serie1 4e math complexes

L.S.C.J.Gafsa SERIE N°1 ( Nombres complexes 4è.M ) Prof: B.Tabbabi
Exercice 1:
Répondre par vrai ou faux:
1) Pour tous nombres complexes non nuls z et z' on a :
a)
1 z 1 
b) Si
z = z - 1
Re( z ) =
1
2
c) Si
z z'
alors z = z' ou z = - z' d)
z z' z z'  
e)
1 + i z ² = 1 + z²
f )
zz' zz'
est imaginaire pur g) Si
arg z' arg z 2 alors z' z  
2) On considère les nombres complexes a = 1 – i et b = 1 + i
3
.On a :
a) ab = 2
i 12
e  2
b) Il existe un entier non nul n tel que a
n
est réel
c) Il existe un entier non nul n tel que a
n
et b
n
sont tous deux des entiers.
3) Pour tout réel
de
0,2
on pose z(
) = 1 + e
i
alors:
a)
i3
2
z = e
3
b)
z( ) z( )  
c) z(
).e
i 2
est réel
d) L'ensemble des points M d'affixe z(
) est un cercle de rayon 1.
4) Soit n un entier naturel.Le nombre complexe
n
i3
est imaginaire pur si et seulement si:
a) n = 3 b) n = 6k ; k
c) n = 6k + 3 ; k
5) Pour tout nombre complexe z
i
et de module 1 on a :
1 - iz z
z - i 
Exercice 2:
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct
O ; u v ;
unité graphique 4 cm.A tout point M d'affixe non
nulle z,on associe le point M' d'affixe
1
z' = z
.
1)a- Déterminer une relation entre les arguments de z et z'.
b- En déduire que les points O , M et M' sont alignés.
2) Vérifier que
1
z' + 1 z - 1
z
.
On note A et B les points d'affixes respectives 1 et -1.On désigne par ( C ) le cercle de centre A contenant O .
3) Dans cette question on suppose que M appartient à ( C ) \
O
.
a) Vérifier que
z - 1 1
puis que
z' + 1 z'
.Interpréter géométriquement cette dernière égalité.
b) Déduire de ce qui précède une construction du point M' connaissant le point M.
4) On note M
1
le symétrique de M par rapport à la droite
O , u
.
a) Montrer que
z' + 1
z' - 1
z 1
z 1
.Exprimer alors l'argument de
z' + 1
z' - 1
en fonction de
1 1
M A , M B
.
b) Comparer
1 1
M A , M B et MA , MB
puis déduire que si z est différent de 2 alors M' appartient au cercle circonscrit
au triangle AMB.
Exercice 3:
Pour tout entier naturel non nul n on pose S
n
nk = 0
k
sin n
.
1) On pose z =
in
e
.Montrer que pour tout n
2 on a :
n -1 k
k = 0
2
z 1 icotan
1 - z 2n
2) En déduire que pour tout n
2 on a : S
ncotan 2n
. En déduire la limite de
n
S lorsque n tend vers +
n
.

Exercice 4 :( principale 2011)
Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct
O ; u ; v
,on considère le point A d'affixe (-1) et les
points M,N et P d'affixes respectives z ,z² et z
3
où z est un nombre complexe non nul et différent de (-1) et de 1.
1.a.Montrer que:( le triangle MNP est rectangle en P ) si et seulement si (
1 z
z
est imaginaire pur ).
b.On pose z
x
iy où x et y sont des réels.Montrer que
1 z x² y² x iy
z x² y²
.
c.En déduire que l'ensemble des points M tels que le triangle MNP est rectangle en P est le cercle
de
diamètre
OA
privé des points O et A.
2.Dans la figure 2 donnée en annexe,on a tracé le cercle
et on a placé un point M d'affixe z sur
et son projeté
orthogonal H sur l'axe
O , u
.
On se propose de construire les points N et P d'affixes respectives z² et z
3
tels que le triangle MNP est rectangle en P.
a.Montrer que
OM ,ON u,OM 2
puis que
ON,OP u,OM 2
.
b.Montrer que OH = OM ².
c.Donner un procédé de construction des points N et P puis les construire.
Exercice 5:
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct
O ; u ; v
:unité graphique 2 cm.On note A le point d'affixe
- 2i.A tout point M d'affixe z on associe le point M' d'affixe z' =
2( i - z )
.
1) Soit B le point d'affixe b = 3 – 2i .Déterminer sous forme algébrique les affixes a' et b' des points A' et B' associés
respectivement aux points A et B.Placer les points A,B ,A' et B' sur la figure.
2) Montrer que si M appartient à la droite
y = -2:
alors M' y appartient aussi.
3) Montrer que pour tout point M d'affixe z on a :
z' + 2i 2 z 2i 
.Interpréter géométriquement ce résultat.
4) Pour tout M distinct de A on note
un argument de z + 2i.
a) Vérifier que
u , AM 2  
.
b) Montrer que ( z' + 2i )( z + 2i ) est un réel strictement négatif .
c) En déduire un argument de z' + 2i en fonction de
.
d) Qu'en déduit-en pour les deux demi-droites
AM et AM' ?
5) En utilisant ce qui précède,proposer une construction géométrique du point M' associé à M.
Exercice 6:
1) Ecrire sous forme exponentielle chacun des nombres complexes suivants:
a) z =
+ itan où 0,2
2
1
b) z =
1 + cos + isin
cos isin   1
où 0 , 
c) z =
1 + cos + isin où
cos i 1 - cos(2   1 (2 ) )
0 , 2
.
2) a , b , et c sont des nombres complexes de module 1 chacun. Montrer que
ab + ac + bc a + b + c
.
3) Dans le plan muni d'un repère orthonormé ,on considère un parallélogramme ABCD.On note a et b les affixes
respectives des vecteurs
AB
et
AD
.
Montrer que :
a + b + a - b a + b² ² 2 ² ²
(cette égalité est connue sous le nom identité du parallélogramme :la somme des carrés des diagonales d'un
parallélogramme est égale à la somme des carrés de ses côtés).
Exercice 7 : ( principale 2013 )
Dans le plan d’un repère orthonormé direct
O ; u ; v
,on considère les points E et F d’affixes respectives 1 et i.
On désigne par C
1
et C
2
les cercles de centres respectifs E et F et de même rayon 1.
Soit
un réel de l’intervalle
0,2
, M le point d’affixe
1i e
et N le point d’affixe
(1 )
i
i e
.
1.a.Calculer Aff
( )EM
et Aff
( )FN
.

b.Montrer que lorsque
varie dans
0,2
,M varie sur C
1
et N varie sur C
2
.
c.Montrer que les droites (EM) et (FN) sont perpendiculaires.
2.Soit P le point d’affixe z
P
telle que z
(1 )sin . i
Pi e
.
a.Montrer que
( ) sin cos
( )
Aff EP
Aff EM   
et calculer
( )
( )
Aff FP
Aff FN
.
b.Montrer que P est le point d’intersection des droites (EM) et (FN).

Figure 2