L`ensemble es nombres complexes est noté est formé des nombres

L.S.C.J.Gafsa RESUME DE COURS ( nombres complexes 4è.A) Prof :B.Tabbabi
L'ensemble es nombres complexes est noté et est formé des nombres de la forme
a ib
où a et b sont des réels
avec i ²
1
.
si
' ' ' , , ' '    z a ib et z a ib où a b a et b sont des réels
alors on a :
.
' ' '   z z a a et b b
.
00   z a b
.z est réel
0b
.z est imaginaire pur
0a
Conjugué d'un nombre complexe
Si
z a ib
est un nombre complexe ;
2
( , )ab
alors le conjugué de z est le nombre complexe
z a ib
Propriétés du conjugué d'un nombre complexe
Pour tous nombres complexes z et z' on a :
''  z z z z
;
''zz zz
;
n
n
zz
où
*
n
et si z' est non nul ,on a
11
'' zz
et
''
zz
zz
2Re( )z z z
;
2 Im( )z z i z
;
Re ² Im ²zz z z
z est réel
zz
; z est imaginaire pur
  zz
Affixe d'un point -Affixe d'un vecteur
Le plan est muni d'un repère orthonormé direct
,,O u v
.
.Si M(x,y) est un point du plan alors le nombre complexe z
x iy
est appelé affixe de M noté z
M
où aff(M).
Le point M est appelé image de z dans le plan.
.Soient A et B deux points du plan.L'affixe du vecteur
AB
est noté
AB
z
ou aff
AB
est elle est égale à
BA
zz
.
.Pour tous vecteurs
AB et CD
du plan et pour tout réel on a :
Aff
  AB CD Aff AB Aff CD
et
Aff AB Aff AB
Colinéarité et orthogonalité de deux vecteurs
U et V
sont deux vecteurs du plan tels que
0V
.On a :
.
U et V
sont colinéaires si et seulement si
U
V
z
z
est réel.
.
U et V
sont orthogonaux si et seulement si
U
V
z
z
est imaginaire pur.
Module d'un nombre complexe
Si z
a ib
est un nombre complexe avec
2
,ab
alors le module de z est le nombre positif noté
z
égal à
²²ab
.
Pour tous points M et N d'affixes respectives
Mn
z et z
on a : MN
nM
zz
et en particulier OM =
M
z
.
Propriétés du module d'un nombre complexe
z et z' sont deux nombres complexes.On a :
00zz  
;
''z z z z  
( inégalité triangulaire ) ;
zz
( ) ;
''zz z z
;
zz
;
2
zz z
n
n
zz
( n
*
) ;
11
zz
( z
0
) ;
'
'( 0)
z
zz
zz
.
Argument d'un nombre complexe
Soit z un nombre complexe et M son image dans le plan muni d'un repère orthonormé direct
,,O u v
.
On appelle argument de z qu'on note arg(z) une mesure de l'angle orienté
,u OM
.
Si est un argument de z,on peut écrire
(cos sin )z z i
qui est la forme trigonométrique de z.
voir verso

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Calcul de l'argument d'un nombre complexe
Soit
2
, , , .z a ib a b un nombre complexe non nul  
On a
arg( ) 2 cos sin
ab
z si et seulement si et
zz
.
Propriétés de l'argument d'un nombre complexe
Pour tous nombres complexes non nuls z et z' on a :
arg(zz')
arg( ) arg( ') 2zz
; arg(
) arg( ) 2 ;
n
z n z n
;
1
arg arg( ) 2z
z
;
arg arg( ) 2zz
arg arg( ) arg( ') 2
'
zzz
z
;
arg( ) arg( ) 2zz
pour tout réel non nul on a
arg( ) 2 0
arg( ) arg( ) 2 0
z si
zz si
.
Théorème
A,B,C et D sont des points du plan tels que
0 0AB et CD
.
On a
, arg 2
BA
u AB z z
et
, arg 2
DC
BA
zz
AB CD zz
.
Forme exponentielle d'un nombre complexe
Pour tout réel ,on pose
cos sin i ie
.
si z est nombre complexe non nul d'argument ,alors on a z
i
ze
qui est appelée forme exponentielle de z.
Réciproquement l'écriture r
i
e
, , est la forme exponentielle d'un nombre complexe si et seulement si r est un réel
strictement positif.
Conséquences
0 2
22
1 ; ; ; 1 ; , 1
ii
i i i k
e i e i e e pour tout k de on a e
Pour tout réel ,on a :
()
1 ; ;
i i i i i
e e e e e
.
Propriétés
.Pour tous réels
'et
on a :
' ( ')
.
i i i
e e e
;
1i
ie
e
;
( ')
'
ii
i
ee
e
;
()
n
i i n
ee
,
n
.
la dernière égalité s'écrit également
cos sin cos( ) sin( )
n
i n i n
qui est appelée formule de Moivre.
cos sin
22
i i i i
e e e e
et i
.Ces deux égalités sont connues sous le nom formules d'Euler.
Racines n-ièmes de l'unité et d'un nombre complexe quelconque
.Pour tout entier naturel non nul n;l'équation
1
n
z
admet dans exactement n solutions distinctes définies par
2 k
in
k
ze
avec k
0,1,...,( 1)n
.Ces solutions sont appelés racines n-ièmes de l'unité.
.Soit a un nombre complexe non nul d'argument et n un entier naturel non nul.
L'équation
n
za
admet dans exactement n solutions distinctes définies par
2 k
in
k
z re
avec k
0,1,...,( 1)n
et r est
le réel strictement positif tel que r
na
.Ces solutions sont appelées racines n-ièmes de a.
Conséquence
Pour n entier 3 ,les points images des racines n-ièmes d'un nombre complexe non nul sont les sommets d'un polygone
régulier inscrit dans le cercle de centre O et de rayon r tel que r
na
.
* * * * * * * *