Les polynômes à coefficients dans R ou C.

Marino Alexandre Feuille d’exercices 7
Massena ECS 1
Les polynômes à coefficients dans Rou C.
Dans la suite Kdésignera Rou C.
Les exercices à regarder sont mentionnés par une *.
A priori les exercices seront traités dans l’ordre suivant :
30, 34, 2.1, 5, 7, 11, 17, 16, 18, 28, 26, 35, 32.
Le degré et la division Euclidienne dans K[X]
Exercice 1 : Trouver tous les couples (λ, µ)∈R2tels que X4+λX3+µX2+ 12X+ 4 soit le carré d’un polynôme
de R[X].
(*)Exercice 2 : Soit n∈N∗. Dans chacun des cas suivants, montrer que Adivise B:
1. A= (X−1)2B=Xn+1 −Xn−X+ 1
2. A= (X−1)3B=nXn+2 −(n+ 2)Xn+1 + (n+ 2)X−n
3. A=X(X+ 1)(2X+ 1) B= (X+ 1)2n−X2n−2X−1
4. A=X2−3X+ 2 B= (X−2)2n+ (X−1)n−1
Exercice 3 : Effectuer la division euclidienne de A=X5−7X4−X2−X+ 9 par le polynôme X2−5X+ 4.
Exercice 4 : On définit une suite de polynômes (Pn)n∈Npar
P0= 1, P1=X, Pn+2 = 2XPn+1 +Pn(∀n≥0)
1. Calculer P2et P3. Soit n∈N, quel est le degré de Pn?
2. Soit n∈N, déterminer la parité du polynôme Pn. Calculer Pn(1) puis Pn(−1).
(*)Exercice 5 : Montrer que ∀(m, n, p)∈N3le polynôme A=X2+X+1 divise le polynôme B=X3n+2 +X3m+1 +X3p.
Exercice 6 : Soit n∈N∗. Déterminer le reste de la division euclidienne de A= (X−2)2n+ (X−1)n−2par
B= (X−1)(X+ 1).
(*)Exercice 7 : Quel est le reste de la division de (Xsin α+ cos α)npar (X2+ 1) ?
Exercice 8 : Trouver tous les a∈Ctel que P=X2−aX + 1 divise Q=X4−X−a.
Exercice 9 : Soit (a, b)∈K2Quel est le reste de la division de A∈K[X]par B= (X−a)(X−b)?
(On distinguera les cas a6=bet a=b)
Exercice 10 : Trouver tous les polynômes de R3[X]dont le reste de la division euclidienne par (X−1) ,(X+ 1)
et (X−2) est toujours égal à 3.
(*)Exercice 11 : Trouver tous les polynômes de R3[X]divisibles par (X−1) et (X+ 2) , et dont le reste de la division
euclidienne par (X2−2) est 3.
Exercice 12 : Quels sont les polynômes Pde R[X]dont le reste de la division euclidienne par (X2−1) est (X−1)
, et le reste de la division euclidienne par (X−2) est 1 ?
Exercice 13 : Donner le quotient et le reste de la division euclidienne de Apar Bdans les cas suivants :
1. A=X4−3X3−X−7et B= (X−1)k(k∈N)
2. A=X2n−2nX + 1 et B= (X−1)2(n∈N∗)
1

Les racines
Exercice 14 : Effectuer la division euclidienne de A= 2X3+ 5X2+X−2par B=X+ 1 puis trouver les racines
de A. Résoudre ensuite les équations suivantes :
1. 2 sin3θ+ 5 sin2θ+ sin θ−2 = 0
2. 2(ln y)3+ 5(ln y)2+ (ln y)−2 = 0
3. 2e2t+ 5et+ 1 −2e−t= 0
Exercice 15 : Soit P=aXn+1 +bXn+ 1 avec (a, b)∈R2Trouver aet bpour que Psoit divisible par (X−1)2.
(*)Exercice 16 : Montrer que B=X2−2 cos(θ)X+ 1 divise A=Xn+1 cos((n−1)θ)−Xncos(nθ)−Xcos(θ)+1et
déterminer le quotient de la division euclidienne de Apar B.
(*)Exercice 17 : Soient a∈Ret P∈R[X]. On pose Q=1
2(X−a)(P0+P0(a)) −P+P(a). Montrer que aest racine
(au moins ) triple de Q.
(*)Exercice 18 : Montrer que le polynôme P= (X−a)2(b−c) + (X−b)2(c−a) + (X−c)2(a−b) + (a−b)(b−c)(c−a)
est le polynôme nul.
Exercice 19 : Trouver deux polynômes de R[X]de degré nqui n’admettent pour racine réelle que la valeur 2.
Exercice 20 : Déterminer tous les triplets (a, b, c)de réels pour que le polynôme P=X6+aX4−10X3+bX +c
admette une racine quadruple, puis factoriser P.
Exercice 21 : Déterminer tous les réels aen bpour que le polynôme P=X5+aX4+bX3+ 4X2+ 3X+ 1 ait (−1)
pour racine d’ordre au moins égal à 2. Quel est l’ordre exact de cette racine ? Factoriser P.
Exercice 22 : Trouver les valeurs de α∈Rtelles que Pα= 3X4−4X3−12X2+αait une racine multiple. Préciser
cette racine et son ordre de multiplicité, puis factoriser P.
Exercice 23 : Soit Pn(X) =
n
X
k=0
Xk
k!. Montrer que Pnn’a pas de racine multiple.
Exercice 24 : Soit f(x) = x5+ 2x2−16x+ 1 et P(x) = x3+px +qavec (p, q)∈R2. On suppose que Padmet trois
racines distinctes x1, x2et x3. Déterminer pet qpour que f(x1) = f(x2) = f(x3).
Exercice 25 :
1. Factoriser P=X5−13X4+ 67X3−171X2+ 216X−108 sachant qu’il y a au moins une racine triple. (On
s’interdira de chercher des racines évidentes)
2. De même avec P=X5+√2X4+ 4X3+ 4√2X2+ 4X+ 4√2.
(*)Exercice 26 : Soit P∈R[X], que dire dans les cas suivants ?
1. Pour tout n∈N,P(n) = 0
2. La fonction x−→ P(x)est périodique de période T.
3. P(X+ 1) = P(X).
4. P(X+ 1) = −P(X).
Factorisation dans K[X]
Exercice 27 : Factoriser les polynômes suivants dans R[X]:
1. P=X4−1
2. P=X4+ 1
3. P=X4−2aX2+a2(a∈R)
4. P=X3+ 2X2−8X−16
5. P=X4+ 4X3+X2−12X−12
6. P=X4+X2+ 1
7. P=X4+X2−1
8. P=X6+ 64
9. P=X5−X4−2X3+ 2X2−2X+ 2
10. P=X8+ 1
(*)Exercice 28 : On pose P= (1 + iX)n−e2inα(1 −iX)noù αest un réel tel que e2inα 6= (−1)n
1. Factoriser Pdans C[X].
2. En déduire, lorsqu’elle existe, l’expression
n
Q
k=1
tan(α+kπ
n).
2

