Les polynômes à coefficients dans R ou C.

Marino Alexandre
Massena ECS 1
Feuille d’exercices 7
Les polynômes à coefficients dans R ou C.
Dans la suite K désignera R ou C.
Les exercices à regarder sont mentionnés par une *.
A priori les exercices seront traités dans l’ordre suivant :
30, 34, 2.1, 5, 7, 11, 17, 16, 18, 28, 26, 35, 32.
Le degré et la division Euclidienne dans K[X]
Exercice 1 : Trouver tous les couples (λ, µ) ∈ R2 tels que X 4 + λX 3 + µX 2 + 12X + 4 soit le carré d’un polynôme
de R[X].
(*)Exercice 2 : Soit n ∈ N∗ . Dans chacun des cas suivants, montrer que A divise B :
1. A = (X − 1)2
B = X n+1 − X n − X + 1
2. A = (X − 1)3
B = nX n+2 − (n + 2)X n+1 + (n + 2)X − n
B = (X + 1)2n − X 2n − 2X − 1
3. A = X(X + 1)(2X + 1)
4. A = X 2 − 3X + 2
B = (X − 2)2n + (X − 1)n − 1
Exercice 3 : Effectuer la division euclidienne de A = X 5 − 7X 4 − X 2 − X + 9 par le polynôme X 2 − 5X + 4.
Exercice 4 : On définit une suite de polynômes (Pn )n∈N par
P0 = 1, P1 = X, Pn+2 = 2XPn+1 + Pn (∀n ≥ 0)
1. Calculer P2 et P3 . Soit n ∈ N, quel est le degré de Pn ?
2. Soit n ∈ N, déterminer la parité du polynôme Pn . Calculer Pn (1) puis Pn (−1).
(*)Exercice 5 : Montrer que ∀(m, n, p) ∈ N3 le polynôme A = X 2 +X +1 divise le polynôme B = X 3n+2 +X 3m+1 +X 3p .
Exercice 6 : Soit n ∈ N∗ . Déterminer le reste de la division euclidienne de A = (X − 2)2n + (X − 1)n − 2 par
B = (X − 1)(X + 1).
(*)Exercice 7 : Quel est le reste de la division de (X sin α + cos α)n par (X 2 + 1) ?
Exercice 8 : Trouver tous les a ∈ C tel que P = X 2 − aX + 1 divise Q = X 4 − X − a.
Exercice 9 : Soit (a, b) ∈ K2 Quel est le reste de la division de A ∈ K[X] par B = (X − a)(X − b) ?
(On distinguera les cas a 6= b et a = b)
Exercice 10 : Trouver tous les polynômes de R3 [X] dont le reste de la division euclidienne par (X − 1) , (X + 1)
et (X − 2) est toujours égal à 3.
(*)Exercice 11 : Trouver tous les polynômes de R3 [X] divisibles par (X − 1) et (X + 2) , et dont le reste de la division
euclidienne par (X 2 − 2) est 3.
Exercice 12 : Quels sont les polynômes P de R[X] dont le reste de la division euclidienne par (X 2 − 1) est (X − 1)
, et le reste de la division euclidienne par (X − 2) est 1 ?
Exercice 13 : Donner le quotient et le reste de la division euclidienne de A par B dans les cas suivants :
1. A = X 4 − 3X 3 − X − 7 et B = (X − 1)k (k ∈ N)
2. A = X 2n − 2nX + 1
et B = (X − 1)2 (n ∈ N∗ )
1
Les racines
Exercice 14 : Effectuer la division euclidienne de A = 2X 3 + 5X 2 + X − 2 par B = X + 1 puis trouver les racines
de A. Résoudre ensuite les équations suivantes :
1. 2 sin3 θ + 5 sin2 θ + sin θ − 2 = 0
2. 2(ln y)3 + 5(ln y)2 + (ln y) − 2 = 0
3. 2e2t + 5et + 1 − 2e−t = 0
Exercice 15 : Soit P = aX n+1 + bX n + 1 avec (a, b) ∈ R2 Trouver a et b pour que P soit divisible par (X − 1)2 .
