2 Travaux participatifs 2.2 Saut `

2 Travaux participatifs
2.1 ´ Energie potentielle et force
Une masse ponctuelle m est soumise `a une force conservative radiale. Son ´energie potentielle
est repr´esent´ee par le graphe de la figure 12.
!
!"#$%
Figure 12: Graphe de l’´energie potentielle.
1. Ce graphe met en ´evidence des domaines o`u la force −→F(r)=Fr(r)ˆer,ˆerd´esignant le
vecteur unitaire dans la direction radiale, a des sens diff´erents : pr´eciser les uns et les
autres.
2. En d´eduire les positions d’´equilibre, et discuter leur stabilit´e.
3. en choisissant une valeur arbitraire E0de l’´energie m´ecanique totale indiquer les r´egions
inaccessibles par la masse et repr´esenter graphiquement l’´energie cin´etique en fonction de
la position.
Corrig´e
1. On a Ep(r)=−−→∇·−→F(r)=−dFr(r)
dr .
`
A gauche du premier minimum, l’´energie potentielle diminue, la force est donc r´epulsive
(Fr(r)>0) ; entre le premier minimum et le maximum l’´energie potentielle croˆıt, la
force est donc attractive (Fr(r)<0). Entre le maximum et le second minimum, l’´energie
d´ecroˆıt et la force est donc r´epulsive (Fr(r)>0); au-del`a du second minimum, l’´energie
potentielle croˆıt et la force est attractive (dFr(r)<0).
2. Le premier minimum, comme le second, correspond ainsi `a une position d’´equilibre stable.
Le maximum correspond lui `a une position d’´equilibre instable.
3. Supposons par exemple que E0ait une valeur comprise entre le premier minimum et le
maximum. La particule venant de l’infini `a droite avec initialement une ´energie totale
purement cin´etique verra dans un premier temps son ´energie cin´etique augmenter (elle
est acc´el´er´ee) jusqu’au niveau du second minimum puis elle est frein´ee jusqu’`a ce que
son ´energie soit enti`erement convertie sous forme d’´energie potentielle en un point R0, sa
vitesse s’annulant, elle repart alors vers la droite. Elle ne peut atteindre la r´egion r<R
0.
27
2.2 Saut `a la perche - saut en hauteur
Expliquer la technique du saut `a la perche et quel lien peut-on ´etablir entre les diff´erentes formes
d’´energie qui entrent en jeu. Sauriez vous estimer la hauteur maximale que l’on peut esp´erer
atteindre ? Pourquoi un sauteur en hauteur ne cherche-til pas `a avoir une vitesse maximale
avant de sauter ? Par comparaison quelle hauteur maximale pensez-vous qu’il puisse atteindre ?
Corrig´e
Le sauteur courre le plus vite possible, bloque sa perche sur le sol. Celle-ci va r´ecup´erer
l’´energie cin´etique en se d´eformant, transformant l’´energie cin´etique en ´energie potentielle : en
se d´eformant, la perche se plie dans un premier temps et (si elle ne casse pas !) va se d´etendre
dans un deuxi`eme temps en ´elevant le centre de gravit´e du sauteur solidaire de sa perche.
Celui-ci va alors accomplir un mouvement de rotation pour ´elever son centre de gravit´e. Il va
alors passer la barre en l’enroulant de sorte que son centre de gravit´e reste toujours un peu en
dessous de celle-ci afin d’atteindre une hauteur maximale. ` A cet instant son ´energie cin´etique
est quasi-nulle mais son ´energie potentielle est maximale .... d’o`u la n´ecessit´e d’amortir la chute.
Estimons les ordres de grandeur en jeu. Il doit courir vite : admettons qu’il atteigne la c´el´erit´e
de 10 m/s, S’il est capable de transformer toute son ´energie cin´etique en ´energie potentielle, il
atteint une hauteur telle que
mgh=1
2mv
2⇒h=!v2
2g≈5m.
