Exercices chapitre 18 Polynômes

PCSI 1, 2016/2017 Mathématiques Lycée Berthollet
Exercices chapitre 18
Polynômes
Exercice 1. Question classique.
Soit P∈K[X]. Déterminer le degré de Q(X)=P(X+1)−P(X) en fonction du degré de P.
Exercice 2. Pour les polynômes, la clef est toujours la même.
Résoudre les équations suivantes :
1. Q2=X P2d’inconnues P,Q∈K[X],
2. P◦P=Pd’inconnue P∈K[X].
Exercice 3. Une équation sur P.
Trouver les P∈R[X]tels que P(X2)=(X2+1)P(X).
Exercice 4. Retour en primaire.
Montrer les divisibilités suivantes et déterminer les quotients correspondant :
1. X−1|X3−2X2+3X−2,
2. X−2|X3−3X2+3X−2,
3. X+1|X3+3X2−2.
Exercice 5. Retour en primaire 2.
En réalisant une division euclidienne, former une condition nécessaire et suffisante sur (λ,µ)∈
K2pour que X2+2 divise X4+X3+λX2+µX+2.
Exercice 6. Un calcul fort utile.
Soit (a,b)∈K2tel que a6= bet P∈K[X]. Exprimer le reste de la division euclidienne de Ppar
(X−a)(X−b) en fonction de P(a) et P(b).
Exercice 7. Y a-t-il un lien avec l’exercice précédent ?
Soit a∈Ket P∈K[X]. Exprimer le reste de la division euclidienne de Ppar (X−a)2en fonction
de P(a)et P0(a).
Exercice 8. Revenir aux racines.
Soit t∈Ret n∈N∗.
Déterminer le reste de la division euclidienne dans R[X]de (Xsin t+cos t)npar X2+1.
Exercice 9. Deux constantes mal placées.
1. Soit P∈K[X], et αune racine d’ordre r≥1 de P. Montrer que αest racine d’ordre r−1 de
P0le polynôme dérivé de P.
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2. Application : montrer qu’il existe un unique polynôme Pde degré inférieur ou égal à 3 tel
que
(X−1)2|P−1 et (X+1)2|P+1. Déterminer celui-ci.
Exercice 10. Division euclidienne dans Net dans R[X].
Soit (k,n)∈(N∗)2et rle reste de la division euclidienne de kpar n.
Montrer que le reste de la division euclidienne de Xkpar Xn−1 est Xr.
Exercice 11. Corollaire du précédent.
Montrer que pour tout a,b∈N,a¯
¯b⇔Xa−1¯ ¯Xb−1.
Exercice 12. Aller au plus simple.
Soit a,b,ctrois éléments, non nuls et distincts, du corps K.
Démontrer que le polynôme
P=X(X−b)(X−c)
a(a−b)(a−c)+X(X−c)(X−a) b(b−c)(b−a)+X(X−a)(X−b) c(c−a)(c−b)
peut s’écrire sous la forme P=λ(X−a)(X−b)(X−c)+1 où λest une constante que l’on déter-
minera.
Exercice 13. Un résultat bien connu d’analyse pourra être utile.
Soit Pun polynôme de degré n+1∈N∗à coefficients réels, possédant n+1 racines réelles
distinctes.
1. Montrer que son polynôme dérivé P0possède exactement nracines réelles distinctes.
2. En déduire que les racines du polynôme P2+1 sont toutes simples dans C.
Exercice 14. On n’y échappe pas.
Déterminer une condition nécessaire et suffisante sur n∈Npour que X2+X+1¯
¯X2n+Xn+1.
Exercice 15. Une analyse-synthèse, et des divisibilités.
Déterminer les Pde R[X]tels que (X+4)P(X)=X P(X+1).
Exercice 16. De grosses contraintes.
On cherche les polynômes Pnon nuls tels que P(X2)=P(X−1)P(X).
Soit Pun polynôme vérifiant la relation précédente.
1. Montrer que si aest racine de P, alors a2est aussi racine de P.
2. Montrer que toute racine de Pest de module 1.
3. Déterminer tous les polynômes Psolutions.
Exercice 17. Trois factorisations.
Factoriser dans C[X]puis dans R[X]les polynômes suivants :
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1. X4−1, 2. X5−1, 3. (X2−X+1)2+1.
Exercice 18. Trois autres factorisations.
Factoriser dans R[X]les polynômes suivants :
1. X4+X2+1, 2. X4+X2−6, 3. X8+X4+1.
Exercice 19. Quel calcul faut-il faire ?
Factoriser le polynôme (X+i)n−(X−i)npour n∈N∗.
Exercice 20. Une contrainte sur les racines.
Donner une condition nécessaire et suffisante sur λ∈Cpour que X3−7X+λadmette une racine
qui soit le double d’une autre. Trouver alors les λsolutions, et les racines de Passociées.
Exercice 21. Même principe.
Résoudre x3−8x2+23x−28 =0 sachant que la somme de deux des racines est égale à la troi-
sième.
Exercice 22. Le retour de la formule.
Pour n∈N∗on pose Pn=
n
X
k=0
Xk.
1. En introduisant Qn=(X−1)Pn, décomposer Pnen facteurs irréductibles dans C[X].
2. En déduire la valeur de n
Y
k=1
sin¡kπ
n+1¢(on pourra s’intéresser à Pn(1)).
Exercice 23. Polynômes d’interpolation de Lagrange (1736-1813).
Soit (a0,a1,...,an) une famille d’éléments de Kdeux à deux distincts.
Pour tout i∈{0,1,..., n}on pose
Li=
Q
0ÉjÉn,j6=i
(X−aj)
Q
0ÉjÉn,j6=i
(ai−aj).
1. Calculer, pour tout k,i∈{0,1,...,n},Li(ak).
2. Montrer que
∀P∈Kn[X],P(X)=
n
X
i=0
P(ai)Li(X).
3. Application : soient (a0,...,an) et (y0..., yn) deux n-uplets de K. Trouver un polynôme P
de degré inférieur ou égal à nvérifiant
∀i∈[[0,n]] ,P(ai)=yi.
Y en a-t-il plusieurs ?
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Exercice 24. Polynômes de Tchebychev (1821-1894).
Soit n∈N. On pose fn:[−1,1]→Rl’application définie par fn(x)=cos(narccos x).
1. Calculer f0,f1,f2et f3.
2. Montrer que ∀n∈N∗,∀x∈[−1,1], fn+1(x)=2x fn(x)−fn−1(x).
3. Établir qu’il existe un unique polynôme Tnde R[X]dont la fonction polynomiale associée
coïncide avec fnsur [−1,1].
4. Donner le degré de Tnainsi que son coefficient dominant.
5. Montrer que Tnadmet nracines distinctes, que l’on exprimera, et que toutes ses racines
sont dans l’intervalle ]−1,1[.
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