(*)Exercice 16 : Montrer que B = X 2 − 2 cos(θ)X + 1 divise A = X n+1 cos((n − 1)θ) − X n cos(nθ) − X cos(θ) + 1 et
déterminer le quotient de la division euclidienne de A par B.
(*)Exercice 17 : Soient a ∈ R et P ∈ R[X]. On pose Q = 21 (X − a)(P 0 + P 0 (a)) − P + P (a). Montrer que a est racine
(au moins ) triple de Q.
(*)Exercice 18 : Montrer que le polynôme P = (X − a)2 (b − c) + (X − b)2 (c − a) + (X − c)2 (a − b) + (a − b)(b − c)(c − a)
est le polynôme nul.
Exercice 19 : Trouver deux polynômes de R[X] de degré n qui n’admettent pour racine réelle que la valeur 2.
Exercice 20 : Déterminer tous les triplets (a, b, c) de réels pour que le polynôme P = X 6 + aX 4 − 10X 3 + bX + c
admette une racine quadruple, puis factoriser P .
Exercice 21 : Déterminer tous les réels a en b pour que le polynôme P = X 5 + aX 4 + bX 3 + 4X 2 + 3X + 1 ait (−1)
pour racine d’ordre au moins égal à 2. Quel est l’ordre exact de cette racine ? Factoriser P .
Exercice 22 : Trouver les valeurs de α ∈ R telles que Pα = 3X 4 − 4X 3 − 12X 2 + α ait une racine multiple. Préciser
cette racine et son ordre de multiplicité, puis factoriser P .
Exercice 23 : Soit Pn (X) =
n
X
Xk
k=0
k!
. Montrer que Pn n’a pas de racine multiple.
Exercice 24 : Soit f (x) = x5 + 2x2 − 16x + 1 et P (x) = x3 + px + q avec (p, q) ∈ R2 . On suppose que P admet trois
racines distinctes x1 , x2 et x3 . Déterminer p et q pour que f (x1 ) = f (x2 ) = f (x3 ).
Exercice 25 :
1. Factoriser P = X 5 − 13X 4 + 67X 3 − 171X 2 + 216X − 108 sachant qu’il y a au moins une racine triple. (On
s’interdira de chercher des racines évidentes)
√
√
√
2. De même avec P = X 5 + 2X 4 + 4X 3 + 4 2X 2 + 4X + 4 2.
(*)Exercice 26 : Soit P ∈ R[X], que dire dans les cas suivants ?
1. Pour tout n ∈ N, P (n) = 0
2. La fonction x −→ P (x) est périodique de période T .
3. P (X + 1) = P (X).
4. P (X + 1) = −P (X).
Factorisation dans K[X]
Exercice 27 : Factoriser les polynômes suivants dans R[X] :
1. P = X 4 − 1
6. P = X 4 + X 2 + 1
2. P = X 4 + 1
7. P = X 4 + X 2 − 1
3. P = X 4 − 2aX 2 + a2 (a ∈ R)
8. P = X 6 + 64
4. P = X 3 + 2X 2 − 8X − 16
9. P = X 5 − X 4 − 2X 3 + 2X 2 − 2X + 2
5. P = X 4 + 4X 3 + X 2 − 12X − 12
10. P = X 8 + 1
(*)Exercice 28 : On pose P = (1 + iX)n − e2inα (1 − iX)n où α est un réel tel que e2inα 6= (−1)n
1. Factoriser P dans C[X].
n
Q
2. En déduire, lorsqu’elle existe, l’expression
tan(α + kπ
n ).
k=1
2
Racines et applications
Exercice 29 :
1. Soit n ∈ N. En utilisant le coefficient de X n dans (1 + X)n (1 + X)n = (1 + X)2n ,
n
X
2
montrer que
(nk ) = (2n
n ).
k=0
2. Soit n ∈ N. En utilisant (1 + X)2n (1 − X)2n = (1 − X 2 )2n ,
2n
X
2
montrer que
(−1)k (2n
= (−1)n (2n
k )
n ).
k=0
(*)Exercice 30 : Soient P , Q et R trois polynômes de R[X] tels que P 2 − XQ2 = XR2 . Montrer que P = Q = R = 0.
