PHY242_mars2010_PQ

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Université Joseph Fourier
Phy242 : Physique quantique
Contrôle continu
durée : 1h
mars 2010
Sans documents, calculatrice autorisée.
On donne : constante de Planck h = 6.6 × 10−34 Js ; ~c = 197 eV.nm
masse d’un électron me = 9 × 10−31 kg ; me c2 = 0.511 MeV
charge de l’électron −e = −1.6 × 10−19 C ; vitesse de la lumière c = 3 × 108 m/s.
constante de Boltzmann k = 1.38 × 10−23 J/K
Pour toutes les questions où vous est demandée une application numérique,
donner le résultat sous forme de formule littérale auparavant.
1
Questions et Applications directes du cours.
(environ 50% des points)
1.1
Modèles atomiques
a) Par quel type d’expérience Rutherford a conclu que le modèle de Thomson ne pouvait être
correct?
b) Quelles contradictions avec la physique classique et quelles observations expérimentales ont
amené Bohr à modifier le modèle de Rutherford?
c) Expliquer qualitativement et de façon succincte (en deux ou trois phrases) le modèle de Bohr.
1.2
Effet photoélectrique
Vrai ou faux ? Justifiez votre réponse !
L’énergie cinétique d’un électron éjecté d’une cathode d’argent (travail d’extraction 4.7 eV) par
un flux de lumière de longueur d’onde λ = 150 nm vaut 2.4 eV.
1.3
Corps noir
Vrai ou faux ? Justifiez votre réponse !
Quand on chauffe un corps noir de 0◦ C à 100◦ C, l’énergie émise par unité de volume augmente
d’un facteur d’environ 3.5.
1.4
Loi de Bragg
Expliquer les conditions de la loi de Bragg en vous appuyant sur un schéma pour la diffraction
de la lumière par un cristal.
t.s.v.p.
1
1.5
Energie de liaison d’une molécule
La liaison entre deux (ou plusieurs) atomes en une molécule est un phénomène quantique de
nature électronique. Calculer l’ordre de grandeur de l’énergie de liaison d’une molécule de Cl2
sachant que la distance interatomique vaut 2 Å.
1.6
Liquide quantique
Un liquide est dit quantique quand des effets quantiques ont une influence notable sur le mouvement de ses atomes. Ceci est par exemple le cas quand la longueur d’onde associée de De
Broglie des atomes devient plus grande que la distance interatomique moyenne dans le liquide.
a) Donner la longueur d’onde associée selon De Broglie pour une particule de quantité de mouvement p.
b) Exprimer p en fonction de l’énergie cinétique (non relativiste).
c) Pour un liquide à la température T , l’énergie cinétique des atomes est comparable à l’énergie
thermique kT . Calculer alors la longueur d’onde de De Broglie pour l’hélium à la température
TSF = 2.18 K (transition superfluide) et comparer à la distance interatomique moyenne
a = 360 pm. On donne la masse d’un atome d’hélium m = 6.7 × 10−27 kg.
Conclure.
2
Marche de potentiel
(environ 50% des points)
On considère une particule se déplaçant selon l’axe x et arrivant de x < 0 sur une marche
de potentiel. La marche est décrite par le potentiel suivant :
V (x) = 0 si x < 0
;
V (x) = V0 > 0 sinon.
La particule a une masse m et, dans la région x < 0, une énergie cinétique Ec < V0 . L’équation
de Schrödinger à une dimension et indépendante du temps s’écrit :
−
~2 d2 ψ(x)
+ V (x)ψ(x) = Eψ(x),
2m dx2
avec E l’énergie totale de la particule.
1. Quelle est la signification physique de la fonction |ψ(x)|2 ?
2. La solution générale de l’équation de Schrödinger pour x < 0 est
ψ1 (x) = A1 eik1 x + B1 e−ik1 x .
Déterminer l’expression de k1 .
3. Ecrire l’équation de Schrödinger pour x > 0. Quelle est la solution générale ψ2 dans cette
région?
4. Simplifier cette solution en utilisant la condition limite pour x → ∞. Utiliser B2 pour
désigner la constante d’intégration dans l’expression simplifiée de ψ2 .
2
5. Quelles conditions de continuité doit respecter la fonction d’onde ψ(x)?
Dessiner |ψ(x)|2 pour x < 0 et x > 0 en respectant ces conditions. Interpréter le comportement dans les deux régions d’espace.
6. Démontrer que les conditions de continuité donnent le système d’équations suivant :
A1 + B1 = B2
ik1 (A1 − B1 ) = −k2 B2
Calculer B1 et B2 en choisissant A1 = 1 (on fixe le flux de particules incident).
¯ ¯2
¯ 1¯
2
7. Le coefficient de réflexion est défini par R = ¯ B
A1 ¯ = |B1 | . C’est la probabilité pour une
particule d’être réfléchie par la marche. Calculer R et interpréter le résultat.
Question Bonus:
8. Calculer |ψ(0)|2 en fonction de E et V0 et discuter le cas limite d’une marche d’une hauteur
infinie.
Remarque : si vous n’avez pas pu répondre aux questions 3 à 5, vous pouvez malgré tout traiter
les questions 6 et 7 en partant du système d’équations donné.
3
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