Développements limités usuels en 0 Module Analyse Prof :

Prof : Mr. CHEBBI Khalil
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N° GSM (+216) : 22275371 - 97108370
Juillet 2013
Module
Analyse
Développements limités usuels en 0
=
!
+
!
+
+
+
!
+
!
+
+(
+
!
=
+
=
−
=
+
=
( + )
+
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−
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+
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(
… + (− )
(
)
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= + + + + +
−
( − ) =− − − − − −
=
+
( + ) =
−
=
−
√ +
√ +
=
−
+
=
−
=
+
=
=
=
=
[email protected]
+
−
−
+
+
−
+
−
+
+
+
+
+
+
+
−
(
+ (
+ (− )
+ (
× ×…×(
−
+
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).
)
+ (
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× ×…×
).
× ×…×
+ (
+ (
Page 1
+ (
).
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× ×…×
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× ×…×(
× ×…×
× ×…×(
+ (− )
!
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× ×…×(
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+ (− )
+
+
+ (
+ (− )
+
+ (− )
+
+ (
+ (− )
+
−
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)
).
+ (
+ (
).
+ (
).
).
).
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Module
Analyse
Développements en série entière usuels
Fonction
Développement en série entière
=∑
=∑
(
=∑
(
=∑
( + )
−
( − )
( − )
( − )
( + )
√ +
√ +
√ −
√ +
=∑
=
=∑
(
=
!
!
(
+∑
=
)!
=
)
)
( )!
)!
(
=∑
=∑
+ +∑
+∑
=∑
=∫
=∫
=∫
= −∫
=∫
[email protected]
(
+
!
=
!
−
+
!
+
!
!
+
!
+
−
!
(
(
+
)!
( !)
) (
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( !)
=∑
=∑
=∑
)
+
!
−
+
!
!
=
(− )
(
+
+
=
+
!
.
+
−
+
+
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( !)
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.
+
(
=
∈
∈
.
∈
.
.
+
+
−
)!
( !)
−
=
Page 2
−
+
+
+
.
−
−
.
+
−
+
.
+ −
= −
−
−
+
+
+
∈
.
− +
−
∈
.
=
=
+
+
−
)
+
=
−
∈
.
+
−
)
∈
.
+
)
+
∈ ,
∈
+
)
( !)
.
!
× ×…×(
−
+
.
−
+
× ×…×(
=
!
× ×…×(
× ×…×(
(
!
=
= −∑
=∑
+
=− −
(− )
(− )
+
+
+
=
!
)
= +
= −∑
=∫
=
=
=
=∑
=
+
+
)…(
=∑
=∫
+
Intervalle de validité
.
+
−
∗
∗
∗
,
,
,
.
∈ ]− , [.
∈ ]−| |, | |[.
∈ ]−| |, | |[.
∈ ]−| |, | |[.
∈ ]− , [.
∈ ]− , [.
∈ ]− , [.
∈ ]− , [.
∈ ]− , [.
∈ ]− , [.
..
−
,
.
∈ ]− , [.
.
.
+
∈
∈ ]− , [.
.
+
∈ ]− , [.
.
−
+
.
.
.
∈ ]− , [.
∈ ]− , [.
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Module
Analyse
Dérivées usuelles
Fonction
| |
Dérivée
∈
∈
∈
∈
∈
∗
∗
∗
∗
∗
\{ }
−
∗
−
=
− −
−
−
=
√ −
−
√
√
√
[email protected]
Dérivabilité
+
−
=
=
−
+
−
Page 3
−
−
\
+
\
\
∗
]− , [
]− , [
] , +∞[
]− , [
∈
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Module
Analyse
Primitives usuelles
I. Polynômes et fractions simples.
Fonction
( −
( −
)
∈
)
( − )
−
−( +
∈
( −
∈ \{− }
,
∈ \ ,
)
( −
∈ \{− }
,
∈
Primitive
∈
,
( −
∈ \{− }
∈
∗
( − ) +
+
+
+
Intervalles
∈ ; ∈
∈ \( {− }) ;
∈ ]−∞, [, ] , +∞[
)
)
]
)
| − |
+
II.Puissances et inverses de fonctions usuelles.
Fonction
Primitive
]−∞, [, ] , +∞[
−
Intervalles
−
+
(
−(
)−
)−
−
−
=
=
=
=
[email protected]
+
+
−
−
+
+
;
+
]−∞, [, ] , +∞[
;( + ) [
− +
;
+
]−∞, [, ] , +∞[
−
−
]−∞, [, ] , +∞[
]
;( + ) [
]
−
−
− +
; +
]
;( + ) [
− +
−
−
Page 4
]
;( + ) [
− +
, +∞[
;
+
III. Fonctions usuelles.
Fonction
∈
;
Primitive
(
∗
−
−
−
Intervalles
] , +∞[
− )
|
|
(
|
|
|
)
|
− +
; +
]
;( + ) [
]−∞, [, ] , +∞[
IV. Fonctions dérivées de fonctions réciproques.
Fonction
;
;
Primitive
∈
∗
∈
∗
