2 Travaux participatifs
2.1 ´
Energie potentielle et force
Une masse ponctuelle m est soumise `a une force conservative radiale. Son ´energie potentielle
est repr´esent´ee par le graphe de la figure 12.
!
!"#$%
Figure 12: Graphe de l’´energie potentielle.
1. Ce graphe met en ´evidence des domaines o`u la force −→F(r)=Fr(rereresignant le
vecteur unitaire dans la direction radiale, a des sens di´erents : pr´eciser les uns et les
autres.
2. En d´eduire les positions d’´equilibre, et discuter leur stabilit´e.
3. en choisissant une valeur arbitraire E0de l’´energie m´ecanique totale indiquer les r´egions
inaccessibles par la masse et repr´esenter graphiquement l’´energie cin´etique en fonction de
la position.
Corrig´e
1. On a Ep(r)=−→·−→F(r)=dFr(r)
dr .
`
A gauche du premier minimum, l’´energie potentielle diminue, la force est donc r´epulsive
(Fr(r)>0) ; entre le premier minimum et le maximum l’´energie potentielle croˆıt, la
force est donc attractive (Fr(r)<0). Entre le maximum et le second minimum, l’´energie
ecroˆıt et la force est donc r´epulsive (Fr(r)>0); au-del`a du second minimum, l’´energie
potentielle croˆıt et la force est attractive (dFr(r)<0).
2. Le premier minimum, comme le second, correspond ainsi `a une position d’´equilibre stable.
Le maximum correspond lui `a une position d’´equilibre instable.
3. Supposons par exemple que E0ait une valeur comprise entre le premier minimum et le
maximum. La particule venant de l’infini `a droite avec initialement une ´energie totale
purement cin´etique verra dans un premier temps son ´energie cin´etique augmenter (elle
est acc´el´er´ee) jusqu’au niveau du second minimum puis elle est frein´ee jusqu’`a ce que
son ´energie soit enti`erement convertie sous forme d’´energie potentielle en un point R0, sa
vitesse s’annulant, elle repart alors vers la droite. Elle ne peut atteindre la r´egion r<R
0.
27
2.2 Saut `a la perche - saut en hauteur
Expliquer la technique du saut `a la perche et quel lien peut-on ´etablir entre les di´erentes formes
d’´energie qui entrent en jeu. Sauriez vous estimer la hauteur maximale que l’on peut esp´erer
atteindre ? Pourquoi un sauteur en hauteur ne cherche-til pas `a avoir une vitesse maximale
avant de sauter ? Par comparaison quelle hauteur maximale pensez-vous qu’il puisse atteindre ?
Corrig´e
Le sauteur courre le plus vite possible, bloque sa perche sur le sol. Celle-ci va r´ecup´erer
l’´energie cin´etique en se d´eformant, transformant l’´energie cin´etique en ´energie potentielle : en
se d´eformant, la perche se plie dans un premier temps et (si elle ne casse pas !) va se d´etendre
dans un deuxi`eme temps en ´elevant le centre de gravit´e du sauteur solidaire de sa perche.
Celui-ci va alors accomplir un mouvement de rotation pour ´elever son centre de gravit´e. Il va
alors passer la barre en l’enroulant de sorte que son centre de gravit´e reste toujours un peu en
dessous de celle-ci afin d’atteindre une hauteur maximale. `
A cet instant son ´energie cin´etique
est quasi-nulle mais son ´energie potentielle est maximale .... d’o`u la n´ecessit´e d’amortir la chute.
Estimons les ordres de grandeur en jeu. Il doit courir vite : admettons qu’il atteigne la c´el´erit´e
de 10 m/s, S’il est capable de transformer toute son ´energie cin´etique en ´energie potentielle, il
atteint une hauteur telle que
mgh=1
2mv
2h=!v2
2g5m.
Mais son centre de gravit´e (au d´epart) est d´ej`a `a un peu plus d’un m`etre du sol et comme il se
ebrouille pour avoir son centre de gravit´e au moment o`u il passe la barre (grˆace `a la d´eformation
de son corps) quelques centim`etres en dessous de la barre, on voit que l’on atteint une hauteur
de l’ordre de 6.3`a6.5 m, ce qui est eectivement un peu au-dessus du record du monde actuel
de 6.14 m depuis un bon nombre d’ann´ees (Bubka, 1994). Les ordres de grandeur sont donc bien
raisonnables d’autant que le sauteur, encombr´e de sa perche, n’atteint pas vraiment la c´el´erit´e
de 10 m/s mais probablement plutˆot 9.5 m/s ; on pourrait sans doute progresser en am´eliorant
les perches pour limiter les pertes d’´energie dans la phase de d´eformation et am´eliorer encore le
style pour abaisser encore plus le centre de gravit´e au moment du franchissement de la barre.
