PCSI 1, 2016/2017 Mathématiques Lycée Berthollet Exercices chapitre 18 Polynômes Exercice 1. Question classique. Soit P ∈ K[X ]. Déterminer le degré de Q(X ) = P(X + 1) − P(X ) en fonction du degré de P. Exercice 2. Pour les polynômes, la clef est toujours la même. Résoudre les équations suivantes : 1. Q 2 = X P 2 d’inconnues P,Q ∈ K [X ], 2. P ◦ P = P d’inconnue P ∈ K [X ]. Exercice 3. Une équation sur P. Trouver les P ∈ R [X ] tels que P(X 2 ) = (X 2 + 1)P(X ). Exercice 4. Retour en primaire. Montrer les divisibilités suivantes et déterminer les quotients correspondant : 1. X − 1 | X 3 − 2X 2 + 3X − 2, 2. X − 2 | X 3 − 3X 2 + 3X − 2, 3. X + 1 | X 3 + 3X 2 − 2. Exercice 5. Retour en primaire 2. En réalisant une division euclidienne, former une condition nécessaire et suffisante sur (λ, µ) ∈ K 2 pour que X 2 + 2 divise X 4 + X 3 + λ X 2 + µ X + 2. Exercice 6. Un calcul fort utile. Soit (a, b) ∈ K 2 tel que a 6= b et P ∈ K [X ]. Exprimer le reste de la division euclidienne de P par (X − a)(X − b) en fonction de P(a) et P(b). Exercice 7. Y a-t-il un lien avec l’exercice précédent ? Soit a ∈ K et P ∈ K [X ]. Exprimer le reste de la division euclidienne de P par (X − a)2 en fonction de P (a) et P 0 (a). Exercice 8. Revenir aux racines. Soit t ∈ R et n ∈ N∗ . Déterminer le reste de la division euclidienne dans R [X ] de (X sin t + cos t)n par X 2 + 1. Exercice 9. Deux constantes mal placées. 1. Soit P ∈ K[X ], et α une racine d’ordre r ≥ 1 de P. Montrer que α est racine d’ordre r − 1 de P 0 le polynôme dérivé de P. 1 PCSI 1, 2016/2017 Mathématiques Lycée Berthollet 2. Application : montrer qu’il existe un unique polynôme P de degré inférieur ou égal à 3 tel que (X − 1)2 | P − 1 et (X + 1)2 | P + 1. Déterminer celui-ci. Exercice 10. Division euclidienne dans N et dans R[X ]. Soit (k, n) ∈ (N∗ )2 et r le reste de la division euclidienne de k par n. Montrer que le reste de la division euclidienne de X k par X n − 1 est X r . Exercice 11. Corollaire du précédent. ¯ ¯ Montrer que pour tout a, b ∈ N, a¯ b ⇔ X a − 1¯ X b − 1. Exercice 12. Aller au plus simple. Soit a, b, c trois éléments, non nuls et distincts, du corps K. Démontrer que le polynôme P= X (X − b)(X − c) X (X − c)(X − a) X (X − a)(X − b) + + a(a − b)(a − c) b(b − c)(b − a) c(c − a)(c − b) peut s’écrire sous la forme P = λ(X − a)(X − b)(X − c) + 1 où λ est une constante que l’on déterminera. Exercice 13. Un résultat bien connu d’analyse pourra être utile. Soit P un polynôme de degré n + 1 ∈ N∗ à coefficients réels, possédant n + 1 racines réelles distinctes. 1. Montrer que son polynôme dérivé P 0 possède exactement n racines réelles distinctes. 2. En déduire que les racines du polynôme P 2 + 1 sont toutes simples dans C. Exercice 14. On n’y échappe pas. ¯ Déterminer une condition nécessaire et suffisante sur n ∈ N pour que X 2 + X + 1¯ X 2n + X n + 1. Exercice 15. Une analyse-synthèse, et des divisibilités. Déterminer les P de R [X ] tels que (X + 4)P(X ) = X P(X + 1). Exercice 16. De grosses contraintes. On cherche les polynômes P non nuls tels que P(X 2 ) = P(X − 1)P(X ). Soit P un polynôme vérifiant la relation précédente. 1. Montrer que si a est racine de P, alors a2 est aussi racine de P. 2. Montrer que toute racine de P est de module 1. 3. Déterminer tous les polynômes P solutions. Exercice 17. Trois factorisations. Factoriser dans C [X ] puis dans R [X ] les polynômes suivants : 2 PCSI 1, 2016/2017 Mathématiques 1. X 4 − 1, Lycée Berthollet 2. X 5 − 1, 3. (X 2 − X + 1)2 + 1. Exercice 18. Trois autres factorisations. Factoriser dans R [X ] les polynômes suivants : 1. X 4 + X 2 + 1, 2. X 4 + X 2 − 6, 3. X 8 + X 4 + 1. Exercice 19. Quel calcul faut-il faire ? Factoriser le polynôme (X + i)n − (X − i)n pour n ∈ N∗ . Exercice 20. Une contrainte sur les racines. Donner une condition nécessaire et suffisante sur λ ∈ C pour que X 3 − 7X + λ admette une racine qui soit le double d’une autre. Trouver alors les λ solutions, et les racines de P associées. Exercice 21. Même principe. Résoudre x3 − 8x2 + 23x − 28 = 0 sachant que la somme de deux des racines est égale à la troisième. Exercice 22. Le retour de la formule. n X Pour n ∈ N∗ on pose P n = X k. k=0 1. En introduisant Q n = (X − 1)P n , décomposer P n en facteurs irréductibles dans C [X ]. n Y ¡ kπ ¢ (on pourra s’intéresser à P n (1)). sin 2. En déduire la valeur de n+1 k=1 Exercice 23. Polynômes d’interpolation de Lagrange (1736-1813). Soit (a 0 , a 1 , . . . , a n ) une famille d’éléments de K deux à deux distincts. Pour tout i ∈ {0, 1, . . . , n} on pose Q (X − a j ) Li = 0É j É n, j 6= i Q 0É j É n, j 6= i (a i − a j ) . 1. Calculer, pour tout k, i ∈ {0, 1, ..., n}, L i (a k ). 2. Montrer que ∀P ∈ K n [X ] , P(X ) = n X P(a i )L i (X ). i =0 3. Application : soient (a 0 , . . . , a n ) et (y0 . . . , yn ) deux n-uplets de K. Trouver un polynôme P de degré inférieur ou égal à n vérifiant ∀ i ∈ [[0, n]] , Y en a-t-il plusieurs ? 3 P(a i ) = yi . PCSI 1, 2016/2017 Mathématiques Lycée Berthollet Exercice 24. Polynômes de Tchebychev (1821-1894). Soit n ∈ N. On pose f n : [−1, 1] → R l’application définie par f n (x) = cos(n arccos x). 1. Calculer f 0 , f 1 , f 2 et f 3 . 2. Montrer que ∀ n ∈ N∗ , ∀ x ∈ [−1, 1], f n+1 (x) = 2x f n (x) − f n−1 (x). 3. Établir qu’il existe un unique polynôme T n de R [X ] dont la fonction polynomiale associée coïncide avec f n sur [−1, 1]. 4. Donner le degré de T n ainsi que son coefficient dominant. 5. Montrer que T n admet n racines distinctes, que l’on exprimera, et que toutes ses racines sont dans l’intervalle ]−1, 1[. 4