Exercice 31 : Trouver les polynômes P (X) de R[X] vérifiant P (X) · P (X + 2) = P (X 2 ).
n
Q
Exercice 32 : Montrer que
k
n
(1 + X 2 ) = (1 + X)(1 + X 2 )(1 + X 4 ) . . . (1 + X 2 ) =
2n+1
P−1
Xk
k=0
k=0
Exercice 33 : Soit P ∈ R[X] de degré 3, unitaire (coefficient dominant égal à 1) et admettant trois racines réelles
distinctes x1 , x2 , x3 . Etudier les racines réelles de Q = P 02 − 2P P 00 .
(*)Exercice 34 : Résoudre les équations suivantes dans R[X]
1. X(X + 1)P 00 + (X + 2)P 0 − P = 0
2. P (2X) = P 0 (X)P 00 (X)
Divers
1
(*)Exercice 35 : On pose pour tout n ≥ 0, Pn = 2i
[(X + i)2n+1 − (X − i)2n+1 ].
n
P
1. Montrer que Pn =
(2k + 12n+1 )(−1)k X 2n−2k
k=0
2. On suppose que :
n
Q
(X − αi ) =
i=1
n
P
i=1
n−1
P
ak X k + X n . Exprimer an−1 et an−2 en fonction des αi et exprimer
n
P
αi et
i=1
k=0
αi2 en fonction des ak
3. (a) Déterminer les racines de Pn .
n
n
P
P
kπ
1
(b) En déduire les valeurs de
cotan2 ( 2n+1
) et
.
sin2 ( kπ )
i=1
4. Montrer que ∀θ ∈]0, π2 [, cotan2 (θ) ≤
i=1
1
θ2
≤
1
sin2 (θ)
2n+1
. En déduire que
n
P
2
1
−→ π6 .
k2 n−→+∞
k=1
Suppléments
n
P
Exercice 36 : On note Z[X] l’ensemble des polynôme P ∈ R[X] de la forme
ak X k avec pour tout i, ai ∈ Z.
k=0
1
1
Soit n ∈ N∗ . Montrer qu’il existe Pn ∈ Z[X] tel que ∀x ∈ R , Pn x +
= xn + n .
x
x
Déterminer le degré d de Pn et les coefficients de degré d , d − 1 et d − 2.
Exercice 37 : Les nombres algébriques : On dit qu’un nombre est "algébrique" s’il est racine d’un polynôme unitaire
à coefficients entiers. c’est à dire a ∈ R est dit algébrique si il existe P ∈ Z[X] tel que P (a) = 0.
√
1. Montrer que tout rationnel, 2, i sont algébriques. (π et e ne le sont pas. ils sont des nombres dit "transcendants").
2. Montrer que si x est algébrique alors
(a) −x est algébrique
(b) x + r est algébrique (r ∈ Q).
(c) rx est algébrique (r ∈ Q∗ ).
3
1
x
est algébrique (x 6= 0).
√
√
3. Montrer que 2 + 3 est algébrique.
(d)
Exercice 38 : Soit P ∈ R[X], tel que P =
n
P
k=0
ak X k , ak ∈ Q.
√
√
1. Montrer que si P ( 2) = 0 alors P (− 2) = 0 et en déduire que P est divisible par X 2 − 2 dans Q[X].
√
√
2. En déduire que si P (1 + 2) = 0 alors P (1 − 2) = 0.