Un sauteur en hauteur a une technique tr`es di´erente. Il court beaucoup moins vite car s’il
allait trop vite il ne pourrait s’arrˆeter brutalement sauf `a risquer quelques ennuis osseux et
ligamentaires. Il a donc une c´el´erit´e tr`es mesur´ee de l’ordre de 3 `a 5 m/s, ce qui lui autorise
une ´el´evation h=v2/2gde 0.6 `a 1 m pour convertir au mieux son ´energie cin´etique en ´energie
potentielle. Les sauteurs en hauteur sont en g´en´eral assez grands et leur centre de gravit´e est
`a une hauteur de l’ordre de 1.2 m. De plus ils utilisent leur d´etente dont on sait qu’elle permet
de sauter de l’ordre de 40 `a 50 cm. Ainsi globalement on doit s’attendre `a une hauteur de
franchissement de l’ordre de 2.20 `a 2.70, d’autant que la technique, ici aussi, consiste `a essayer
de garder son centre de gravit´e la plus bas possible (d’o`u la technique du Fosbury flop). Le
record du monde f´eminin est actuellement de 2.09 m (Kostadinova, 1987) et le record masculin
de 2.45 m (Sotomayor, 1993).
2.3 Pendule balistique
Un projectile de masse met de c´el´erit´e horizontale V0est lanc´e contre un sac plein de sable de
masse Mformant la partie inf´erieure d’un syst`eme mobile autour d’un axe horizontal O.Le
projectile s’immobilise dans le sable, l’ensemble d´emarrant avec la vitesse −→v.
28
M
m
−→
V0
O
M+m−→v
Figure 13: .
1. eterminer −→v.
2. On veut d´eterminer la hauteur h`a laquelle s’´el`eve ce pendule. Calculer la variation
d’´energie potentielle correspondante. Calculer ensuite la variation d’´energie cin´etique
correspondante et en d´eduire h
Corrig´e
1. Le choc est un choc in´elastique. Avant le choc la quantit´e de mouvement horizontale est
mV et imm´ediatement apr`es la collision elle est toujours horizontale et vaut (m+M)v
de telle sorte que
mV
0=(m+M)vsoit v=m
m+MV0
On notera, le choc ´etant totalement in´elastique, que l’´energie cin´etique n’est pas con-
serv´ee : l’´energie cin´etique initiale mV2
0/2 devient (m/(m+M)mV2
0/2, la di´erence
correspond `a ce qui est dissip´e sous forme de d´eformation, chaleur, ... lors du choc.
2. On a donc un pendule simple de masse M+m, initialement vertical avec la vitesse initiale
horizontale Vque l’on vient de d´eterminer. La hauteur maximale qu’il peut atteindre
l’est quand sa vitesse s’annule, la variation d’´energie cin´etique est alors
Ec=Ecf Eci =0Eci =1
2(m+M)v2=1
2
m2
m+MV2
0
L’ensemble du syst`eme ´etant isol´e, l’´energie totale est conserv´ee et la variation d’´energie
cin´etique est l’oppos´ee de la variation d’´energie potentielle
ET=Ec+Ep= 0 soit Ep=1
2
m2
m+MV2
0
Comme l’´energie potentielle est li´ee `a la force de gravitation, la variation d’´energie po-
tentielle entre la position basse initiale x0et la hauteur atteinte x0+hest simplement
Ep=mgh. On en d´eduit h
h=m
m+M
V2
0
2g.
29
2.4 Extrait du partiel du 14 mars 1998
Un cerceau de rayon Ret de centre O, tourne avec une vitesse angulaire −→constante autour
d’un axe vertical passant par un diam`etre (cf. figure 14). Une perle, assimil´ee `a un point
mat´eriel Mde masse m, est libre de se d´eplacer sans frottement le long du cerceau. Sa position
est rep´er´ee par l’angle θ(que fait le segment OM avec la verticale) ou par h(son altitude
rep´er´ee par rapport au point le plus bas du cerceau.) On distingue deux r´ef´erentiels : R, centr´e
en O, li´e `a la Terre et que l’on supposera d’inertie et R!, li´e au cerceau centr´e en O!confondu
avec O.
−→
O
H
h
Mˆer
ˆeθ
θ
Figure 14: .
L’´energie potentielle de pesanteur de la perle est donn´ee par l’expression suivante :
Ep(θ)=mgR"1cos θ1
2#
c$2sin2θ%.
1. Pour repr´esenter graphiquement cette ´energie potentielle dans les deux cas suivants 1=
c/2 et 2=2cet pour tout le domaine de variation de θ(π<θ<π), on cherchera
les extrema de la fonction Ep(θ) et on calculera les valeurs de Ep(θ) pour quelques valeurs
simples de θ(par exemple θ=0,θ=π/2;θ=π/3;θ=2π/3 ). On utilisera une ´echelle
totale sur chacun des axes d’au moins 10 cm.
