2 Travaux participatifs 2.2 Saut `

2
Travaux participatifs
2.1
2.2
Énergie potentielle et force
Une masse ponctuelle m est soumise à une force conservative radiale. Son énergie potentielle
est représentée par le graphe de la figure 12.
!"#$%
!
Figure 12: Graphe de l’énergie potentielle.
−
→
1. Ce graphe met en évidence des domaines où la force F (r) = Fr (r) êr , êr désignant le
vecteur unitaire dans la direction radiale, a des sens différents : préciser les uns et les
autres.
2. En déduire les positions d’équilibre, et discuter leur stabilité.
3. en choisissant une valeur arbitraire E0 de l’énergie mécanique totale indiquer les régions
inaccessibles par la masse et représenter graphiquement l’énergie cinétique en fonction de
la position.
Saut à la perche - saut en hauteur
Expliquer la technique du saut à la perche et quel lien peut-on établir entre les différentes formes
d’énergie qui entrent en jeu. Sauriez vous estimer la hauteur maximale que l’on peut espérer
atteindre ? Pourquoi un sauteur en hauteur ne cherche-til pas à avoir une vitesse maximale
avant de sauter ? Par comparaison quelle hauteur maximale pensez-vous qu’il puisse atteindre ?
Corrigé
Le sauteur courre le plus vite possible, bloque sa perche sur le sol. Celle-ci va récupérer
l’énergie cinétique en se déformant, transformant l’énergie cinétique en énergie potentielle : en
se déformant, la perche se plie dans un premier temps et (si elle ne casse pas !) va se détendre
dans un deuxième temps en élevant le centre de gravité du sauteur solidaire de sa perche.
Celui-ci va alors accomplir un mouvement de rotation pour élever son centre de gravité. Il va
alors passer la barre en l’enroulant de sorte que son centre de gravité reste toujours un peu en
dessous de celle-ci afin d’atteindre une hauteur maximale. À cet instant son énergie cinétique
est quasi-nulle mais son énergie potentielle est maximale .... d’où la nécessité d’amortir la chute.
Estimons les ordres de grandeur en jeu. Il doit courir vite : admettons qu’il atteigne la célérité
de 10 m/s, S’il est capable de transformer toute son énergie cinétique en énergie potentielle, il
atteint une hauteur telle que
!
1
v2
m g h = m v2
⇒
h=
≈ 5 m.
2
2g
Mais son centre de gravité (au départ) est déjà à un peu plus d’un mètre du sol et comme il se
débrouille pour avoir son centre de gravité au moment où il passe la barre (grâce à la déformation
de son corps) quelques centimètres en dessous de la barre, on voit que l’on atteint une hauteur
de l’ordre de 6.3 à 6.5 m, ce qui est effectivement un peu au-dessus du record du monde actuel
de 6.14 m depuis un bon nombre d’années (Bubka, 1994). Les ordres de grandeur sont donc bien
raisonnables d’autant que le sauteur, encombré de sa perche, n’atteint pas vraiment la célérité
de 10 m/s mais probablement plutôt 9.5 m/s ; on pourrait sans doute progresser en améliorant
les perches pour limiter les pertes d’énergie dans la phase de déformation et améliorer encore le
style pour abaisser encore plus le centre de gravité au moment du franchissement de la barre.
Corrigé
−
→ −
→
r (r)
1. On a Ep (r) = − ∇ · F (r) = − dFdr
.
À gauche du premier minimum, l’énergie potentielle diminue, la force est donc répulsive
(Fr (r) > 0) ; entre le premier minimum et le maximum l’énergie potentielle croı̂t, la
force est donc attractive (Fr (r) < 0). Entre le maximum et le second minimum, l’énergie
décroı̂t et la force est donc répulsive (Fr (r) > 0); au-delà du second minimum, l’énergie
potentielle croı̂t et la force est attractive (dFr (r) < 0).
2. Le premier minimum, comme le second, correspond ainsi à une position d’équilibre stable.
Le maximum correspond lui à une position d’équilibre instable.
