comp 4 x 2012

EXERCICES (complexes 4è.Sc.exp.)
B.Tabbabi
Exercice 1 :
Soient les nombres complexes : z1  1  i 3 ; z2  3  i ; z3  1  i et Z 
z1
z3
1. Écrire Z sous forme algébrique .
2.. Donner l’écriture exponentielle de z1 , z3 et en déduire celle de Z .
 7 
 7 
3. En déduire cos   et sin  
 12 
 12 
 
4. Le plan est muni d’un repère orthonormé direct O, u , v .


a.Placer les points A et B d’affixes respectives z 1 et z 2 .
b.Montrer que le triangle OAB est rectangle et isocèle.
c.Déterminer l’affixe z C du point C tel que OACB est un carré.
d.Déterminer alors l’écriture exponentielle de z C .
Exercice2 : ( principale 2012 )



le plan est rapporté à un repère orthonormé direct O,u,v .
On désigne par (C) le cercle de centre O et de rayon 1 et par I et A les points d’affixes respectives 1
et a  3  i .
1.a.Donner la forme exponentielle de a.
b.Construire le point A.
a 1
2.Soit B le point d’affixe b 
.
1 a
a.Vérifier que bb  1 .En déduire que le point B appartient à (C).
b 1
b.Montrer que
est un réel.En déduire que les points A,B et I sont alignés.
a 1

c.Construire le point B dans le repère O,u,v .


3.Soit  un argument du nombre complexe b.
2 3 3
22 3
Montrer que cos  
.
et sin  =
52 3
52 3
Exercice 3:
 
Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct  O ; u ; v  .
1
A tout point M d'affixe non nulle z,on associe le point M' d'affixe z' =  .
z
1.a. Déterminer une relation entre les arguments de z et z'.
b. En déduire que les points O , M et M' sont alignés.
1
2. Vérifier que z' + 1   z - 1 .
z
On note A et B les points d'affixes respectives 1 et -1.On désigne par ( C ) le cercle de centre A contenant O .
3. Dans cette question on suppose que M appartient à ( C ) \ O .
a. Vérifier que z - 1  1 puis que z' + 1  z' .Interpréter géométriquement cette dernière égalité.
b. Déduire de ce qui précède une construction du point M' connaissant le point M.