Mais son centre de gravit´e (au d´epart) est d´ej`a `a un peu plus d’un m`etre du sol et comme il se
d´ebrouille pour avoir son centre de gravit´e au moment o`u il passe la barre (grˆace `a la d´eformation
de son corps) quelques centim`etres en dessous de la barre, on voit que l’on atteint une hauteur
de l’ordre de 6.3`a6.5 m, ce qui est effectivement un peu au-dessus du record du monde actuel
de 6.14 m depuis un bon nombre d’ann´ees (Bubka, 1994). Les ordres de grandeur sont donc bien
raisonnables d’autant que le sauteur, encombr´e de sa perche, n’atteint pas vraiment la c´el´erit´e
de 10 m/s mais probablement plutˆot 9.5 m/s ; on pourrait sans doute progresser en am´eliorant
les perches pour limiter les pertes d’´energie dans la phase de d´eformation et am´eliorer encore le
style pour abaisser encore plus le centre de gravit´e au moment du franchissement de la barre.
Un sauteur en hauteur a une technique tr`es diff´erente. Il court beaucoup moins vite car s’il
allait trop vite il ne pourrait s’arrˆeter brutalement sauf `a risquer quelques ennuis osseux et
ligamentaires. Il a donc une c´el´erit´e tr`es mesur´ee de l’ordre de 3 `a 5 m/s, ce qui lui autorise
une ´el´evation h=v2/2gde 0.6 `a 1 m pour convertir au mieux son ´energie cin´etique en ´energie
potentielle. Les sauteurs en hauteur sont en g´en´eral assez grands et leur centre de gravit´e est
`a une hauteur de l’ordre de 1.2 m. De plus ils utilisent leur d´etente dont on sait qu’elle permet
de sauter de l’ordre de 40 `a 50 cm. Ainsi globalement on doit s’attendre `a une hauteur de
franchissement de l’ordre de 2.20 `a 2.70, d’autant que la technique, ici aussi, consiste `a essayer
de garder son centre de gravit´e la plus bas possible (d’o`u la technique du Fosbury flop). Le
record du monde f´eminin est actuellement de 2.09 m (Kostadinova, 1987) et le record masculin
de 2.45 m (Sotomayor, 1993).
2.3 Pendule balistique
Un projectile de masse met de c´el´erit´e horizontale V0est lanc´e contre un sac plein de sable de
masse Mformant la partie inf´erieure d’un syst`eme mobile autour d’un axe horizontal O.Le
projectile s’immobilise dans le sable, l’ensemble d´emarrant avec la vitesse −→v.
28

M
m
−→
V0
O
M+m−→v
Figure 13: .
1. D´eterminer −→v.
2. On veut d´eterminer la hauteur h`a laquelle s’´el`eve ce pendule. Calculer la variation
d’´energie potentielle correspondante. Calculer ensuite la variation d’´energie cin´etique
correspondante et en d´eduire h
Corrig´e
1. Le choc est un choc in´elastique. Avant le choc la quantit´e de mouvement horizontale est
mV et imm´ediatement apr`es la collision elle est toujours horizontale et vaut (m+M)v
de telle sorte que
mV
0=(m+M)vsoit v=m
m+MV0
On notera, le choc ´etant totalement in´elastique, que l’´energie cin´etique n’est pas con-
serv´ee : l’´energie cin´etique initiale mV2
0/2 devient (m/(m+M)mV2 0/2, la diff´erence
correspond `a ce qui est dissip´e sous forme de d´eformation, chaleur, ... lors du choc.
2. On a donc un pendule simple de masse M+m, initialement vertical avec la vitesse initiale
horizontale Vque l’on vient de d´eterminer. La hauteur maximale qu’il peut atteindre
l’est quand sa vitesse s’annule, la variation d’´energie cin´etique est alors
∆Ec=Ecf −Eci =0−Eci =−1
2(m+M)v2=−1 2
m2
m+MV2
0
L’ensemble du syst`eme ´etant isol´e, l’´energie totale est conserv´ee et la variation d’´energie
cin´etique est l’oppos´ee de la variation d’´energie potentielle
∆ET=∆Ec+∆Ep= 0 soit ∆Ep=1
2
m2
m+MV2
0
Comme l’´energie potentielle est li´ee `a la force de gravitation, la variation d’´energie po-
tentielle entre la position basse initiale x0et la hauteur atteinte x0+hest simplement
∆Ep=mgh. On en d´eduit h
h=m
m+M
V2
0
2g.
