serie1 4e math complexes

L.S.C.J.Gafsa
SERIE N°1 ( Nombres complexes 4è.M )
Prof: B.Tabbabi
Exercice 1:
Répondre par vrai ou faux:
1) Pour tous nombres complexes non nuls z et z' on a :
a) 1  z
 1
b) Si z = z - 1
 Re( z ) =
1
2
c) Si z  z'
f ) z z'  zz' est imaginaire pur
e) 1 + i z ² = 1 + z²
g) Si arg z'   arg z  2  alors z'  z
2) On considère les nombres complexes a = 1 – i et b = 1 + i
i
alors z = z' ou z = - z' d) z  z'  z  z'
3 .On a :

12
a) ab = 2 2 e
b) Il existe un entier non nul n tel que a n est réel
c) Il existe un entier non nul n tel que a n et b n sont tous deux des entiers.
3) Pour tout réel  de  0,2  on pose z(  ) = 1 + e i alors:

i
 2 
a) z   = e 3
 3 
c) z(  ).e
b) z(  )  z(  )
i

2
est réel
d) L'ensemble des points M d'affixe z(  ) est un cercle de rayon 1.
4) Soit n un entier naturel.Le nombre complexe

3 i

n
est imaginaire pur si et seulement si:
b) n = 6k ; k  
a) n = 3
5) Pour tout nombre complexe z  i et de module 1 on a :
c) n = 6k + 3 ; k  
1 - iz
z
z-i
Exercice 2:
 
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct  O ; u ; v  unité graphique 4 cm.A tout point M d'affixe non
1
nulle z,on associe le point M' d'affixe z' =  .
z
1)a- Déterminer une relation entre les arguments de z et z'.
b- En déduire que les points O , M et M' sont alignés.
1
z
2) Vérifier que z' + 1   z - 1 .
On note A et B les points d'affixes respectives 1 et -1.On désigne par ( C ) le cercle de centre A contenant O .
3) Dans cette question on suppose que M appartient à ( C ) \ O .
a) Vérifier que z - 1  1 puis que z' + 1  z' .Interpréter géométriquement cette dernière égalité.
b) Déduire de ce qui précède une construction du point M' connaissant le point M.

4) On note M 1 le symétrique de M par rapport à la droite  O , u  .
a) Montrer que



 
z' + 1
z' + 1
z 1

.Exprimer alors l'argument de
en fonction de M

1 A , M1B .
z' - 1
z' - 1
z 1

 


 




b) Comparer M
puis déduire que si z est différent de 2 alors M' appartient au cercle circonscrit
1 A , M 1 B et MA , MB
au triangle AMB.
Exercice 3:
Pour tout entier naturel non nul n on pose S n 
n
k=0

n
 k
n
 sin 

.

2
 
 1  icotan  
1
z
 2n 
k=0
S
 
2) En déduire que pour tout n  2 on a : S n  cotan   . En déduire la limite de n lorsque n tend vers + .
n
 2n 
i
n -1
1) On pose z = e .Montrer que pour tout n  2 on a :  z k 
Exercice 4 :( principale 2011)


Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct  O ; u ; v  ,on considère le point A d'affixe (-1) et les
points M,N et P d'affixes respectives z ,z² et z 3 où z est un nombre complexe non nul et différent de (-1) et de 1.
1 z
est imaginaire pur ).
z
1  z x²  y²  x  iy

.
z
x²  y²
1.a.Montrer que:( le triangle MNP est rectangle en P ) si et seulement si (
b.On pose z  x  iy où x et y sont des réels.Montrer que
c.En déduire que l'ensemble des points M tels que le triangle MNP est rectangle en P est le cercle    de
diamètre OA privé des points O et A.
2.Dans la figure 2 donnée en annexe,on a tracé le cercle    et on a placé un point M d'affixe z sur    et son projeté

orthogonal H sur l'axe  O , u  .
On se propose de construire les points N et P d'affixes respectives z² et z 3 tels que le triangle MNP est rectangle en P.
 

 

 

 

a.Montrer que  OM ,ON    u,OM   2  puis que  ON ,OP    u,OM   2  .
b.Montrer que OH = OM ².
c.Donner un procédé de construction des points N et P puis les construire.
Exercice 5:


Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct  O ; u ; v  :unité graphique 2 cm.On note A le point d'affixe
- 2i.A tout point M d'affixe z on associe le point M' d'affixe z' = 2( i - z ) .
1) Soit B le point d'affixe b = 3 – 2i .Déterminer sous forme algébrique les affixes a' et b' des points A' et B' associés
respectivement aux points A et B.Placer les points A,B ,A' et B' sur la figure.
2) Montrer que si M appartient à la droite  : y = -2 alors M' y appartient aussi.
3) Montrer que pour tout point M d'affixe z on a : z' + 2i  2 z  2i .Interpréter géométriquement ce résultat.
4) Pour tout M distinct de A on note  un argument de z + 2i.


 
, AM  2  .
a) Vérifier que   u
b) Montrer que ( z' + 2i )( z + 2i ) est un réel strictement négatif .
c) En déduire un argument de z' + 2i en fonction de  .
d) Qu'en déduit-en pour les deux demi-droites  AM  et  AM'  ?
5) En utilisant ce qui précède,proposer une construction géométrique du point M' associé à M.
Exercice 6:
1) Ecrire sous forme exponentielle chacun des nombres complexes suivants:
 
où   0, 
 2
1 + cos + isin
a) z = 1 + itan 
c) z =
2
1  cos(2 )  i 1 - cos(2 )
b) z =
1 + cos + isin
1  cos  isin
où    0 , 

 
où   0 ,  .
2

2) a , b , et c sont des nombres complexes de module 1 chacun. Montrer que ab + ac + bc  a + b + c .
3) Dans le plan muni d'unrepère
orthonormé ,on considère un parallélogramme ABCD.On note a et b les affixes


respectives des vecteurs AB et AD .
Montrer que : a + b ² + a - b ²  2  a ² + b ² 
(cette égalité est connue sous le nom identité du parallélogramme :la somme des carrés des diagonales d'un
parallélogramme est égale à la somme des carrés de ses côtés).
Exercice 7 : ( principale 2013 )


Dans le plan d’un repère orthonormé direct  O ; u ; v  ,on considère les points E et F d’affixes respectives 1 et i.
On désigne par C 1 et C 2 les cercles de centres respectifs E et F et de même rayon 1.
Soit  un réel de l’intervalle  0, 2  , M le point d’affixe 1  ei et N le point d’affixe i (1  ei ) .


1.a.Calculer Aff ( EM ) et Aff ( FN ) .
b.Montrer que lorsque  varie dans  0, 2  ,M varie sur C 1 et N varie sur C 2 .
c.Montrer que les droites (EM) et (FN) sont perpendiculaires.
2.Soit P le point d’affixe z P telle que z P  (1  i ) sin  .ei .


Aff ( EP )
Aff ( FP)
  sin   cos  et calculer
 .
a.Montrer que
Aff ( EM )
Aff ( FN )
b.Montrer que P est le point d’intersection des droites (EM) et (FN).
Figure 2