M´ ECANIQUE Jean-Pierre GAZEAU Notes de cours : les 8 premiers chapitres

MÉCANIQUE
Université Paris Diderot L1 : ME2A
Jean-Pierre GAZEAU
Notes de cours : les 8 premiers chapitres
2011
Avertissement : ces notes ne suivent pas obligatoirement le déroulement du cours. De plus, leur
contenu dépasse parfois le niveau requis en première année de licence.
UFR de Physique
Université Paris-Diderot – Paris 7
Bâtiment Condorcet 10, rue Alice Domon et Léonie Duquet
75205 Paris Cedex 13
courriel : [email protected]
Table des matières
1 Grandeurs, unités, mesures, étalons, erreurs & incertitudes
1
1.1
Grandeurs, unités et mesures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.2
Le Système International d’Unités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.3
Définitions des Unités de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.3.1
Unité de longueur (mètre) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.3.2
Unité de masse (kilogramme) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.3.3
Unité de temps (seconde) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.3.4
Unité de courant électrique (ampère) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
1.3.5
Unité de température thermodynamique (kelvin) . . . . . . . . . . . . . .
7
1.3.6
Unité de quantité de matière (mole) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
1.3.7
Unité d’intensité lumineuse (candela)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
1.4
Erreurs : quelques quantités statistiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
1.5
Calcul d’incertitude
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
1.6
Cinq tableaux fondamentaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
2 Vecteurs dans le plan, dans l’espace (encore en construction )
19
2.1
Scalaires et vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
2.2
Addition de vecteurs : méthodes géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
2.3
Vecteurs : méthodes analytiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
2.4
Multiplication de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
2.4.1
Produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
2.4.2
Produit vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
3 Mouvements & Cinématique
3.1
Position et trajectoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
23
ii
TABLE DES MATIÈRES
3.2
Vitesse et vecteur vitesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
3.3
Vecteur accélération . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
3.4
Mouvement rectiligne
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
3.5
Mouvement circulaire
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
3.6
Mouvement plan avec accélération constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
4 Coordonnées curvilignes
39
4.1
Mouvement plan en coordonnées polaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
4.2
Mouvement dans l’espace en coordonnées cylindriques . . . . . . . . . . . . . . .
42
4.3
Mouvement dans l’espace en coordonnées sphériques . . . . . . . . . . . . . . . .
45
5 Dynamique de point matériel : Galilée & Newton
49
5.1
Quantité de mouvement, force et lois de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49
5.2
Référentiels galiléens et transformations galiléennes . . . . . . . . . . . . . . . . .
53
5.3
Repères non galiléens et forces d’inertie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
56
6 Forces de frottements
63
6.1
Frottements à sec . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
63
6.2
Frottements visqueux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
65
7 Quantité de mouvement et sa conservation
67
7.1
Systèmes matériels, quantité de mouvement et centre de masse . . . . . . . . . .
67
7.2
Mouvement du centre de masse et deuxième loi de Newton
. . . . . . . . . . . .
69
7.3
La quantité de mouvement est conservée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
69
7.4
Systèmes à masse variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
70
7.4.1
70
Systèmes à masse variable : l’équation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8 L’énergie et sa conservation
8.1
73
Travail d’une force et théorème de l’énergie cinétique. Puissance . . . . . . . . . .
73
8.1.1
Travail . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
73
8.1.2
Théorème de l’énergie cinétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
75
8.1.3
Puissance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
75
8.2
Forces conservatives et énergie potentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
76
8.3
L’énergie mécanique et sa conservation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
81
TABLE DES MATIÈRES
iii
8.4
Le pendule simple comme exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
83
8.5
L’énergie est conservée ! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
85
iv
TABLE DES MATIÈRES
Chapitre 1
Grandeurs, unités, mesures, étalons,
erreurs & incertitudes
Université Paris Diderot, Paris 7 Notes de cours de JP Gazeau, 2011
1.1
Grandeurs, unités et mesures
Les lois de la physique s’expriment en terme de grandeur physique ou de quantité physique
ou simplement de grandeur.
Définition 1.1.1 (Grandeur) Une grandeur est l’attribut d’un phénomène ou d’un corps qui
est susceptible d’être distingué qualitativement et déterminé quantitativement.
Par exemple, la longueur, la température, la masse, le temps, la vitesse, la force, la puissance,
l’énergie, l’intensité lumineuse, la charge électrique, la densité, la pression, la résistivité ... sont
de grandeurs. Le symbole d’une grandeur est écrit en italique.
La valeur d’une grandeur est généralement exprimée sous la forme du produit d’un nombre
par une unité.
Définition 1.1.2 (Unité) Une unité est, dans une catégorie de grandeurs, une grandeur particulière choisie comme référence.
Le symbole d’une unité est écrit en caractère normal droit.
L’unité n’est donc qu’un exemple particulier de la grandeur concernée, utilisé comme référence.