29
2.4 Extrait du partiel du 14 mars 1998
Un cerceau de rayon Ret de centre O, tourne avec une vitesse angulaire −→Ωconstante autour
d’un axe vertical ∆passant par un diam`etre (cf. figure 14). Une perle, assimil´ee `a un point
mat´eriel Mde masse m, est libre de se d´eplacer sans frottement le long du cerceau. Sa position
est rep´er´ee par l’angle θ(que fait le segment OM avec la verticale) ou par h(son altitude
rep´er´ee par rapport au point le plus bas du cerceau.) On distingue deux r´ef´erentiels : R, centr´e
en O, li´e `a la Terre et que l’on supposera d’inertie et R!, li´e au cerceau centr´e en O!confondu
avec O.
−→
Ω
∆
O
H
h
Mˆer
ˆeθ
θ
Figure 14: .
L’´energie potentielle de pesanteur de la perle est donn´ee par l’expression suivante :
Ep(θ)=mgR"1−cos θ−1
2#Ω Ωc$2sin2θ%.
1. Pour repr´esenter graphiquement cette ´energie potentielle dans les deux cas suivants Ω1=
Ωc/√2 et Ω2=√2Ωcet pour tout le domaine de variation de θ(−π<θ<π), on cherchera
les extrema de la fonction Ep(θ) et on calculera les valeurs de Ep(θ) pour quelques valeurs
simples de θ(par exemple θ=0,θ=π/2;θ=π/3;θ=2π/3 ). On utilisera une ´echelle
totale sur chacun des axes d’au moins 10 cm.
2. D´eterminer les points d’´equilibre du syst`eme pour les deux valeurs Ω1et Ω2et discuter
leur stabilit´e.
3. Le syst`eme se trouvant en l’un ses points d’´equilibre stable θ=θ0pour Ω=Ω2, on ´ecarte
l´eg`erement la perle de sa position d’´equilibre : θ=θ0+#(avec #<< θ0). D´ecrire d’abord
qualitativement le mouvement de la perle (on exprimera pour cela, apr`es l’avoir justifi´ee,
la conservation de son ´energie m´ecanique) puis ´etablir l’´equation diff´erentielle qui le r´egit.
Caract´eriser sa nature en indiquant sa pulsation propre. On rappelle le d´eveloppement
limit´e suivant :
cos(θ0+#) = cos θ0−#sin θ0−#2
2cos θ0+O(#3).
30

Corrig´e
Voir ”A simple mechanical model exhibiting a spontaneous symmetry breaking” par Jean
Sivardi`ere dans Am. J. Phys. 51, 1016 (1983) et ”Dynamical stability and potential energy”
par Leon Blitzer, ibid. 50,431(1982).
Il n’y a aucun myst`ere derri`ere cette expression de l’´energie potentielle dont l’origine est choisie
au bas du cerceau en θ=0.Elleesteneffet la somme de l’´energie potentielle de gravitation
(mgR[1 −cos θ]) et de l’´energie potentielle associ´ee `a la pseudo-force d’entraˆınement, li´ee
`a la rotation du cerceau autour de l’axe vertical ∆qui est proportionnelle `a −mΩ2−−→ HM2o`u
HM =Rsin θ.
Ep(θ)=mgR"1−cos θ−1
2#Ω Ωc$2sin2θ%.
1. On a
Ω1=Ωc
√2⇒Ep,1(θ)=mgR"1−cos θ−1
4sin2θ%,
et
Ω2=√2Ωc⇒Ep,2(θ)=mgR"1−cos θ−sin2θ%.
Figure 15: ´ Energies potentielles Ep1et Ep2pour Ω1=Ωc/√2 et Ω2=√2Ωcrespectivement.
