Développements limités usuels en 0 Module Analyse Prof :

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Module
Analyse
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Développements limités usuels en 0
= + !+!+ + !+( ).
= + !+ + ( )!+( ).
= + !+!+ + ( )!+( ).
= − !+ + (−)( )!+( ).
= − !+!…+ (−)( )!+( ).
(+)
= + + ( )
!+ + ( )…( ) !+( ).
−
= + + + + + + ( ).
(−)
= − − − − − − + ( ).
+
= − + − + + (−)+( ).
(+)
= − + − + + (−)+( ).
√+
= + − + + (−)× ×…×( )
× ×…× +( ).
√+
= − + − + (−)× ×…×( )
× ×…× +( ).
= − + + (−)+( ).
= + + + + ( ).
= + + + × ×…×( )
× ×…× +( ).
= − + + (−)× ×…×( )
× ×…× +( ).
= − + − + ( ).
= + + + + ( ).

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Développements en série entière usuels
Fonction
Développement en série entière
Intervalle de validité
=∑!= + + !+!+.
∈,∈.
=∑( )!= + !+!+!+.
∈.
=∑!= + !+!+!+.
∈.
=∑( )
( )!= − !+!−!+.
∈.
=∑( )
( )!= − !+!−!+.
∈.
(+)
= + ∑( )…( )
!.
∈,∈]− , [.
−
=∑= + + + + .
∈∗,∈]−| |,| |[.
(−)
=∑= + + + + .
∈∗,∈]−| |,| |[.
(−)
=∑= + + + .
∈∗,∈]−| |,| |[.
(−)
=∫= −∑= − − − − − − .
∈]− , [.
(+)
=∫=∑( ) = − + − + .
∈]− , [.
√+
= + + ∑ (−)× ×…×( )
× ×…×( ) = + − − .
∈]− , [.
√+
= + ∑ (−)× ×…×( )
× ×…×( ) = − + − .
∈]− , [.
√−
=∑( )!
(!)= + + + + .
∈]− , [.
√+
=∑( ) ( )!
(!)= − + − + .
∈]− , [.
=∫=∑= + + + + ..
∈]− , [.
=∫=∑ (−)= − + − + .
∈]− , [.
=∫=∑( )!
(!)= − + − + .
∈]− , [.
= − ∫= − ∑( )!
(!)= − + − .
∈]− , [.
=∫=∑( ) ( )!
(!)= − + − + .
∈]− , [.

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Dérivées usuelles
Fonction
Dérivée
Dérivabilité
∈
∗
∈
∗
∈
∈∗
| |
∗
∈∗\{ }
∗
−
− =
\ + \ ∈
− − = −
\
− =
− = −
∗
√−
]− , [
−
√−
]− , [
+
√+
√−
],+∞[
−
]− , [

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Primitives usuelles
I. Polynômes et fractions simples.
Fonction
Primitive
Intervalles
(−)
∈,∈ \{−}
(−)
+
∈;∈
∈ \({−});
∈]−∞, [,],+∞[
(−)
∈,∈ \{−}
(−)
+
],+∞[
(−)
∈ \ ,∈ \{−}
(−)
+
−
∈
|−|
]−∞, [,],+∞[
−(+)
∈,∈∗
(−)+ + −
II.Puissances et inverses de fonctions usuelles.
Fonction
Primitive
Intervalles
−
+
( ) −
− + ; +
−( ) −
]; ( + ) [
−
+
−
−
]−∞, [,],+∞[
]; ( + ) [
+
− + ; +
]−∞, [,],+∞[
= +
−
]; ( + ) [
= +
− + ; +
= −
−
]−∞, [,],+∞[
= −
− −
]; ( + ) [
−
− + ; +

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III. Fonctions usuelles.
Fonction
Primitive
Intervalles
(−)
],+∞[
;∈∗
−
−| |
− + ; +
−| |
]; ( + ) [
( )
| |
]−∞, [,],+∞[
IV. Fonctions dérivées de fonctions réciproques.
Fonction
Primitive
Intervalles
;∈∗
]− ; [
]−∞ ; − [,]− ; [,]; +∞[
;∈∗
]−| | ;| |[
]−∞ ; −| |[,]−| | ;| |[,]| | ; +∞[
]− ; [
;
∈∗
| |
]−| | ;| |[
=
+ +
− (− )
+√−
]; +∞[
]−∞ ; − [
]−∞ ; − [√; +∞
;∈∗
+ +
> 0 ∶
< 0 ∶ −∞ ; −√−√− ; +∞
( )
+(+)
( )
−(+)