MPSI 1 96-97 Feuille d`exercices 1

Lycée Berthollet - MPSI 1 - 2011-2012 Feuille d’exercices 29
Polynômes
1- E =
3XR
Pour P dans E, on pose f ( P ) = X² P’’ - ( X + 1 ) P’ - 3P ; montrer que f est un
endomorphisme de E ; déterminer Ker ( f ) et Im ( f ) et montrer que Ker (f ) et Im ( f ) sont supplémentaires
dans E
2- E =
10 XR
F = { P E / ( X - 1 )² P } G = { P E / P pair }
Déterminer les dimensions et des bases pour F, G, F + G , F G .
3- Soit f l’application qui à P dans
nXR
associe P –P’. Montrer que f est un automorphisme de
nXR
4- E=
8XR
F = { P E / 1 est racine au moins double de P }
Montrer que F est un sous espace vectoriel de E et déterminer un supplémentaire de F dans E
5- Déterminer le reste dans la division euclidienne de (Xsina + cosa )n par X² + 1
6- Déterminer le reste dans la division euclidienne de A = (X-2)n + ( X-1)n + 1 par B= (X-1)²(X-2)
7- Quel est l’ordre de multiplicité de la racine 1 du polynôme P= X2n - nXn+1 + nXn-1 -1 ?
8- Déterminer P de degré 5 tel que (X-1)3 P + 1 et (X+1)3 P - 1 ( On pourra d’abord déterminer P' )
9- Déterminer les polynômes P tels que (X + 3 )P( X ) = X P(X+1)
10- Pour quelles valeurs de n P = X² + X +1 divise-t-il Q = (Xn + 1)n -Xn ?
11- Déterminer les polynômes P à coefficients complexes tels que ( X² +1 )P’’ - 6P = 0
12- Déterminer les polynômes P de
XC
tels que P’ P
13- Factoriser dans
XR
A= X4 +X² - 2 , B= X3 - 2, C = X8 -4 , D= X6 + 1, E= X4 +X² +1 , F= X5 – 1
14- Factoriser P= (X+ 1)n - ( X- 1)n dans
XC
En déduire
1cot 21
p
k
k
p
15- Soit
32 1A X X X   
. Pour n entier naturel non nul, on pose
22
11
nnn
B X X X X     
1) Factoriser A dans
XR
2) Pour quelles valeurs de n, A divise-t-il B ?
3) Pour quelles valeurs de n, A² divise-t -il B ?
16- Déterminer m pour que P= X4 -2X² +mX +3 admette deux racines de produit égal à 1 et factoriser alors P
17- Déterminer m pour que P= X4 +X² +mX +1 admette des racines dans
C
vérifiant z1² +z2² = z3 z4.
Déterminer alors les racines de P
18- Résoudre les systèmes a)
1
1/ 1/ 1/ 1
4
x y z
x y z
xyz
b)
3 3 3
0
² ² ² 14
18
x y z
x y z
x y z
19- Soit a,b,c les racines dans C de l’équation x3 - 5x² +4x-1= 0; calculer S = a²b² + b²c² + c²a²