resume complexe 4e a

L.S.C.J.Gafsa
RESUME DE COURS ( nombres complexes 4è.A)
Prof: B.Tabbabi
L'ensemble es nombres complexes est noté  et est formé des nombres de la forme a  ib où a et b sont des réels
avec i ²  1 .
si z  a  ib et z '  a ' ib ' où a, b, a ' et b ' sont des réels alors on a :
. z  z '  a  a ' et b  b '
.z 0ab0
.z est réel  b  0
.z est imaginaire pur  a  0
Conjugué d'un nombre complexe
Si z  a  ib est un nombre complexe ; (a, b)   2 alors le conjugué de z est le nombre complexe z  a  ib
Propriétés du conjugué d'un nombre complexe
Pour tous nombres complexes z et z' on a :

1 1
z z
où n  * et si z' est non nul ,on a   
et   
 z' z'
 z' z'
z  z  2 Re( z ) ; z  z  2i Im( z ) ; z z   Re z  ²   Im z  ²
z  z '  z  z ' ; zz '  z z ' ; z n  z
z est réel  z  z ;
n
z est imaginaire pur  z   z
Affixe d'un point -Affixe d'un vecteur
 
Le plan est muni d'un repère orthonormé direct O, u , v .


.Si M(x,y) est un point du plan alors le nombre complexe z  x  iy est appelé affixe de M noté z M où aff(M).
Le point M est appelé image de z dans le plan.


.Soient A et B deux points du plan.L'affixe du vecteur AB est noté z
ou aff AB est elle est égale à z B  z A .
AB
 
.Pour tous vecteurs AB et CD du plan et pour tout réel  on a :
 




Aff AB  CD  Aff AB  Aff CD
et Aff  AB   Aff AB
 


 
 


 
Colinéarité et orthogonalité de deux vecteurs
 
 
U et V sont deux vecteurs du plan tels que V  0 .On a :
 
z
. U et V sont colinéaires si et seulement si U est réel.
zV
 
z
. U et V sont orthogonaux si et seulement si U est imaginaire pur.
zV
Module d'un nombre complexe
Si z  a  ib est un nombre complexe avec  a, b    2 alors le module de z est le nombre positif noté z égal à
a ²  b² .
Pour tous points M et N d'affixes respectives zM et zn on a : MN  zn  zM et en particulier OM = zM .
Propriétés du module d'un nombre complexe
z et z' sont deux nombres complexes.On a :
2
z  0  z  0 ; z  z '  z  z ' ( inégalité triangulaire ) ;  z   z (    ) ; zz '  z z ' ; z  z ; z z  z
z n  z ( n  * ) ;
n
z' z'
1 1

( z  0) .
( z 0 ) ;

z
z
z
z
Argument d'un nombre complexe
 
Soit z un nombre complexe et M son image dans le plan muni d'un repère orthonormé direct O, u , v .
 
On appelle argument de z qu'on note arg(z) une mesure de l'angle orienté u , OM .




Si  est un argument de z,on peut écrire z  z (cos  i sin  ) qui est la forme trigonométrique de z.
voir verso 
Calcul de l'argument d'un nombre complexe
Soit z  a  ib,  a, b    2 , un nombre complexe non nul. On a arg( z )    2  si et seulement si cos  
a
b
et sin   .
z
z
Propriétés de l'argument d'un nombre complexe
Pour tous nombres complexes non nuls z et z' on a :

1
arg(zz')  arg( z )  arg( z ')  2  ; arg( z n )  n arg( z )  2 ; n   ; arg     arg( z )  2 ; arg z   arg( z )  2 
z
z
arg    arg( z )  arg( z ')  2  ; arg( z )    arg( z )  2 
 z'
arg( z )  2 
si   0
pour tout réel non nul  on a arg( z )  
.
si   0
  arg( z )  2 
Théorème
   
A,B,C et D sont des points du plan tels que AB  0 et CD  0 .
 
 
z z 


On a u , AB  arg  z B  z A   2  et AB, CD  arg  D C   2  .
 zB  z A 




Forme exponentielle d'un nombre complexe
Pour tout réel  ,on pose cos   i sin   ei .
si z est nombre complexe non nul d'argument  ,alors on a z  z ei qui est appelée forme exponentielle de z.
Réciproquement l'écriture r ei ,    , est la forme exponentielle d'un nombre complexe si et seulement si r est un réel
strictement positif.
Conséquences
1  ei 0 ; i  e
i

2
; i  e
i

2
;  1  ei ; pour tout k de , on a e i 2 k  1
Pour tout réel  ,on a : ei  1 ;  ei   e  i ;  ei  ei (  ) .
Propriétés
n
1
ei
 e  i ; i '  ei (  ') ;  ei   ei ( n ) , n   .
i
e
e
n
la dernière égalité s'écrit également  cos   i sin    cos(n )  i sin(n ) qui est appelée formule de Moivre.
.Pour tous réels  et  ' on a : ei .ei '  ei (  ') ;
ei  e  i
 cos 
2
et
ei  e  i
 sin  .Ces deux égalités sont connues sous le nom formules d'Euler.
2i
Racines n-ièmes de l'unité et d'un nombre complexe quelconque
.Pour tout entier naturel non nul n;l'équation z n  1 admet dans  exactement n solutions distinctes définies par
2 k
zk  e n avec k  0,1,...,(n  1) .Ces solutions sont appelés racines n-ièmes de l'unité.
.Soit a un nombre complexe non nul d'argument  et n un entier naturel non nul.
i
L'équation z n  a admet dans  exactement n solutions distinctes définies par zk  re
i
  2 k
n
avec k  0,1,...,(n  1) et r est
le réel strictement positif tel que r n  a .Ces solutions sont appelées racines n-ièmes de a.
Conséquence
Pour n entier  3 ,les points images des racines n-ièmes d'un nombre complexe non nul sont les sommets d'un polygone
régulier inscrit dans le cercle de centre O et de rayon r tel que r n  a .
* * * * * * * *