nombre PA (B ) = P (B A ) =
P (A )
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Exemple
On extrait simultanément et au hasard 5 cartes d’un jeu de 32.
Calculer la probabilité pour qu’une main contenant le roi de pique contienne également la dame de pique.
Attention à l’énoncé : « une main contenant le roi de pique ».
Il s’agit de calculer la probabilité qu’une main contienne la dame de pique sachant qu’elle contient déjà le roi de
pique.
C’est-à-dire P (Dp / Rp ) où Dp désigne l’événement « tirer la dame de pique » et Rp désigne l’événement  « tirer le
roi de pique ».
P (Dp / Rp ) =
P (Dp ∩ Rp )
.
P (Rp )
 Méthode : « Calcul d’une probabilité conditionnelle », fiche exercices n°10 « Probabilités ».
 Méthode : « Reconnaître une probabilité conditionnelle », fiche exercices n°10 « Probabilités ».
Probabilités composées
A et B sont deux événements quelconques
P (A ∩ B ) = P (A B ) × P (B ) = P (B A ) × P (A ).
 Méthode : « Probabilités composées », fiche exercices n°10 « Probabilités ».
Probabilités totales
Soit A1, A2, …, An des événements de probabilité non nulle, réalisant une partition de l’univers E.
Alors, pour tout événement B : P (B ) = P (B A1 ) × P (A1 ) + P (B A 2 ) × P (A 2 ) + .... + P (B A n ) × P (A n ).
Un cas particulier important est celui où la partition se réduit à {A, A}.
La formule devient : P (B ) = P (B / A ) × P (A ) + P (B / A )× P ( A ) .
 Méthode : « Utiliser la formule des probabilités totales », fiche exercices n°10 « Probabilités ».
Indépendance
On dit que deux événements A et B sont indépendants lorsque P (A ∩ B ) = P (A ) × P (B ).
IV - Variable aléatoire
Définir une variable aléatoire
Une variable aléatoire X est une fonction de E dans .
Exemples
• Quand on compte les points aux cartes (à chaque carte on associe un nombre).
• Quand on jette deux dés : à chaque jet, on associe la somme des chiffres apparus sur les faces supérieures.
Loi de probabilité d’une variable aléatoire
L’ensemble des valeurs prises par la variable aléatoire X est noté {x1 , x 2 ,..., x k } avec les probabilités respectives p1 , p 2 ,..., p k définies
par pi = P (X = x i ).
Donner la loi de probabilité de X, c’est donner la valeur de chaque pi.
Fonction de répartition
La fonction de répartition de X est notée FX et définie par FX (x ) = P (X ≤ x ).
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► À SAVOIR
Espérance mathématique, variance, écart type
Espérance mathématique
i=k
L’ espérance mathématique de X est le nombre noté E (X ) = ∑ x i × pi (cette notion correspond à celle de moyenne
i =1
arithmétique).
Variance
La variance de X est le nombre réel positif noté V (X ).
i=k
2
2
2
 i=k

V (X ) = ∑ (x i − E (X )) × pi =  ∑ (x i ) × pi  − (E (X )) .
i =1
 i =1

Ecart-type
L’écart-type est le nombre σX = V(X).
Propriétés de l’espérance, de la variance, de l’écart type
• E (aX ) = aE (X ) ; E (X + b ) = E (X ) + b  ;
• V (aX ) = a 2 V (X )  ;
V (X + b ) = V (X )  ;
• σ(aX ) = a σ X  ; σ(X + b ) = σ X .
 Méthode : « Etude d’une variable aléatoire discrète », fiche exercices n°10 « Probabilités ».
V - Lois discrètes usuelles
Loi de Bernoulli
On considère une épreuve aléatoire à deux issues contraires (épreuve de Bernoulli) notées S (pour succès) de probabilité p et E
(pour échec) de probabilité 1 – p.
X est la variable aléatoire à valeurs dans {0,1} définie ainsi :
• X = 0 si l’issue de l’épreuve est E ;
• X = 1 si l’issue de l’épreuve est S.
On dit alors que X suit une loi de Bernoulli de paramètre p.
On a E (X ) = p et V (X ) = p (1 − p ).
Loi binomiale
Un schéma de Bernoulli est la répétition de n épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes d’issues contraires S et E de
probabilités respectives p et 1 – p. On considère la variable aléatoire X qui compte le nombre de S obtenus au cours de ces n
épreuves.
La variable X est à valeurs dans {0, 1, 2, … , n}.On dit alors que X suit une loi binomiale de paramètres n et p, et on a :
n
• P (X = k ) =   p k × (1 − p )
k
 