Quelques valeurs (en remarquant que les fonctions Ep,1(θ) et Ep,2(θ) sont paires ; il suffit
31
donc de s’int´eresser `a l’intervalle 0 ≤θ≤π):
θ=0 Ep,1=0.00 Ep,2=0.00
θ=π/4Ep,1=0.17 Ep,2=−0.21
θ=π/3Ep,1=0.32 Ep,2=−0.25
θ=π/2Ep,1=0.75 Ep,2=0.00
θ=2π/3Ep,1=1.31 Ep,2=0.75
θ=3π/4Ep,1=1.57 Ep,2=1.45
θ=5π/6Ep,1=1.80 Ep,2=1.74
θ=2πEp,1=2.00 Ep,2=2.00
Pour obtenir la position des extrema, il faut d´eriver l’expression de l’´energie potentielle
dEp(θ)
dθ=mgR&sin θ−#Ω Ωc$2sin θcos θ'.
Les extrema se situent l`a o`u cette quantit´e s’annule, c’est `a dire
sin θ[1 −#Ω
Ωc$2cos θ]=0,
c’est `a dire θ= 0 et si cela a un sens
cos θ=#Ωc
Ω$2.
2. Ainsi pour Ω1=Ωc/√2 cette ´equation n’a pas de solutions alors que pour Ω2=√2Ωc,
les angles θ=π/3 et −π/3 en sont solution dans l’intervalle [−π,π]. Il est facile de voir
alors que
•si Ω1=Ωc/√2, il y a une seule position d’´equilibre stable θ=0,
•si Ω2=√2Ωc, les positions les angles θ=π/3 et −π/3 correspondent `a des positions
d’´equilibre stable alors que θ= 0 correspond `a une position d’´equilibre instable.
3. Soit alors θ0=π/3 point d’´equilibre stable pour Ω=Ω2et en s’´ecartant l´eg`erement de
ce point, θ=θ0+#avec #<<< θ0, la perle va avoir tendance `a revenir vers le point
d’´equilibre θ0en oscillant autour de ce point. En effet, l’´energie m´ecanique de la perle sur
le cerceau, l’ensemble ´etant isol´e, est conserv´ee. La perle, emmen´ee par le cerceau dans
sa rotation a, `a position angulaire fix´ee θ, l’´energie potentielle
Ep(θ)=mgR"1−cos θ−sin2θ%
et l’´energie m´ecanique est donc dans le r´ef´erentiel li´e cerceau ` A un instant tult´erieur
l’´energie totale est
EM=1
2m−→v2+mgR"1−cos θ−sin2θ%.
Comme elle est condtante, on obtient en d´erivant par rapport au temps :
m−→v·d−→v
dt +dEp(θ) dθ˙
θ=0
32

La perle est astreinte `a un mouvement circulaire sur le cerceau −−→ OM =Rˆeret les com-
posantes de sa vitesse et de son acc´el´eration dans le plan du cerceau se r´eduisent `a
−→v=R˙
θˆeθ
d−→v
dt =R¨
θˆeθ−R˙ θ2ˆer.
L’´equation du mouvement dans le plan du cerceau s’´ecrit finalement
mR
2¨
θ+dEp(θ)
dθ=0,
c’est `a dire
mR
2¨
θ+mgR sin θ(1 −2 cos θ)=0
ou ¨
θ+g
Rsin θ(1 −2 cos θ)=0.
On peut alors simplifier cette ´equation en utilisant le fait que θ=θ0+#et donc
sin(θ0+#) = sin θ0cos #+ cos θ0sin #
=(1−#2
2) sin θ0+#cos θ0+O(#3)
qui avec le d´eveloppement indiqu´e dans l’´enonc´e
cos(θ0+#) = cos θ0−#sin θ0−#2
2cos θ0+O(#3)
et
1−2 cos(θ0+#)=1−2 cos θ0+2#sin θ0+#2cos θ0+O(#3)
conduisent `a
sin θ(1 −2 cos θ) = sin(θ0+#)[1−2 cos(θ0+#)]
={sin θ0+#cos θ0−#2
2sin θ0}(1 −2 cos θ0)
+2 #sin2θ0+3#2sin θ0cos θ0+O(#3).
