Feuille2 - M2 Statistiques

Université Pierre et Marie Curie Mise à Niveau en
M2 de Statistique Statistique Mathématique
Année 2016–2017 Tabea Rebafka
Feuille d’exercice N◦2
Estimation de paramètres
Exercice 1. Loi exponentielle
Soit X= (X1, . . . , Xn)un échantillon de loi exponentielle E(θ)de paramètre θ > 0ayant comme
densité
fθ(x) = θe−θx1{x > 0}.
1. Montrer que l’estimateur du maximum de vraisemblance vaut ˆ θn= 1/¯ Xn.
2. Calculer le risque quadratique de ˆ θn. Montrer que le risque quadratique tend vers 0 quand
ntend vers l’infini et en particulier que l’estimateur ˆ θnest asymptotiquement sans biais.
Est-ce que l’estimateur ˆ θnest consistant ?
3. Déterminer la loi limite de ˆ θn. Calculer l’information de Fisher du modèle. Est-ce que ˆ θn
est asymptotiquement efficace ?
Exercice 2. Loi de Bernoulli
Supposons que les observations x= (x1, . . . , xn)sont nréalisations indépendantes d’une variable
aléatoire Xde loi Bernoulli de paramètre p∈]0,1[ inconnu.
1. (a) Estimer ppar la méthode des moments et du maximum de vraisemblance.
(b) Calculer le risque quadratique de l’estimateur du maximum de vraisemblance ˆpnde
p. Montrer que ˆpnest consistant et déterminer sa loi asymptotique.
2. (a) Notons v=p(1 −p)la variance de la loi de Bernoulli B(p). La statistique ˆvn=
¯xn(1 −¯xn)est un estimateur de v. Montrer que ˆvnest consistant pour v.
(b) À partir de ˆvn, proposer un estimateur sans biais ˜vnde v.
(c) Déterminer la loi asymptotique de ˜vn.
Exercice 3. On considère dans R2le carré K={(x, y) : |x|+|y|<1}et on désigne par 1K
la fonction indicatrice de K.
1. Pour quelle valeur du réel αla fonction α1Kest–elle une densité de probabilité ? La valeur
αétant ainsi déterminée, on considère le couple de variables (X, Y )ayant la densité α1K.
2. Déterminer les lois marginales de Xet Y.
3. Les variables aléatoires Xet Ysont–elles indépendantes ?
4. Déterminer la loi des variables aléatoires X+Yet X−Y. Sont–elles indépendantes ?
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Exercice 4. Loi double exponentielle
1. Soit X= (X1, . . . , Xn)un échantillon de loi double exponentielle ou loi de Laplace, dont
la densité est donnée par
fθ(x) = 1
2θe−|x|
θ, x ∈R,
avec θ∈Θ =]0,+∞[.
(a) Tracer la densité fθpour différentes valeurs de θ.
(b) Calculer l’estimateur du maximum de vraisemblance de θ. Est-il unique et presque
sûrement bien défini ? Est-il consistant et asymptotiquement normal ?
2. On considère maintenant un échantillon X= (X1, . . . , Xn)de loi double exponentielle
avec un paramètre de position µ. Plus précisément, la densité s’écrit
fµ(x) = 1
2e−|x−µ|, x ∈R,
où µ∈R= Θ.
a) Tracer la densité fµpour différentes valeurs de µ.
b) Calculer l’estimateur du maximum de vraisemblance de θ. Est-il unique et presque
sûrement bien défini ? Que dire de la consistance et de la loi limite de l’estimateur ?
Exercice 5. Loi de Pareto
Soient nvariables aléatoires i.i.d. X1, . . . , Xn, de densité de Pareto
fθ(x) = θ
xθ+1 1{x≥1},
où θ > 0est un paramètre inconnu que l’on souhaite estimer.
1. On suppose d’abord que l’ensemble des paramètres est Θ = {θ > 1}. Estimer θpar la
méthode des moments.
2. On suppose maintenant que l’ensemble des paramètres est Θ = {θ > 0}. Montrer que
la méthode des moments n’est pas applicable. Estimer θpar la méthode des moments
généralisée et par celle du maximum de vraisemblance.
3. Donner la loi limite de l’estimateur du maximum de vraisemblance.
4. Calculer l’information de Fisher I(θ). Est-ce que l’estimateur du maximum de vraisem-
blance est asymptotiquement efficace ?
Exercice 6. Pour tout p > 0, on désigne par fp(x)la densité par rapport à la mesure de
Lebesgue sur Rdonnée par
fp(x) = p+ 1
2(1 − |x|)p1]−1,1[(x).
On dispose de nobservations i.i.d. X1, . . . , Xnde densité fp.
1. Calculer l’estimateur ˆpndu maximum de vraisemblance.
2. Déterminer la loi de Y=−log(1 − |X1|).
3. Montrer que l’estimateur ˆpnest consistant et donner la loi limite de √n(ˆpn−p). Est-il
asymptotiquement efficace ?
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Exercice 7. Modèles non-réguliers
Considérons le modèle uniforme {U[0, θ], θ > 0}. Soient X1, . . . , Xndes variables aléatoires i.i.d.
de loi U[0, θ].
1. Est-ce que le modèle vérifient les conditions de régularité du Théorème de la borne de
Cramer-Rao ?
2. Déterminer l’estimateur du maximum de vraisemblance ˆ θMV
n, et calculer son biais et sa
variance. Noter que son risque quadratique converge vers 0 à la vitesse 1/n2.
3. Parmi les estimateurs de la forme cˆ θMV
n, c ∈R, déterminer celui qui a un risque qua-
dratique minimal. On note cet estimateur ˜ θn. Déduire que l’estimateur du maximum de
vraisemblance ˆ θMV
nest inadmissible.
4. Chercher les lois limites de n(ˆ θMV
n−θ)et de n(˜
θn−θ).
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