serie1 4e m 2015

L.S.C.J.Gafsa SERIE N°1 ( Nombres complexes 4è.M ) Prof: B.Tabbabi
Exercice 1:
Répondre par vrai ou faux en justifiant la réponse:
1.Pour tous nombres complexes non nuls z et z' on a :
a.
1 z 1
b. Si
z z' 
alors z z' ou z = - z' c.
z z' z z'   
d.
2
1 + i z = 1 + z²
e.Si
arg z' arg z 2 alors z' z
f.
22
z z z IR  
2. Soit n un entier naturel.
Le nombre complexe
n
i3
est réel si et seulement si n = 6k ; k
3. Pour tout nombre complexe z
i
et de module 1 on a :
1 - iz z
z - i 
Exercice 2 :
le plan est rapporté à un repère orthonormé direct
O,u,v
.
On désigne par (C) le cercle de centre O et de rayon 1 et par I et A les points d’affixes respectives 1
et
a 3 i
.
1.a.Donner la forme exponentielle de a.
b.Construire le point A.
2.Soit B le point d’affixe
a1
b1a
.
a.Vérifier que
bb 1
.En déduire que le point B appartient à (C).
b.Montrer que
b1
a1
est un réel.En déduire que les points A,B et I sont alignés.
c.Construire le point B dans le repère
O,u,v
.
3.Soit un argument du nombre complexe b.Montrer que
2 3 3 2 2 3
cos et sin =
5 2 3 5 2 3
.
Exercice 3 : ( principale 2013 )
Dans le plan d’un repère orthonormé direct
O ; u ; v
,on considère les points E et F d’affixes respectives 1
et i.
On désigne par C
1
et C
2
les cercles de centres respectifs E et F et de même rayon 1.
Soit un réel de l’intervalle
0,2
, M le point d’affixe
1i e
et N le point d’affixe
(1 )
i
ie
.
1.a.Calculer Aff
()EM
et Aff
()FN
.
b.Montrer que lorsque varie dans
0,2
,M varie sur C
1
et N varie sur C
2
.
c.Montrer que les droites (EM) et (FN) sont perpendiculaires.
2.Soit P le point d’affixe z
P
telle que z
(1 )sin . i
Pie
.
a.Montrer que
()sin cos
()
Aff EP
Aff EM
et calculer
()
()
Aff FP
Aff FN
.
b.Montrer que P est le point d’intersection des droites (EM) et (FN).
Exercice 4:
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct
O ; u v;
unité graphique 4 cm.A tout point M
d'affixe non nulle z,on associe le point M' d'affixe
1
z' = z
.

1.a.Déterminer une relation entre les arguments de z et z'.
b. En déduire que les points O , M et M' sont alignés.
On note A et B les points d'affixes respectives 1 et -1.On désigne par ( C ) le cercle de centre A contenant O
2. Dans cette question on suppose que M appartient à ( C ) \
O
.
a. Vérifier que
z - 1 1
puis que
z' + 1 z' 
.Interpréter géométriquement cette dernière égalité.
b. Déduire de ce qui précède une construction du point M' connaissant le point M.
3. On note M
1
le symétrique de M par rapport à la droite
O , u
.
a.Montrer que
z' + 1
z' - 1
z1
z1
.Exprimer alors l'argument de
z' + 1
z' - 1
en fonction de
11
M A , M B
.
b. Comparer
11
M A , M B et MA , MB
puis déduire une relation entre
,MA MB
et
' , 'M A M B
.
Exercice 5 : ( principale 2011)
Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct
O ; u ; v
,on considère le point A d'affixe (-1) et les
points M,N et P d'affixes respectives z ,z² et z
3
où z est un nombre complexe non nul et différent de (-1) et de 1.
1.a.Montrer que:( le triangle MNP est rectangle en P ) si et seulement si (
1z
z
est imaginaire pur ).
b.On pose z x iy où x et y sont des réels.Montrer que
1 z x² y² x iy
z x² y²
.
c.En déduire que l'ensemble des points M tels que le triangle MNP est rectangle en P est le cercle de diamètre
OA
privé des points O et A.
2.Dans la figure ci-dessous,on a tracé le cercle et on a placé un point M d'affixe z sur et son projeté
orthogonal H sur l'axe
O , u
.
On se propose de construire les points N et P d'affixes respectives z² et z
3
tels que le triangle MNP est rectangle en P.
a.Montrer que
OM,ON u,OM 2
puis que
ON,OP u,OM 2
.
b.Montrer que OH = OM ².
c.Donner un procédé de construction des points N et P puis les construire.