3. Supposons par exemple que E0 ait une valeur comprise entre le premier minimum et le
maximum. La particule venant de l’infini à droite avec initialement une énergie totale
purement cinétique verra dans un premier temps son énergie cinétique augmenter (elle
est accélérée) jusqu’au niveau du second minimum puis elle est freinée jusqu’à ce que
son énergie soit entièrement convertie sous forme d’énergie potentielle en un point R0 , sa
vitesse s’annulant, elle repart alors vers la droite. Elle ne peut atteindre la région r < R0 .
27
Un sauteur en hauteur a une technique très différente. Il court beaucoup moins vite car s’il
allait trop vite il ne pourrait s’arrêter brutalement sauf à risquer quelques ennuis osseux et
ligamentaires. Il a donc une célérité très mesurée de l’ordre de 3 à 5 m/s, ce qui lui autorise
une élévation h = v 2 /2g de 0.6 à 1 m pour convertir au mieux son énergie cinétique en énergie
potentielle. Les sauteurs en hauteur sont en général assez grands et leur centre de gravité est
à une hauteur de l’ordre de 1.2 m. De plus ils utilisent leur détente dont on sait qu’elle permet
de sauter de l’ordre de 40 à 50 cm. Ainsi globalement on doit s’attendre à une hauteur de
franchissement de l’ordre de 2.20 à 2.70, d’autant que la technique, ici aussi, consiste à essayer
de garder son centre de gravité la plus bas possible (d’où la technique du Fosbury flop). Le
record du monde féminin est actuellement de 2.09 m (Kostadinova, 1987) et le record masculin
de 2.45 m (Sotomayor, 1993).
2.3
Pendule balistique
Un projectile de masse m et de célérité horizontale V0 est lancé contre un sac plein de sable de
masse M formant la partie inférieure d’un système mobile autour d’un axe horizontal O. Le
→
projectile s’immobilise dans le sable, l’ensemble démarrant avec la vitesse −
v.
28
O
M +m
2.4
−
→
v
−
→
Un cerceau de rayon R et de centre O, tourne avec une vitesse angulaire Ω constante autour
d’un axe vertical ∆ passant par un diamètre (cf. figure 14). Une perle, assimilée à un point
matériel M de masse m, est libre de se déplacer sans frottement le long du cerceau. Sa position
est repérée par l’angle θ (que fait le segment OM avec la verticale) ou par h (son altitude
repérée par rapport au point le plus bas du cerceau.) On distingue deux référentiels : R, centré
en O, lié à la Terre et que l’on supposera d’inertie et R! , lié au cerceau centré en O! confondu
avec O.
−
→ m
V0
M
Extrait du partiel du 14 mars 1998
∆
Figure 13: .
−
→
Ω
→
1. Déterminer −
v.
2. On veut déterminer la hauteur h à laquelle s’élève ce pendule. Calculer la variation
d’énergie potentielle correspondante. Calculer ensuite la variation d’énergie cinétique
correspondante et en déduire h
O
Corrigé
θ
êθ
1. Le choc est un choc inélastique. Avant le choc la quantité de mouvement horizontale est
m V et immédiatement après la collision elle est toujours horizontale et vaut (m + M ) v
de telle sorte que
m V0 = (m + M ) v
soit
v=
m
V0
m+M
On notera, le choc étant totalement inélastique, que l’énergie cinétique n’est pas conservée : l’énergie cinétique initiale m V02 /2 devient (m/(m + M ) m V02 /2, la différence
correspond à ce qui est dissipé sous forme de déformation, chaleur, ... lors du choc.