n −k
;
• E (X ) = np ;
• V (X ) = np (1 − p ).
 Méthode : « Reconnaître une loi binômiale », fiche exercices n°10 « Probabilités ».
VI - Loi continue
Loi continue, loi discrète
Les paragraphes précédents concernent des univers discrets, c’est-à-dire des univers où l’on peut distinguer les éléments les uns
des autres. Dans cette partie, on considère des univers où l’on ne peut plus distinguer les éléments les uns des autres.
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Par exemple, on considère un robinet qui goutte. On peut distinguer la première goutte de la deuxième goutte, de la troisième
goutte, etc. si on met une cuvette sous ce robinet. Dans cette cuvette, les gouttes sont indiscernables : on est passé d’un univers
discret à un univers continu.
Loi de probabilité d’une variable continue
Une loi de probabilité P sur un intervalle I = [a, b ] de
b
que ∫a f (x)dx = 1.
est déterminée par une fonction f définie, continue, positive sur I telle
Cette fonction f s’appelle la densité de probabilité de P.
Pour tout intervalle [α, β ] inclus dans I, la probabilité de [α, β ] est P ([α, β ]) =
L’intégrale
∫
β
α
β
∫ f (x )dx.
α
f (x)dx représente une surface,
donc P ([α, β ]) = P ([α, β[) = P (]α, β ]) = P (]α, β[),
car une surface reste la même que l’on inclue les bords ou non.
Variable aléatoire continue
Une variable aléatoire X à valeurs dans I = [a, b ] suit une loi de probabilité P (ci-dessus définie) si P (a ≤ X ≤ x ) =
tout x de [a, b ].
∫
x
a
f (x)dx pour
 Méthode : « Etude d’une variable aléatoire continue », fiche exercices n°10 « Probabilités ».
Loi uniforme
La loi uniforme sur I = [a, b ] est la loi de probabilité P dont la densité f est une fonction constante sur I = [a, b ].
Cette constante vaut
1
.
b−a
La probabilité d’un intervalle J = [α, β ] ⊂ I est
β − α longueur de I
=
.
b − a longueur de J
Exemple
La variable aléatoire X suit une loi uniforme sur [2,10 ]. P (5 < X < 9 ) =
9−5
4 1
= = .
10 − 2 8 2
Loi exponentielle
Soit λ un réel strictement positif, la fonction f définie sur [0, +∞[ par f (s ) = λe −λs est la densité d’une loi de probabilité P, appelée
loi exponentielle de paramètre λ.
t
Une variable aléatoire T à valeurs dans [0, +∞[ suit la loi exponentielle de paramètre λ lorsque P (0 ≤ T ≤ t ) = ∫0 λe −λs ds.
On a alors P (0 ≤ T ≤ t ) = 1 − e −λt et P (T ≥ t ) = e −λt .
On remarque que P (T ≤ 0 ) = 0.
La loi exponentielle est une loi sans mémoire :
P ((T ≥ t + h ) / (T ≥ t )) ne dépend pas de t (avec t et h positifs), c’est-à-dire P ((T ≥ t + h ) / (T ≥ t )) = P (T ≥ h ).
Exemple
La fonction f définie sur [0, +∞[ par f (s) = 5e −5s est la densité de probabilité d’une loi exponentielle de paramètre 5.
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