  Série Maths Nombres complexes

Nombres complexes
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Exercice n°1 :
Donner la forme algébrique de chacun des complexes suivants :
i2, i3, i4, i5, i12, i35, i365, i2000, i1663, in, nℤ.
(1+i)2, (1-i)2, (1+i)10, (1-i)15,
i
1
,
i321
,
i53 i2
,
2
i53 i2
, (2+i)3.
Exercice n°2 :
Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé.
Soit M un point d’affixe z et Z =
1-z i1z 
.
1°/Déterminer z tel que Z=2-3i.
2°/Déterminer l’ensemble des points M tels que :
a)Z soit réel.
b) Z=1.
c) Z=2.
Exercice 3 :
Pour tout nombre complexe u, on pose u’=(3+i)
u
+2-6i .
1°Déterminer l’ensemble des points M(u) tels que u’ est un réel.
2°Déterminer l’ensemble des points M(u) tels que u’ a pour module 1.
3°Trouver le nombre complexe u tel que u’=i(2-3i).
Exercice 4 :
On considère les nombres complexes suivants :j=
2
3
i
2
1
et u=1+j
1°Etablir les égalités suivantes :1+j+j2=0, j2=
j
1
j
et j3 =1.

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2°/Application : calculer u24 et u31 sous forme algébrique.
Exercice 5 :
A tout nombre complexe z z1/2, on associe le nombre complexe Z défini par Z=
1 ziz
On pose z=x+iy et Z =X+iY.
1° Déterminer la partie réelle X et la partie imaginaire Y de Z en fonction de x et de y.
2°Dans le plan muni d’un repère orthonormé, construire l’ensemble des points M d’affixe z tels que :
a- Z soit un nombre réel.
b- Z soit un nombre imaginaire.
c- Im(z)= -1
Exercice 6:
Soit A un point du plan complexe rapporté à un repère orthonormé, d’affixe v=1+i
Déterminer l’ensemble des points Mz tels que z2 =
zz 
.
Exercice 7 :
Déterminer l’ensemble des points M du plan d’affixe z tels que
1+iz-2i=2.
Exercice 8 :
1° Soient A,B,C les points d’affixes respectives 2+2i, -1-i et 5-i. Faire une figure.
.2°Montrer que ABC est isocèle rectangle en A. Déterminer le point D pour que ABDC soit un carré.
Exercice 9 :
1°Soient A,B,C et D les points d’affixes respectives -1+3i, -1-3i ,3- 5i et 7+3i. Faire une figure.

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2°Déterminer l’affixe du point I milieu de[BD].
3°Calculer IA , IC et ID. Que peut-on conclure ? .
Exercice 10 :
1° Soient A,B,C les points d’affixes respectives -2i,
8
+2i et 3
2
+4i.
Montrer que A,B et C sont alignés.
Exercice 11 :
Soient A,B,C et D les points d’affixes respectives 2+i, 4 ,3+3i et –1+5i.
1°Montrer que ABC est un triangle rectangle isocèle.
2°Montrer que les droites (AB) et (CD) sont parallèles.
Exercice 12 :
On considère les nombres complexes z1=i et z2=
.
2
3
i
2
1
1°Calculer les modules de z1 et de z2.
2°Calculer
21
21 zz1 zz
sous forme algébrique.
*Soient z et z’ deux nombres complexes de modules 1 tels que 1+zz’0.
Soit u=
'zz1'zz
.Montrer que u est réel. (On pourra montrer que
u
=u).