Or pour θ=±π/3, on a cos θ0=1/2, soit 1 −2 cos θ0= 0 et le d´eveloppement ci-dessus
se r´eduit `a
sin θ(1 −2 cos θ)=3
2#±3√3 4#2+O(#3).
Comme, par ailleurs, ¨ θ=¨#, l’´equation du mouvement `a l’ordre #2devient
¨#+3g
2R#+O(#2)=0,
´equation caract´eristique d’un mouvement oscillant p´eriodique, de pulsation (3g
2R,autour
d’une position d’´equilibre.
33
4. Dans le rep`ere en rotation, c’est `a dire li´e au cerceau en rotation `a la vitesse angulaire
−→Ω=Ωˆezautour de l’axe vertical ∆, l’acc´el´eration −→a!de la perle est donn´ee par la
relation
m−→a!=−→P+−→N+−→ϕe+−→ϕc
o`u −→Pest le poids de la perle, −→Nla r´eaction (normale) du cerceau, −→ϕeet −→ϕcles pseudo-
forces d’entraˆınement et de Coriolis,
−→ϕe=−m−→Ω∧(−→Ω∧−→r!),
et −→ϕc=−2m(−→Ω∧−→v!).
Comme −→r!=−−→ OM =Rˆeret que l’on peut exprimer ˆezen fonction des vecteurs unitaires
ˆeret ˆeθselon la relation
ˆez=−cos θˆer+ sin θˆeθ,
−→Ω∧−→r!=ΩRˆez∧ˆer=ΩRsin θˆeθ∧ˆer
et
−→Ω∧(−→Ω∧−→r!)=Ω2Rsin θ{−cos θˆer∧(ˆeθ∧ˆer) + sin θˆeθ∧(ˆeθ∧ˆer)}
=−Ω2Rsin θ{cos θˆeθ+ sin θˆer}=−Ω2sin θ−−→ HM.
Par ailleurs, comme −→v!=R˙ θˆeθ,
−→Ω∧−→v!=ΩR˙
θ(ˆez∧ˆeθ)
et se situe dans dans le plan orthogonal `a ˆeret ˆeθ. La pseudo-force de Coriolis associ´ee `a
cette acc´el´eration est strictement compens´ee par une r´eaction du cerceau sur la perle .
La pseudo-force d’entraˆınement s’´ecrit
−→ϕe=mΩ2sin θ−−→
HM
et dans le plan (ˆer,ˆeθ), l’´equation du mouvement s’´ecrit
m(R¨ θˆeθ−R˙ θ2ˆer)=mg(cos θˆer−sin θˆeθ)−Nˆer+mΩ2Rsin θ{cos θˆeθ+sin θˆer}=0.
−mR ˙ θ2=mg cos θ−N+mΩ2Rsin2θ
mR¨ θ=−mg sin θ+mΩ2Rsin θcos θ
Cette deuxi`eme ´equation se r´ecrit
¨
θ+ω2sin θ)1−#Ω
ω$2cos θ*,
avec ω2=g/R. Elle permet de d´eterminer le mouvement, la premi`ere ´equation donnera
ensuite l’expression de la composante radiale de la r´eaction du cerceau sur la perle.
On reconnaˆıt ´evidemment l’´equation que nous avons utilis´ee et on retrouve l’expression
de l’´energie potentielle. Puisque −→F=–
−→∇Ep, cela implique dans le plan (ˆer,ˆeθ)
34

Fr=−∂Ep
∂ret Fθ=−1 r
∂Ep
∂θ ,
soit donc
−mg sin θ+mΩ2Rsin θcos θ=−1
R
∂Ep
∂θ .
En int´egrant
Ep=mgR
)−cos θ−1
2#Ω ω$2sin2θ+ constante*.
La constante est fix´ee de telle sorte que l’´energie potentielle est nulle pour θ= 0 ; elle
vaut alors 1 ce qui redonne bien l’expression de d´epart.
35