Série N˚1 - Université d`Orléans

Université d’Orléans L1
Mathématiques 2010/2011
Série N˚1: Polynôme
Questions de cours
(1) Soient Aet Bdeux polynômes de K[X], abec B6= 0. Ecrire la division
euclidienne de Apar B.
(2) Que veut dire l’expression “aest une racine d’ordre 3de P” ?
(3) Donner l’ensemble des polynômes irréductibles de C[X]et R[X].
(4) Le polynôme X4+X2+ 1 est-il irréductible ?
Arithmétique des polynômes
Exercice 1: Dans les cas suivants, effectuer la division euclidienne de Apar
B:
1. A(X) = X3+ 4X2+ 6X+ 4 et B(X) = X2+ 1
2. A(X) = X5+X4+ 5X3+ 6X2+ 7X+ 2 et B(X) = X4+ 2X3+X+ 2
Exercice 2.Déterminer le quotient et le reste de la division euclidinne de
Apar Bdans les cas suivants :
1. A=X2−4X+ 3 et B=X3+X2−2.
2. A=X5+ 1 et B=X+ 1.
3. A= 3X7−2X5+X3−4et B= 2X2−X+ 3.
Exercice 3.Montrer les divisibilités suivantes et déterminer les quotients
correspondant :
(1) X−1|X3−2X2+ 3X−2
(2) X−2|X3−3X2+ 3X−2

(3) X+ 1 |X3+ 3X2−2.
Exercice 4.En réalisant une division euclidienne, former une condition
nécessaire et suffisante sur (λ, µ)∈K2pour que X2+ 2 divise X4+X3+
λX2+µX + 2.
Exercice 5.Soit (a, b)∈K2tel que a6=bet P∈K[X]. Exprimer le reste
de la division euclidienne de Ppar (X−a)(X−b)en fonction de P(a)et
P(b).
Exercice 6.Effectuer la division suivant les puissances croissantes à l’ordre
nde Aet B, avec
(1) n= 2 et A=X4+X3−2X+ 1,B=X2+X+ 1.
(2) n= 3 et A= 4(X+ 1), B = (X+ 1)2+ 1.
(3) n= 4,A= 2 + 2X−X2+X4, B = 1 + X+X2.
Exercice 7.Effectuer la division de A=X6−2X4+X3+ 1 par B=
X3+X2+ 1 :
(1) Suivant les puissances décroissantes.
(2) A l’ordre 4(c’est à dire tel que le reste soit divisible par X5) suivant
les puissances croissantes.
Exercice 8.Trouver le pgcd de Pet Qdans les cas suivants :
(1) P=X4+X3−3X2−4X−1et Q=X3+X2−X−1.
(2) P=X4−10X2+ 1 et Q=X4−4X3+ 6X2−4X+ 1.
(3) P=X5+ 3X4+X3+X2+ 3X+ 1 et Q=X4+ 2X3+X+ 2
Exercice 9.Montrer que les polynômes Pet Qsuivants sont premiers entre
eux. Trouver Uet V∈K[X]tel que UP +V Q = 1.
(1) P=X4+X3−2X+ 1 et Q=X2+X+ 1.
(2) P=X3+X2+ 1 et Q=X3+X+ 1.
Racines d’un polynôme
Exercice 10.Soit pet qdeux entiers naturels non nuls premiers entre eux.
Déterminer les racines et les pôles de F=Xp−1
Xq−1en précisant les multiplicités
respectives.
Factorisation de polynômes
Exercice 11.Factoriser dans C[X]puis dans R[X]les polynômes suivants :
(1) X4−1
(2) X5−1
(3) (X2−X+ 1)2+ 1.
Exercice 12.Factoriser dans R[X]les polynômes suivants :
(1) X4+X2+ 1
(2) X4+X2−6
(3) X8+X4+ 1.

Exercice 13.Former la décomposition primaire dans R[X]de P=X2n+1−1
(avec n∈N).