Racines et applications
Exercice 29 :
1. Soit n∈N. En utilisant le coefficient de Xndans (1 + X)n(1 + X)n= (1 + X)2n,
montrer que
n
X
k=0(n
k)2= (2n n).
2. Soit n∈N. En utilisant (1 + X)2n(1 −X)2n= (1 −X2)2n,
montrer que
2n
X
k=0
(−1)k(2n
k)2= (−1)n(2n n).
(*)Exercice 30 : Soient P , Q et Rtrois polynômes de R[X]tels que P2−XQ2=XR2.Montrer que P=Q=R= 0.
Exercice 31 : Trouver les polynômes P(X)de R[X]vérifiant P(X)·P(X+ 2) = P(X2).
Exercice 32 : Montrer que
n
Q
k=0
(1 + X2k) = (1 + X)(1 + X2)(1 + X4). . . (1 + X2n) =
2n+1−1
P
k=0
Xk
Exercice 33 : Soit P∈R[X]de degré 3, unitaire (coefficient dominant égal à 1) et admettant trois racines réelles
distinctes x1, x2, x3. Etudier les racines réelles de Q=P02−2P P 00.
(*)Exercice 34 : Résoudre les équations suivantes dans R[X]
1. X(X+ 1)P00 + (X+ 2)P0−P= 0
2. P(2X) = P0(X)P00(X)
Divers
(*)Exercice 35 : On pose pour tout n≥0,Pn=1
2i[(X+i)2n+1 −(X−i)2n+1].
1. Montrer que Pn=
n
P
k=0
(2k+ 12n+1)(−1)kX2n−2k
2. On suppose que :
n
Q
i=1
(X−αi) =
n−1
P
k=0
akXk+Xn. Exprimer an−1et an−2en fonction des αiet exprimer
n
P
i=1
αiet
n
P
i=1
α2
ien fonction des ak
3. (a) Déterminer les racines de Pn.
(b) En déduire les valeurs de
n
P
i=1
cotan2(kπ
2n+1 )et
n
P
i=1
1
sin2(kπ
2n+1 ).
4. Montrer que ∀θ∈]0,π
2[,cotan2(θ)≤1 θ2≤1
sin2(θ). En déduire que
n
P
k=1
1
k2−→
n−→+∞
π2
6.
Suppléments
Exercice 36 : On note Z[X]l’ensemble des polynôme P∈R[X]de la forme
n
P
k=0
akXkavec pour tout i,ai∈Z.
Soit n∈N∗. Montrer qu’il existe Pn∈Z[X]tel que ∀x∈R, Pnx+1
x=xn+1 xn.
Déterminer le degré dde Pnet les coefficients de degré d,d−1et d−2.
Exercice 37 : Les nombres algébriques : On dit qu’un nombre est "algébrique" s’il est racine d’un polynôme unitaire
à coefficients entiers. c’est à dire a∈Rest dit algébrique si il existe P∈Z[X]tel que P(a) = 0.
1. Montrer que tout rationnel, √2,isont algébriques. (πet ene le sont pas. ils sont des nombres dit "transcen-
dants").
2. Montrer que si xest algébrique alors
(a) −xest algébrique
(b) x+rest algébrique (r∈Q).
(c) rx est algébrique (r∈Q∗).
3

(d) 1
xest algébrique (x6= 0).
3. Montrer que √2 + √3est algébrique.
Exercice 38 : Soit P∈R[X], tel que P=
n
P
k=0
akXk,ak∈Q.
1. Montrer que si P(√2) = 0 alors P(−√2) = 0 et en déduire que Pest divisible par X2−2dans Q[X].
2. En déduire que si P(1 + √2) = 0 alors P(1 −√2) = 0.