Mécanique: TD 5 - correction

Universit´e Fran¸cois Rabelais
D´epartement de Physique
Ann´ee 2008/2009
L2 SM
M´ecanique:
TD 5 - correction
1. La conservation de la quantit´e de mouvement totale s’´ecrit:
M~ Vinitiale = (M−m)~ Vfinale +m~v. (0.1)
Si ~v et ~ Vinitiale ont mˆeme direction, cela donne
Vfinale =M
M−mVinitiale −m M−mv; (0.2)
sinon il faut faire la somme vectorielle.
2. •La position du centre de masse est donn´ee par
(m1+m2)~ OG =m1~r1+m2~r2(0.3)
et la vitesse ~vG/Rpar
(m1+m2)~vG/R=m1~v1+m2~v2(0.4)
soit
~vG/R=4
102
~
i+6
103~
j=4
5~
i+9
5~
j. (0.5)
•Dans le r´ef´erentiel barycentrique RGla vitesse de 1 est
~v1/RG=~v1−~vG/R=6
5~
i−9
5~
j(0.6)
et celle de 2 par
~v2/RG=~v2−~vG/R=−4
5~
i+6
5~
j. (0.7)
Ainsi on a
TS/RG=1
2m1(~v1/RG)2+1 2m2(~v2/RG)2=1 2436 25 + 481 25 + 616 25 + 636 25=78 5.(0.8)
•L’´energie cin´etique du centre de masse est donn´ee par
TG/R=1
2(m1+m2)(~vG/R)2= 5(16 25 +81 25) = 97 5.(0.9)

•L’´energie cin´etique du syst`eme dans Rest donn´ee par
TS/R=1
2m1(~v1)2+1 2m2(~v2)2=1 2(4 ×22+ 6 ×32) = 35.(0.10)
•Le moment cin´etique du syst`eme par rapport `a Odans le r´ef´erentiel Rest
~
J(S/R)O=~r1(t)∧m1~v1+~r2(t)∧v2
= 4 (1 + 2t)
~
i+~ j∧(2
~
i) + 6 2
~
i+ (1
2+ 3t)~
j∧(3~ j)
= (−8 + 36)~ k
= 28~ k. (0.11)
Ce moment cin´etique est conserv´e.
3. Projectile dans un bloc de bois.
•Avant le choc, le projectile de masse ma une quantit´e de mouvement pp=mv0et
le bloc de bois, immobile, a une quantit´e de mouvement pb= 0. La quantit´e de
mouvement est conserv´ee au cours du choc parce que le mouvement du projectile est
orthogonal au fil qui maintient le bloc de bois, la tension du fil n’interf`ere donc pas
avec la dynamique du choc. Juste apr`es le choc, la quantit´e de mouvement totale
est donn´ee par
pT= (m+M)v, (0.12)
o`u vest la vitesse de l’ensemble consitu´e par le projectile et le bloc de bois. Cette
quantit´e est par ailleurs ´egale `a la quantit´e de mouvement totale avant le choc, c’est
`a dire
(m+M)v=mv0,(0.13)
ce qui implique que
v=m
m+Mv0.(0.14)
•Juste apr`es le choc, le projectile et le bloc de bois forment un objet unique suspendu
`a un fil et poss´edant une vitesse initiale v. On est donc amen´e `a traiter le probl`eme
d’un pendule avec vitesse initiale. Au cours du mouvement d’un pendule, l’´energie
m´ecanique est conserv´ee. Juste apr´es le choc, cette ´energie m´ecanique est simplement
l’´energie cin´etique de l’ensemble projectile plus bloc de bois, soit
Em=1
2(m+M)v2.(0.15)
A cause de cette ´energie cin´etique d´evi´ee par le fil inextensible, l’ensemble projectile
plus bloc de bois prend de la hauteur et s’arrˆete finalement `a une certaine hauteur
h. Comme sa vitesse est alors nulle, l’´energie m´ecanique est alors simplement sous
forme d’´energie potentielle, soit
Ep= (m+M)gh. (0.16)

Par conservation de l’´energie m´ecanique on a donc
(m+M)gh =1
2(m+M)v2,(0.17)
soit encore, d’apr`es (0.14),
(m+M)gh =1
2(m+M)m m+Mv02
,(0.18)
donc
h=m2v2
0
2g(m+M)2.(0.19)
4. •Disons que la particule incidente s’appelle A, et poss`ede une vitesse ~v =v~exavant le
choc. Apr`es le choc, sa vitesse est devenue ~w =wcos θ~ex+wsin θ~ey, alors que l’autre
particule, disons B, a aquis une vitesse de mˆeme module ~w′=wcos φ~ex+wsin φ~ey.
Par conservation de la quanti´e de mouvement selon ~exon a
mv =mw cos θ+mw cos φ, (0.20)
et de mˆeme selon ~ey
0 = mw sin θ+mw sin φ. (0.21)
On peut r´esoudre ce syst`eme de deux ´equations `a deux inconnues wet φ. La seconde
nous dit que φ=−θou bien que φ=θ+π. Mais cette deuxi`eme possibilit´e donnerait
v= 0 dans la premi`ere ´equation. On retient donc plutˆot φ=−θ. La premi`ere
´equation dit alors que
v= 2wcos θ. (0.22)
•L’´energie cin´etique avant le choc est
Ec(av) = 1
2mv2(0.23)
alors qu’apr`es le choc elle est de
Ec(ap) = 1
2mw2=1 8(cos θ)2mv2.(0.24)
On voit que l’´energie cin´etique n’est pas conserv´ee, sauf si cos θ= 1, c’est `a dire si
θ= 0.
On peut conclure qu’en g´en´eral le module de la vitesse ne se distribue pas de fa¸con
identique entre les deux particules si l’une d’entres elles est initialement au repos et
si le choc est ´elastique.