2. eterminer les points d’´equilibre du syst`eme pour les deux valeurs 1et 2et discuter
leur stabilit´e.
3. Le syst`eme se trouvant en l’un ses points d’´equilibre stable θ=θ0pour =2, on ´ecarte
eg`erement la perle de sa position d’´equilibre : θ=θ0+#(avec #<< θ0). ecrire d’abord
qualitativement le mouvement de la perle (on exprimera pour cela, apr`es l’avoir justifi´ee,
la conservation de son ´energie m´ecanique) puis ´etablir l’´equation di´erentielle qui le r´egit.
Caract´eriser sa nature en indiquant sa pulsation propre. On rappelle le d´eveloppement
limit´e suivant :
cos(θ0+#) = cos θ0#sin θ0#2
2cos θ0+O(#3).
30
Corrig´e
Voir ”A simple mechanical model exhibiting a spontaneous symmetry breaking” par Jean
Sivardi`ere dans Am. J. Phys. 51, 1016 (1983) et ”Dynamical stability and potential energy”
par Leon Blitzer, ibid. 50,431(1982).
Il n’y a aucun myst`ere derri`ere cette expression de l’´energie potentielle dont l’origine est choisie
au bas du cerceau en θ=0.Elleesteneet la somme de l’´energie potentielle de gravitation
(mgR[1 cos θ]) et de l’´energie potentielle associ´ee `a la pseudo-force d’entraˆınement, li´ee
`a la rotation du cerceau autour de l’axe vertical qui est proportionnelle `a m2−−→
HM2o`u
HM =Rsin θ.
Ep(θ)=mgR"1cos θ1
2#
c$2sin2θ%.
1. On a
1=c
2Ep,1(θ)=mgR"1cos θ1
4sin2θ%,
et
2=2cEp,2(θ)=mgR"1cos θsin2θ%.
Figure 15: ´
Energies potentielles Ep1et Ep2pour 1=c/2 et 2=2crespectivement.
Quelques valeurs (en remarquant que les fonctions Ep,1(θ) et Ep,2(θ) sont paires ; il sut
31
donc de s’int´eresser `a l’intervalle 0 θπ):
θ=0 Ep,1=0.00 Ep,2=0.00
θ=π/4Ep,1=0.17 Ep,2=0.21
θ=π/3Ep,1=0.32 Ep,2=0.25
θ=π/2Ep,1=0.75 Ep,2=0.00
θ=2π/3Ep,1=1.31 Ep,2=0.75
θ=3π/4Ep,1=1.57 Ep,2=1.45
θ=5π/6Ep,1=1.80 Ep,2=1.74
θ=2πEp,1=2.00 Ep,2=2.00
Pour obtenir la position des extrema, il faut d´eriver l’expression de l’´energie potentielle
dEp(θ)
dθ=mgR&sin θ#
c$2sin θcos θ'.
Les extrema se situent l`a o`u cette quantit´e s’annule, c’est `a dire
sin θ[1 #
c$2cos θ]=0,
c’est `a dire θ= 0 et si cela a un sens
cos θ=#c
$2.
2. Ainsi pour 1=c/2 cette ´equation n’a pas de solutions alors que pour 2=2c,
les angles θ=π/3 et π/3 en sont solution dans l’intervalle [π,π]. Il est facile de voir
alors que
si 1=c/2, il y a une seule position d’´equilibre stable θ=0,
si 2=2c, les positions les angles θ=π/3 et π/3 correspondent `a des positions
d’´equilibre stable alors que θ= 0 correspond `a une position d’´equilibre instable.
3. Soit alors θ0=π/3 point d’´equilibre stable pour =2et en s’´ecartant l´eg`erement de
ce point, θ=θ0+#avec #<<< θ0, la perle va avoir tendance `a revenir vers le point
d’´equilibre θ0en oscillant autour de ce point. En eet, l’´energie m´ecanique de la perle sur
le cerceau, l’ensemble ´etant isol´e, est conserv´ee. La perle, emmen´ee par le cerceau dans
sa rotation a, `a position angulaire fix´ee θ, l’´energie potentielle
Ep(θ)=mgR"1cos θsin2θ%
et l’´energie m´ecanique est donc dans le r´ef´erentiel li´e cerceau `
A un instant tult´erieur
l’´energie totale est
EM=1
2m−→v2+mgR"1cos θsin2θ%.
Comme elle est condtante, on obtient en d´erivant par rapport au temps :
m−→v·d−→v
dt +dEp(θ)
dθ˙
θ=0
32
La perle est astreinte `a un mouvement circulaire sur le cerceau −−→
OM =Rˆeret les com-
posantes de sa vitesse et de son acc´el´eration dans le plan du cerceau se r´eduisent `a
−→v=R˙
θˆeθ
d−→v
dt =R¨
θˆeθR˙
θ2ˆer.