2. On a donc un pendule simple de masse M +m, initialement vertical avec la vitesse initiale
horizontale V que l’on vient de déterminer. La hauteur maximale qu’il peut atteindre
l’est quand sa vitesse s’annule, la variation d’énergie cinétique est alors
1
1 m2
∆Ec = Ecf − Eci = 0 − Eci = − (m + M ) v 2 = −
V2
2
2 m+M 0
L’ensemble du système étant isolé, l’énergie totale est conservée et la variation d’énergie
cinétique est l’opposée de la variation d’énergie potentielle
∆ET = ∆Ec + ∆Ep = 0
soit
1 m2
∆Ep =
V2
2 m+M 0
Comme l’énergie potentielle est liée à la force de gravitation, la variation d’énergie potentielle entre la position basse initiale x0 et la hauteur atteinte x0 + h est simplement
∆Ep = m g h. On en déduit h
m
V02
h=
.
m+M 2g
H
M
h
Figure 14: .
L’énergie potentielle de pesanteur de la perle est donnée par l’expression suivante :
"
%
1 # Ω $2
Ep (θ) = m g R 1 − cos θ −
sin2 θ .
2 Ωc
1. Pour
√graphiquement cette énergie potentielle dans les deux cas suivants Ω1 =
√représenter
Ωc / 2 et Ω2 = 2 Ωc et pour tout le domaine de variation de θ(−π < θ < π), on cherchera
les extrema de la fonction Ep (θ) et on calculera les valeurs de Ep (θ) pour quelques valeurs
simples de θ (par exemple θ = 0, θ = π/2 ; θ = π/3 ; θ = 2π/3 ). On utilisera une échelle
totale sur chacun des axes d’au moins 10 cm.
2. Déterminer les points d’équilibre du système pour les deux valeurs Ω1 et Ω2 et discuter
leur stabilité.
3. Le système se trouvant en l’un ses points d’équilibre stable θ = θ0 pour Ω = Ω2 , on écarte
légèrement la perle de sa position d’équilibre : θ = θ0 + # (avec # << θ0 ). Décrire d’abord
qualitativement le mouvement de la perle (on exprimera pour cela, après l’avoir justifiée,
la conservation de son énergie mécanique) puis établir l’équation différentielle qui le régit.
Caractériser sa nature en indiquant sa pulsation propre. On rappelle le développement
limité suivant :
cos(θ0 + #) = cos θ0 − # sin θ0 −
29
êr
30
#2
cos θ0 + O(#3 ).
2
Corrigé
Voir ”A simple mechanical model exhibiting a spontaneous symmetry breaking” par Jean
Sivardière dans Am. J. Phys. 51, 1016 (1983) et ”Dynamical stability and potential energy”
par Leon Blitzer, ibid. 50,431(1982).
Il n’y a aucun mystère derrière cette expression de l’énergie potentielle dont l’origine est choisie
au bas du cerceau en θ = 0. Elle est en effet la somme de l’énergie potentielle de gravitation
(m g R [1 − cos θ]) et de l’énergie potentielle associée à la pseudo-force d’entraı̂nement, liée
−−→
à la rotation du cerceau autour de l’axe vertical ∆ qui est proportionnelle à −m Ω2 HM 2 où
HM = R sin θ.
1. On a
et
"
%
1 # Ω $2
Ep (θ) = m g R 1 − cos θ −
sin2 θ .
2 Ωc
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
=
=
=
=
=
=
=
=
0
π/4
π/3
π/2
2π/3
3π/4
5π/6
2π
Ep,1 = 0.00
Ep,1 = 0.17
Ep,1 = 0.32
Ep,1 = 0.75
Ep,1 = 1.31
Ep,1 = 1.57
Ep,1 = 1.80
Ep,1 = 2.00
Ep,2 = 0.00
Ep,2 = −0.21
Ep,2 = −0.25
Ep,2 = 0.00
Ep,2 = 0.75
Ep,2 = 1.45
Ep,2 = 1.74
Ep,2 = 2.00
Pour obtenir la position des extrema, il faut dériver l’expression de l’énergie potentielle
Ωc
1
Ω1 = √ ⇒ Ep,1 (θ) = m g R 1 − cos θ − sin2 θ ,
4
2
"
%
√
Ω2 = 2 Ωc ⇒ Ep,2 (θ) = m g R 1 − cos θ − sin2 θ .
