Exercices chapitre 18 Polynômes

PCSI 1, 2016/2017
Mathématiques
Lycée Berthollet
Exercices chapitre 18
Polynômes
Exercice 1. Question classique.
Soit P ∈ K[X ]. Déterminer le degré de Q(X ) = P(X + 1) − P(X ) en fonction du degré de P.
Exercice 2. Pour les polynômes, la clef est toujours la même.
Résoudre les équations suivantes :
1. Q 2 = X P 2 d’inconnues P,Q ∈ K [X ],
2. P ◦ P = P d’inconnue P ∈ K [X ].
Exercice 3. Une équation sur P.
Trouver les P ∈ R [X ] tels que P(X 2 ) = (X 2 + 1)P(X ).
Exercice 4. Retour en primaire.
Montrer les divisibilités suivantes et déterminer les quotients correspondant :
1. X − 1 | X 3 − 2X 2 + 3X − 2,
2. X − 2 | X 3 − 3X 2 + 3X − 2,
3. X + 1 | X 3 + 3X 2 − 2.
Exercice 5. Retour en primaire 2.
En réalisant une division euclidienne, former une condition nécessaire et suffisante sur (λ, µ) ∈
K 2 pour que X 2 + 2 divise X 4 + X 3 + λ X 2 + µ X + 2.
Exercice 6. Un calcul fort utile.
Soit (a, b) ∈ K 2 tel que a 6= b et P ∈ K [X ]. Exprimer le reste de la division euclidienne de P par
(X − a)(X − b) en fonction de P(a) et P(b).
Exercice 7. Y a-t-il un lien avec l’exercice précédent ?
Soit a ∈ K et P ∈ K [X ]. Exprimer le reste de la division euclidienne de P par (X − a)2 en fonction
de P (a) et P 0 (a).
Exercice 8. Revenir aux racines.
Soit t ∈ R et n ∈ N∗ .
Déterminer le reste de la division euclidienne dans R [X ] de (X sin t + cos t)n par X 2 + 1.
Exercice 9. Deux constantes mal placées.
1. Soit P ∈ K[X ], et α une racine d’ordre r ≥ 1 de P. Montrer que α est racine d’ordre r − 1 de
P 0 le polynôme dérivé de P.
1
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2. Application : montrer qu’il existe un unique polynôme P de degré inférieur ou égal à 3 tel
que
(X − 1)2 | P − 1 et (X + 1)2 | P + 1. Déterminer celui-ci.
Exercice 10. Division euclidienne dans N et dans R[X ].
Soit (k, n) ∈ (N∗ )2 et r le reste de la division euclidienne de k par n.
Montrer que le reste de la division euclidienne de X k par X n − 1 est X r .
Exercice 11. Corollaire du précédent.
¯
¯
Montrer que pour tout a, b ∈ N, a¯ b ⇔ X a − 1¯ X b − 1.
Exercice 12. Aller au plus simple.
Soit a, b, c trois éléments, non nuls et distincts, du corps K.
Démontrer que le polynôme
P=
X (X − b)(X − c) X (X − c)(X − a) X (X − a)(X − b)
+
+
a(a − b)(a − c)
b(b − c)(b − a)
c(c − a)(c − b)
peut s’écrire sous la forme P = λ(X − a)(X − b)(X − c) + 1 où λ est une constante que l’on déterminera.
Exercice 13. Un résultat bien connu d’analyse pourra être utile.
Soit P un polynôme de degré n + 1 ∈ N∗ à coefficients réels, possédant n + 1 racines réelles
distinctes.
1. Montrer que son polynôme dérivé P 0 possède exactement n racines réelles distinctes.
2. En déduire que les racines du polynôme P 2 + 1 sont toutes simples dans C.
Exercice 14. On n’y échappe pas.
¯
Déterminer une condition nécessaire et suffisante sur n ∈ N pour que X 2 + X + 1¯ X 2n + X n + 1.
Exercice 15. Une analyse-synthèse, et des divisibilités.
Déterminer les P de R [X ] tels que (X + 4)P(X ) = X P(X + 1).
Exercice 16. De grosses contraintes.
On cherche les polynômes P non nuls tels que P(X 2 ) = P(X − 1)P(X ).
Soit P un polynôme vérifiant la relation précédente.
1. Montrer que si a est racine de P, alors a2 est aussi racine de P.
2. Montrer que toute racine de P est de module 1.
3. Déterminer tous les polynômes P solutions.
Exercice 17. Trois factorisations.
Factoriser dans C [X ] puis dans R [X ] les polynômes suivants :
2
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1. X 4 − 1,
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2. X 5 − 1,
3. (X 2 − X + 1)2 + 1.
Exercice 18. Trois autres factorisations.
Factoriser dans R [X ] les polynômes suivants :
1. X 4 + X 2 + 1,
2. X 4 + X 2 − 6,
3. X 8 + X 4 + 1.
Exercice 19. Quel calcul faut-il faire ?
Factoriser le polynôme (X + i)n − (X − i)n pour n ∈ N∗ .
Exercice 20. Une contrainte sur les racines.
Donner une condition nécessaire et suffisante sur λ ∈ C pour que X 3 − 7X + λ admette une racine
qui soit le double d’une autre. Trouver alors les λ solutions, et les racines de P associées.
Exercice 21. Même principe.
Résoudre x3 − 8x2 + 23x − 28 = 0 sachant que la somme de deux des racines est égale à la troisième.
Exercice 22. Le retour de la formule.
n
X
Pour n ∈ N∗ on pose P n =
X k.
k=0
1. En introduisant Q n = (X − 1)P n , décomposer P n en facteurs irréductibles dans C [X ].
n
Y
¡ kπ ¢
(on pourra s’intéresser à P n (1)).
sin
2. En déduire la valeur de
n+1
k=1
Exercice 23. Polynômes d’interpolation de Lagrange (1736-1813).
Soit (a 0 , a 1 , . . . , a n ) une famille d’éléments de K deux à deux distincts.
Pour tout i ∈ {0, 1, . . . , n} on pose
Q
(X − a j )
Li =
0É j É n, j 6= i
Q
0É j É n, j 6= i
(a i − a j )
.
1. Calculer, pour tout k, i ∈ {0, 1, ..., n}, L i (a k ).
2. Montrer que
∀P ∈ K n [X ] , P(X ) =
n
X
P(a i )L i (X ).
i =0
3. Application : soient (a 0 , . . . , a n ) et (y0 . . . , yn ) deux n-uplets de K. Trouver un polynôme P
de degré inférieur ou égal à n vérifiant
∀ i ∈ [[0, n]] ,
Y en a-t-il plusieurs ?
3
P(a i ) = yi .
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Exercice 24. Polynômes de Tchebychev (1821-1894).
Soit n ∈ N. On pose f n : [−1, 1] → R l’application définie par f n (x) = cos(n arccos x).
1. Calculer f 0 , f 1 , f 2 et f 3 .
2. Montrer que ∀ n ∈ N∗ , ∀ x ∈ [−1, 1], f n+1 (x) = 2x f n (x) − f n−1 (x).
3. Établir qu’il existe un unique polynôme T n de R [X ] dont la fonction polynomiale associée
coïncide avec f n sur [−1, 1].
4. Donner le degré de T n ainsi que son coefficient dominant.
5. Montrer que T n admet n racines distinctes, que l’on exprimera, et que toutes ses racines
sont dans l’intervalle ]−1, 1[.
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