Intervalles
]− ; [
]−∞ ; − [ , ]− ; [ , ] ; +∞[
]−| | ; | |[
]−∞ ; −| |[ , ]−| | ; | |[ , ]| | ; +∞[
]− ; [
;
∗
∈
∈
;
∗
−
(
)
+
(
)
−
[email protected]
+
+√
]−| | ; | |[
| |
=
+
(− )
−
+
+
(
+ )
(
+ )
] ; +∞[
]−∞ ; − [
]−∞ ; − [
√ ; +∞
>0∶
< 0 ∶ −∞ ; −√−
√− ; +∞
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Module
Analyse
Trigonométrie
I. Fonctions circulaires.
1. Première propriétés.
Ensemble de définition
Période
Parité
( − )
( + )
paire
−
−
+
Ensemble de dérivabilité
Dérivée
2. Valeurs remarquables.
paire
\
−
−
−
\
−
+
√
[email protected]
\
impaire
∈
\
impaire
−
⁄
indéfini
+
√
√
Page 6
−
+
⁄
√
√
−
\
=
−
∈
− −
⁄
√
√
√
\
=
⁄
indéfini
−
II.Fonctions circulaires.
1. Définition.
Les périodicités et les symétries des fonctions trigonométriques introduisent une difficulté pour
résoudre les équations du type sin = . Par exemple, , et + 4 ont tous la même image par
la fonction sinus. Les « fonctions circulaires réciproques » Arcsin, Arccos, Arctan et Arccot ne sont
pas de vraies réciproques, puisque les fonctions de départ ne sont pas des bijections ; ajoutons
qu’elles ne sont pas périodiques. Il faut les combiner avec la périodicité et, pour sinus et cosinus,
avec les symétries par rapport à l’axe des ordonnées et l’axe des abscisses respectivement.
 Si sin = ∈ [−1 ; 1], alors = Arcsin mod 2 ou = − Arcsin mod 2 .
 Si cos = ∈ [−1 ; 1], alors = Arccos mod 2 ou = − Arcsin mod 2 .
 Si tan = ∈ , alors = Arctan mod .
 Si cotan = ∈ , alors = Arccot mod .
Le problème réciproque est, lui, sans difficulté : si = Arcsin , alors sin = .
2. Propriétés.
Ensemble de
définition
Ensemble d’image
Période
Parité
Ensemble de
dérivabilité
[− ; ]
[− ; ]
]− ; [
]− ; [
]− ⁄ ; ⁄ [
aucune
impaire
Dérivée
] ; [
]− ⁄ ; ⁄ [
aucune
aucune
] ; [
aucune
impaire
aucune
aucune
3. Relations.
 Arccos + Arcsin
= .
 Arctan + Arccot
= .
 Arctan + Arctan
 Arccot
=
Arctan
= Arctan
+
+ Arctan
 Arctan + Arccot
=
où
>0
.
<0
1
−1
0
<1
>1
, ≥0 .
>1
, ≤0
= sign( ) × .
III. Fonctions circulaires.
1. Corollaires du théorème de Pythagore.
 cos
+ sin
= 1.
2. Addition des arcs.
 cos
 cos( + ) = cos cos − sin sin .
 sin( + ) = sin cos + sin cos .
 tan( + ) =
.
 cos( − ) = cos cos + sin sin .
[email protected]
=
.
 sin
 cos + cos
=
= 2 cos
 sin + sin
= 2 sin
 cos − cos
= −2 sin
 tan + tan
Page 7
=
(
−
)
cos
cos
.
.
.
.
sin
.
 sin − sin
 sin( − ) = sin cos − sin cos .
 tan( − ) =
 tan − tan
.
3. Arc double, arc moitié.
 cos
 cos 2 = cos
.
=
 sin 2 = 2 cos sin .
− sin
 tan
= 2 cos
=
= 2 sin
(
=
=
cos
.
=
=
.
 cos
4. Formule de Moivre.
.
=
 (cos + sin ) = cos
+ sin .
 cos 3 = cos − 3 cos sin = 4 cos − 3 cos .
 sin 3 = 3 cos sin − sin = 2 sin − 4 sin
 tan 3 =
.
 tan 2 =
.
d'où :
.
+ 1 = 1 − 2 sin .
 cos
En notant = tan comme dans les règles de Bioche, on a :
 sin
)
.
.
.
5. Arcs en progression arithmétique.

∑
sin
(
=
)

.
∑
IV. Trigonométrie hyperbolique.
 ch
 ch( + ) = ch ch + sh sh .
 sh( + ) = sh ch + sh ch .
 th( + ) =
− sh
 sh + sh
 th + th
 ch − ch
 ch( − ) = ch ch − sh sh .
 sh − sh
 sh( − ) = sh ch − sh ch .
 ch
=
.
 ch 2 = ch
 sh 2 = 2 ch sh .
En notant = th on a :
 sh
d'où :
=
 th − th
.
− sh
 th
= 2 ch
=
(
=
= 1.
 ch + ch
.
 th( − ) =
cos
= 2 ch
= 2 sh
=
(
= 2 sh
= 2 sh
=
(
− 1 = 1 + 2 sh
=
.
)
)
.
.
Page 8
.
.
ch
.
sh
.
ch
.
 sh
.
=
.
 th 2 =
 (chs + sh ) = ch
+ sh .
 ch 3 = ch − 3 ch sh = 4 ch − 3 ch .
 sh 3 = 3 ch sh + sh = 4 sh + 3 sh .
 tan 3 =
.
ch
 ch
.
[email protected]
)
=
.
.