"
donc de s’intéresser à l’intervalle 0 ≤ θ ≤ π) :
%
# Ω $2
&
'
dEp (θ)
= m g R sin θ −
sin θ cos θ .
dθ
Ωc
Les extrema se situent là où cette quantité s’annule, c’est à dire
# Ω $2
sin θ [1 −
cos θ] = 0,
Ωc
c’est à dire θ = 0 et si cela a un sens
cos θ =
# Ω $2
c
Ω
.
√
√
2. Ainsi pour Ω1 = Ωc / 2 cette équation n’a pas de solutions alors que pour Ω2 = 2 Ωc ,
les angles θ = π/3 et −π/3 en sont solution dans l’intervalle [−π, π]. Il est facile de voir
alors que
√
• si Ω1 = Ωc / 2, il y a une seule position d’équilibre stable θ = 0,
√
• si Ω2 = 2 Ωc , les positions les angles θ = π/3 et −π/3 correspondent à des positions
d’équilibre stable alors que θ = 0 correspond à une position d’équilibre instable.
√
√
Figure 15: Énergies potentielles Ep1 et Ep2 pour Ω1 = Ωc / 2 et Ω2 = 2 Ωc respectivement.
Quelques valeurs (en remarquant que les fonctions Ep,1 (θ) et Ep,2 (θ) sont paires ; il suffit
3. Soit alors θ0 = π/3 point d’équilibre stable pour Ω = Ω2 et en s’écartant légèrement de
ce point, θ = θ0 + # avec # <<< θ0 , la perle va avoir tendance à revenir vers le point
d’équilibre θ0 en oscillant autour de ce point. En effet, l’énergie mécanique de la perle sur
le cerceau, l’ensemble étant isolé, est conservée. La perle, emmenée par le cerceau dans
sa rotation a, à position angulaire fixée θ, l’énergie potentielle
"
%
Ep (θ) = m g R 1 − cos θ − sin2 θ
et l’énergie mécanique est donc dans le référentiel lié cerceau À un instant t ultérieur
l’énergie totale est
"
%
1 →2
v + m g R 1 − cos θ − sin2 θ .
EM = m −
2
Comme elle est condtante, on obtient en dérivant par rapport au temps :
→
m−
v ·
31
→
d−
v
dEp (θ)
+
θ̇ = 0
dt
dθ
32
−−→
La perle est astreinte à un mouvement circulaire sur le cerceau OM = R êr et les composantes de sa vitesse et de son accélération dans le plan du cerceau se réduisent à
→
d−
v
= R θ̈ êθ − R θ̇2 êr .
dt
L’équation du mouvement dans le plan du cerceau s’écrit finalement
−
→
v = R θ̇ êθ
m R2 θ̈ +
4. Dans le repère en rotation, c’est à dire lié au cerceau en rotation à la vitesse angulaire
−
→
→
Ω = Ω êz autour de l’axe vertical ∆, l’accélération −
a ! de la perle est donnée par la
relation
−
→ −
→ →
→
→
m−
a! = P +N +−
ϕe +−
ϕc
−
→
−
→
→
→
où P est le poids de la perle, N la réaction (normale) du cerceau, −
ϕ e et −
ϕ c les pseudoforces d’entraı̂nement et de Coriolis,
−
→ −
→ →!
−
→
ϕ e = −m Ω ∧ ( Ω ∧ −
r ),
dEp (θ)
= 0,
dθ
et
c’est à dire
−
→ →!
−
→
ϕ c = −2 m( Ω ∧ −
v ).
−
−
→
−
→
!
Comme r = OM = R êr et que l’on peut exprimer êz en fonction des vecteurs unitaires
êr et êθ selon la relation
êz = − cos θ êr + sin θ êθ ,
m R2 θ̈ + m g R sin θ (1 − 2 cos θ) = 0
ou
g
sin θ (1 − 2 cos θ) = 0.