L’´equation du mouvement dans le plan du cerceau s’´ecrit finalement
mR
2¨
θ+dEp(θ)
dθ=0,
c’est `a dire
mR
2¨
θ+mgR sin θ(1 2 cos θ)=0
ou ¨
θ+g
Rsin θ(1 2 cos θ)=0.
On peut alors simplifier cette ´equation en utilisant le fait que θ=θ0+#et donc
sin(θ0+#) = sin θ0cos #+ cos θ0sin #
=(1#2
2) sin θ0+#cos θ0+O(#3)
qui avec le d´eveloppement indiqu´e dans l’´enonc´e
cos(θ0+#) = cos θ0#sin θ0#2
2cos θ0+O(#3)
et
12 cos(θ0+#)=12 cos θ0+2#sin θ0+#2cos θ0+O(#3)
conduisent `a
sin θ(1 2 cos θ) = sin(θ0+#)[12 cos(θ0+#)]
={sin θ0+#cos θ0#2
2sin θ0}(1 2 cos θ0)
+2 #sin2θ0+3#2sin θ0cos θ0+O(#3).
Or pour θ=±π/3, on a cos θ0=1/2, soit 1 2 cos θ0= 0 et le eveloppement ci-dessus
se r´eduit `a
sin θ(1 2 cos θ)=3
2#±33
4#2+O(#3).
Comme, par ailleurs, ¨
θ#, l’´equation du mouvement `a l’ordre #2devient
¨#+3g
2R#+O(#2)=0,
´equation caract´eristique d’un mouvement oscillant p´eriodique, de pulsation (3g
2R,autour
d’une position d’´equilibre.
33
4. Dans le rep`ere en rotation, c’est `a dire li´e au cerceau en rotation `a la vitesse angulaire
−→=ˆezautour de l’axe vertical , l’acc´el´eration −→a!de la perle est donn´ee par la
relation
m−→a!=−→P+−→N+−→ϕe+−→ϕc
o`u −→Pest le poids de la perle, −→Nla r´eaction (normale) du cerceau, −→ϕeet −→ϕcles pseudo-
forces d’entraˆınement et de Coriolis,
−→ϕe=m−→(−→−→r!),
et −→ϕc=2m(−→−→v!).
Comme −→r!=−−→
OM =Rˆeret que l’on peut exprimer ˆezen fonction des vecteurs unitaires
ˆeret ˆeθselon la relation
ˆez=cos θˆer+ sin θˆeθ,
−→−→r!=Rˆezˆer=Rsin θˆeθˆer
et
−→(−→−→r!)=2Rsin θ{cos θˆereθˆer) + sin θˆeθeθˆer)}
=2Rsin θ{cos θˆeθ+ sin θˆer}=2sin θ−−→
HM.
Par ailleurs, comme −→v!=R˙
θˆeθ,
−→−→v!=R˙
θezˆeθ)
et se situe dans dans le plan orthogonal `a ˆeret ˆeθ. La pseudo-force de Coriolis associ´ee `a
cette acc´el´eration est strictement compens´ee par une r´eaction du cerceau sur la perle .
La pseudo-force d’entraˆınement s’´ecrit
−→ϕe=m2sin θ−−→
HM
et dans le plan (ˆer,ˆeθ), l’´equation du mouvement s’´ecrit
m(R¨
θˆeθR˙
θ2ˆer)=mg(cos θˆersin θˆeθ)Nˆer+m2Rsin θ{cos θˆeθ+sin θˆer}=0.
mR ˙
θ2=mg cos θN+m2Rsin2θ
mR¨
θ=mg sin θ+m2Rsin θcos θ
Cette deuxi`eme ´equation se ecrit
¨
θ+ω2sin θ)1#
ω$2cos θ*,
avec ω2=g/R. Elle permet de eterminer le mouvement, la premi`ere ´equation donnera
ensuite l’expression de la composante radiale de la r´eaction du cerceau sur la perle.
On reconnaˆıt ´evidemment l’´equation que nous avons utilis´ee et on retrouve l’expression
de l’´energie potentielle. Puisque −→F=–
−→Ep, cela implique dans le plan (ˆer,ˆeθ)
34
Fr=Ep
ret Fθ=1
r
Ep
∂θ ,
soit donc
mg sin θ+m2Rsin θcos θ=1
R
Ep
∂θ .
En int´egrant
Ep=mgR
)cos θ1
2#
ω$2sin2θ+ constante*.
La constante est fix´ee de telle sorte que l’´energie potentielle est nulle pour θ= 0 ; elle
vaut alors 1 ce qui redonne bien l’expression de d´epart.
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