PHY242_mars2010_PQ

Universit´e Joseph Fourier Phy242 : Physique quantique
Contrˆole continu
dur´ee : 1h mars 2010
Sans documents, calculatrice autoris´ee.
On donne : constante de Planck h= 6.6×10−34 Js ; ~c= 197 eV.nm
masse d’un ´electron me= 9 ×10−31 kg ; mec2= 0.511 MeV
charge de l’´electron −e=−1.6×10−19 C ; vitesse de la lumi`ere c= 3 ×108m/s.
constante de Boltzmann k= 1.38 ×10−23 J/K
Pour toutes les questions o`u vous est demand´ee une application num´erique,
donner le r´esultat sous forme de formule litt´erale auparavant.
1 Questions et Applications directes du cours.
(environ 50% des points)
1.1 Mod`eles atomiques
a) Par quel type d’exp´erience Rutherford a conclu que le mod`ele de Thomson ne pouvait ˆetre
correct?
b) Quelles contradictions avec la physique classique et quelles observations exp´erimentales ont
amen´e Bohr `a modifier le mod`ele de Rutherford?
c) Expliquer qualitativement et de fa¸con succincte (en deux ou trois phrases) le mod`ele de Bohr.
1.2 Effet photo´electrique
Vrai ou faux ? Justifiez votre r´eponse !
L’´energie cin´etique d’un ´electron ´eject´e d’une cathode d’argent (travail d’extraction 4.7 eV) par
un flux de lumi`ere de longueur d’onde λ= 150 nm vaut 2.4 eV.
1.3 Corps noir
Vrai ou faux ? Justifiez votre r´eponse !
Quand on chauffe un corps noir de 0◦C `a 100◦C, l’´energie ´emise par unit´e de volume augmente
d’un facteur d’environ 3.5.
1.4 Loi de Bragg
Expliquer les conditions de la loi de Bragg en vous appuyant sur un sch´ema pour la diffraction
de la lumi`ere par un cristal.
t.s.v.p.
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1.5 Energie de liaison d’une mol´ecule
La liaison entre deux (ou plusieurs) atomes en une mol´ecule est un ph´enom`ene quantique de
nature ´electronique. Calculer l’ordre de grandeur de l’´energie de liaison d’une mol´ecule de Cl2
sachant que la distance interatomique vaut 2 ˚ A.
1.6 Liquide quantique
Un liquide est dit quantique quand des effets quantiques ont une influence notable sur le mou-
vement de ses atomes. Ceci est par exemple le cas quand la longueur d’onde associ´ee de De
Broglie des atomes devient plus grande que la distance interatomique moyenne dans le liquide.
a) Donner la longueur d’onde associ´ee selon De Broglie pour une particule de quantit´e de mou-
vement p.
b) Exprimer pen fonction de l’´energie cin´etique (non relativiste).
c) Pour un liquide `a la temp´erature T, l’´energie cin´etique des atomes est comparable `a l’´energie
thermique kT . Calculer alors la longueur d’onde de De Broglie pour l’h´elium `a la temp´erature
TSF = 2.18 K (transition superfluide) et comparer `a la distance interatomique moyenne
a= 360 pm. On donne la masse d’un atome d’h´elium m= 6.7×10−27 kg.
Conclure.
2 Marche de potentiel
(environ 50% des points)
On consid`ere une particule se d´epla¸cant selon l’axe xet arrivant de x < 0 sur une marche
de potentiel. La marche est d´ecrite par le potentiel suivant :
V(x) = 0 si x < 0 ; V(x) = V0>0sinon.
La particule a une masse met, dans la r´egion x < 0, une ´energie cin´etique Ec< V0. L’´equation
de Schr¨odinger `a une dimension et ind´ependante du temps s’´ecrit :
−~2
2m
d2ψ(x)
dx2+V(x)ψ(x) = Eψ(x),
avec El’´energie totale de la particule.
1. Quelle est la signification physique de la fonction |ψ(x)|2?
2. La solution g´en´erale de l’´equation de Schr¨odinger pour x < 0 est
ψ1(x) = A1eik1x+B1e−ik1x.
D´eterminer l’expression de k1.
3. Ecrire l’´equation de Schr¨odinger pour x > 0. Quelle est la solution g´en´erale ψ2dans cette
r´egion?
4. Simplifier cette solution en utilisant la condition limite pour x→ ∞. Utiliser B2pour
d´esigner la constante d’int´egration dans l’expression simplifi´ee de ψ2.
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5. Quelles conditions de continuit´e doit respecter la fonction d’onde ψ(x)?
Dessiner |ψ(x)|2pour x < 0 et x > 0 en respectant ces conditions. Interpr´eter le com-
portement dans les deux r´egions d’espace.
6. D´emontrer que les conditions de continuit´e donnent le syst`eme d’´equations suivant :
A1+B1=B2
ik1(A1−B1) = −k2B2
Calculer B1et B2en choisissant A1= 1 (on fixe le flux de particules incident).
7. Le coefficient de r´eflexion est d´efini par R=¯
¯
¯
B1
A1
¯
¯
¯
2
=|B1|2. C’est la probabilit´e pour une
particule d’ˆetre r´efl´echie par la marche. Calculer R et interpr´eter le r´esultat.
Question Bonus:
8. Calculer |ψ(0)|2en fonction de Eet V0et discuter le cas limite d’une marche d’une hauteur
infinie.
Remarque : si vous n’avez pas pu r´epondre aux questions 3 `a 5, vous pouvez malgr´e tout traiter
les questions 6 et 7 en partant du syst`eme d’´equations donn´e.
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