R
On peut alors simplifier cette équation en utilisant le fait que θ = θ0 + # et donc
θ̈ +
−
→ −
Ω ∧→
r ! = Ω R êz ∧ êr = Ω R sin θ êθ ∧ êr
sin(θ0 + #) = sin θ0 cos # + cos θ0 sin #
#2
= (1 − ) sin θ0 + # cos θ0 + O(#3 )
2
et
−
→ −
→ →!
Ω ∧ (Ω ∧ −
r ) = Ω2 R sin θ {− cos θ êr ∧ (êθ ∧ êr ) + sin θ êθ ∧ (êθ ∧ êr )}
−−→
= −Ω2 R sin θ {cos θ êθ + sin θ êr } = −Ω2 sin θ HM .
qui avec le développement indiqué dans l’énoncé
cos(θ0 + #) = cos θ0 − # sin θ0 −
#2
cos θ0 + O(#3 )
2
→
Par ailleurs, comme −
v ! = R θ̇ êθ ,
et
−
→ −
Ω ∧→
v ! = Ω R θ̇ (êz ∧ êθ )
1 − 2 cos(θ0 + #) = 1 − 2 cos θ0 + 2 # sin θ0 + #2 cos θ0 + O(#3 )
conduisent à
et se situe dans dans le plan orthogonal à êr et êθ . La pseudo-force de Coriolis associée à
cette accélération est strictement compensée par une réaction du cerceau sur la perle .
La pseudo-force d’entraı̂nement s’écrit
sin θ (1 − 2 cos θ) = sin(θ0 + #) [1 − 2 cos(θ0 + #)]
#2
sin θ0 } (1 − 2 cos θ0 )
= {sin θ0 + # cos θ0 −
2
+2 # sin2 θ0 + 3#2 sin θ0 cos θ0 + O(#3 ).
−−→
−
→
ϕ e = m Ω2 sin θ HM
et dans le plan (êr , êθ ), l’équation du mouvement s’écrit
Or pour θ = ±π/3, on a cos θ0 = 1/2, soit 1 − 2 cos θ0 = 0 et le développement ci-dessus
se réduit à
√
3
3 3 2
sin θ (1 − 2 cos θ) = # ±
# + O(#3 ).
2
4
Comme, par ailleurs, θ̈ = #̈, l’équation du mouvement à l’ordre #2 devient
#̈ +
−m R θ̇2 = m g cos θ − N + m Ω2 R sin2 θ
m R θ̈ = −m g sin θ + m Ω2 R sin θ cos θ
Cette deuxième équation se récrit
3g
# + O(#2 ) = 0,
2R
équation caractéristique d’un mouvement oscillant périodique, de pulsation
d’une position d’équilibre.
m (R θ̈êθ −R θ̇2 êr ) = m g (cos θ êr −sin θ êθ )−N êr +m Ω2 R sin θ {cos θ êθ +sin θ êr } = 0.
(
3g
,
2R
autour
)
# Ω $2
*
θ̈ + ω 2 sin θ 1 −
cos θ ,
ω
avec ω 2 = g/R. Elle permet de déterminer le mouvement, la première équation donnera
ensuite l’expression de la composante radiale de la réaction du cerceau sur la perle.
On reconnaı̂t évidemment l’équation que nous avons utilisée et on retrouve l’expression
−
→
−
→
de l’énergie potentielle. Puisque F = – ∇Ep , cela implique dans le plan (êr , êθ )
33
34
Fr = −
∂Ep
∂r
et
Fθ = −
soit donc
−m g sin θ + m Ω2 R sin θ cos θ = −
En intégrant
1 ∂Ep
,
r ∂θ
1 ∂Ep
.
R ∂θ
)
*
1 # Ω $2
Ep = m g R − cos θ −
sin2 θ + constante .
2 ω
La constante est fixée de telle sorte que l’énergie potentielle est nulle pour θ = 0 ; elle
vaut alors 1 ce qui redonne bien l’expression de départ.
35