Série N˚1 - Université d`Orléans

Université d’Orléans
Mathématiques
L1
2010/2011
Série N˚1 : Polynôme
Questions de cours
(1) Soient A et B deux polynômes de K[X], abec B 6= 0. Ecrire la division
euclidienne de A par B.
(2) Que veut dire l’expression “a est une racine d’ordre 3 de P ” ?
(3) Donner l’ensemble des polynômes irréductibles de C[X] et R[X].
(4) Le polynôme X 4 + X 2 + 1 est-il irréductible ?
Arithmétique des polynômes
Exercice 1 : Dans les cas suivants, effectuer la division euclidienne de A par
B:
1. A(X) = X 3 + 4X 2 + 6X + 4 et B(X) = X 2 + 1
2. A(X) = X 5 + X 4 + 5X 3 + 6X 2 + 7X + 2 et B(X) = X 4 + 2X 3 + X + 2
Exercice 2. Déterminer le quotient et le reste de la division euclidinne de
A par B dans les cas suivants :
1. A = X 2 − 4X + 3 et B = X 3 + X 2 − 2.
2. A = X 5 + 1 et B = X + 1.
3. A = 3X 7 − 2X 5 + X 3 − 4 et B = 2X 2 − X + 3.
Exercice 3. Montrer les divisibilités suivantes et déterminer les quotients
correspondant :
(1) X − 1 | X 3 − 2X 2 + 3X − 2
(2) X − 2 | X 3 − 3X 2 + 3X − 2
(3) X + 1 | X 3 + 3X 2 − 2.
Exercice 4. En réalisant une division euclidienne, former une condition
nécessaire et suffisante sur (λ, µ) ∈ K 2 pour que X 2 + 2 divise X 4 + X 3 +
λX 2 + µX + 2.
Exercice 5. Soit (a, b) ∈ K2 tel que a 6= b et P ∈ K[X]. Exprimer le reste
de la division euclidienne de P par (X − a)(X − b) en fonction de P (a) et
P (b).
Exercice 6. Effectuer la division suivant les puissances croissantes à l’ordre
n de A et B, avec
(1) n = 2 et A = X 4 + X 3 − 2X + 1, B = X 2 + X + 1.
(2) n = 3 et A = 4(X + 1), B = (X + 1)2 + 1.
(3) n = 4, A = 2 + 2X − X 2 + X 4 , B = 1 + X + X 2 .
Exercice 7. Effectuer la division de A = X 6 − 2X 4 + X 3 + 1 par B =
X3 + X2 + 1 :
(1) Suivant les puissances décroissantes.
(2) A l’ordre 4 (c’est à dire tel que le reste soit divisible par X 5 ) suivant
les puissances croissantes.
Exercice 8. Trouver le pgcd de P et Q dans les cas suivants :
(1) P = X 4 + X 3 − 3X 2 − 4X − 1 et Q = X 3 + X 2 − X − 1.
(2) P = X 4 − 10X 2 + 1 et Q = X 4 − 4X 3 + 6X 2 − 4X + 1.
(3) P = X 5 + 3X 4 + X 3 + X 2 + 3X + 1 et Q = X 4 + 2X 3 + X + 2
Exercice 9. Montrer que les polynômes P et Q suivants sont premiers entre
eux. Trouver U et V ∈ K[X] tel que U P + V Q = 1.
(1) P = X 4 + X 3 − 2X + 1 et Q = X 2 + X + 1.
(2) P = X 3 + X 2 + 1 et Q = X 3 + X + 1.
Racines d’un polynôme
Exercice 10. Soit p et q deux entiers naturels non nuls premiers entre eux.
p −1
Déterminer les racines et les pôles de F = X
X q −1 en précisant les multiplicités
respectives.
Factorisation de polynômes
Exercice 11. Factoriser dans C[X] puis dans R[X] les polynômes suivants :
(1) X 4 − 1
(2) X 5 − 1
(3) (X 2 − X + 1)2 + 1.
Exercice 12. Factoriser dans R [X] les polynômes suivants :
(1) X 4 + X 2 + 1
(2) X 4 + X 2 − 6
(3) X 8 + X 4 + 1.
Exercice 13. Former la décomposition primaire dans R[X] de P = X 2n+1 −1
(avec n ∈ N).