comp 4 x 2012

EXERCICES (complexes 4è.Sc.exp.) B.Tabbabi
Exercice 1 :
Soient les nombres complexes :
11 3z i 
;
23z i 
;
3
z 1 i 
et
1
3
z
Zz
1. Écrire Z sous forme algébrique .
2.. Donner l’écriture exponentielle de
1
z
,
3
z
et en déduire celle de
Z
.
3. En déduire
7
cos 12
et
7
sin 12
4. Le plan est muni d’un repère orthonormé direct
, ,O u v
.
a.Placer les points A et B d’affixes respectives z
1
et z
2
.
b.Montrer que le triangle OAB est rectangle et isocèle.
c.Déterminer l’affixe z
C
du point C tel que OACB est un carré.
d.Déterminer alors l’écriture exponentielle de z
C
.
Exercice2 : ( principale 2012 )
le plan est rapporté à un repère orthonormé direct
O,u,v
.
On désigne par (C) le cercle de centre O et de rayon 1 et par I et A les points d’affixes respectives 1
et
a 3 i 
.
1.a.Donner la forme exponentielle de a.
b.Construire le point A.
2.Soit B le point d’affixe
a 1
b1 a
.
a.Vérifier que
bb 1
.En déduire que le point B appartient à (C).
b.Montrer que
b 1
a 1
est un réel.En déduire que les points A,B et I sont alignés.
c.Construire le point B dans le repère
O,u,v
.
3.Soit
un argument du nombre complexe b.
Montrer que
2 3 3 2 2 3
cos et sin =
5 2 3 5 2 3
.
Exercice 3:
Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct
O ; u v ;
.
A tout point M d'affixe non nulle z,on associe le point M' d'affixe
1
z' = z
.
1.a. Déterminer une relation entre les arguments de z et z'.
b. En déduire que les points O , M et M' sont alignés.
2. Vérifier que
1
z' + 1 z - 1
z
.
On note A et B les points d'affixes respectives 1 et -1.On désigne par ( C ) le cercle de centre A contenant O .
3. Dans cette question on suppose que M appartient à ( C ) \
O
.
a. Vérifier que
z - 1 1
puis que
z' + 1 z'
.Interpréter géométriquement cette dernière égalité.
b. Déduire de ce qui précède une construction du point M' connaissant le point M.