Le nombre est le rapport entre la valeur de la grandeur en question et l’unité. Pour une grandeur
particulière, on peut utiliser de nombreuses unités différentes. Par exemple, la vitesse v d’une
particule peut être exprimée sous la forme v = 25 m/s = 90 km/h, les unités mètre par seconde
et kilomètre par heure étant des unités alternatives pour exprimer la même valeur de la grandeur
“vitesse”.
2
1. Grandeurs, unités, mesures, étalons, erreurs & incertitudes
Définition 1.1.3 (Mesure et loi physique) Mesurer est comparer un objet avec la quantité admise conventionnellement comme unité. Une loi physique s’exprime par une relation
(algébrique, fonctionnelle ...) entre un certain nombre de grandeurs mesurables.
Mesurer une grandeur est donc définir combien de fois elle contient la grandeur choisie
comme unité. On utilise aussi le terme de mesurage pour désigner l’ensemble des opérations
mises en oeuvre pour déterminer la valeur d’une grandeur.
Ainsi, nous disons que nous avons défini une quantité physique, la masse d’un objet par
exemple, lorsque nous savons la mesurer et lui assigner une unité, le kilogramme par exemple.
Mais notre définition doit être
1. utile,
2. pratique
3. et acceptée par une communauté jugée suffisamment importante de scientifiques, d’ingénieurs,
d’artisans, de commerçants, ... (dans un ordre plus ou moins inverse de celui du déroulement
historique !)
Une unité est matérialisée par un étalon (ou standard en anglais).
Il est évidemment inutile d’assigner une unité à toute grandeur. Il suffit d’en assigner une
pour chacune choisie dans un ensemble de grandeurs de base à partir desquelles on dérive les
autres grandeurs physiques.
Se posent naturellement alors les questions suivantes :
1. Combien de grandeurs de base faut-il sélectionner ?
Réponse : le plus petit nombre possible !
2. Quelles grandeurs sélectionner ?
Réponse : beaucoup de choix sont possibles, qui dépendent du domaine considéré en physique, de l’accès ou de la manipulation des objets correspondants.
3. À quelle instance est dévolue la tâche de sélection ?
Réponse : Le Bureau International des Poids et Mesures (BIPM), qui a pour mission
d’assurer l’uniformité mondiale des mesures et leur traçabilité au Système international
d’unités (SI). Il est installé à Sèvres, au Pavillon de Breteuil et jouit du statut d’extraterritorialité.
Il travaille sous l’autorité de la Convention du Mètre, qui est un traité diplomatique conclu
entre cinquante et une nations. Il exerce son activité avec l’aide d’un certain nombre de
Comités consultatifs, dont les membres sont des laboratoires nationaux de métrologie des
États membres de la Convention du Mètre, et par son travail de laboratoire.
Le BIPM effectue des recherches liées à la métrologie. Il organise ou participe à des comparaisons internationales d’étalons nationaux de mesure et effectue des étalonnages pour
les États membres.
Une fois qu’a été établie une unité de base, comme celle pour la longueur, il est évidemment
nécessaire d’établir des procédures ou protocoles qui nous permettent de mesurer la longueur
d’un objet quelconque par comparaison (souvent d’une façon très indirecte) à celle de l’étalon.
Ainsi, ce dernier doit satisfaire à des conditions évidentes.
3
1.2. Le Système International d’Unités
1. Un étalon doit être accessible ; cela oblige à créer des étalons secondaires ou tertiaires, etc,
qui soient plus accessibles.
2. Un étalon doit être invariable, temporellement, spatialement, ou tout au moins, si variations il y a, celles-ci doivent être définies avec précision en fonction de l’environnement
(pression, température, humidité, etc.)
1.2
Le Système International d’Unités
Il est donné par le tableau ci-dessous.
Grandeur de base
Nom
longueur
masse
temps, durée
courant électrique
température thermodynamique
quantité de matière
intensité lumineuse
Symbole
l, x, r, etc.
m
t
I, i
T
n
Iv
Unité SI de base
Nom
Symbole
mètre
m
kilogramme
kg
seconde
s
ampère
A
kelvin
K
mole
mol
candela
cd
Notation dimensionnelle
Symbole
L
M
T
I
Θ
N
J
Table 1.1 – Le Système International d’Unités, composé de 7 grandeurs de base.
Les grandeurs dérivées se construisent par des produits ou divisions de grandeurs de base.
Par exemple, une vitesse exprime un rapport de variation de longueur parcourue à durée cor∆l
respondante : v ∼
. Une accélération exprime un rapport de variation de vitesse à durée
∆t
∆v
correspondante : a ∼
. La notation dimensionnelle d’une grandeur dérivée est obtenue en
∆t
remplaçant chacune des grandeurs de base composant son expression mathématique par sa notation dimensionnelle, donnée à droite de la table 1.1, élevée à la puissance positive (resp. négative)
égale au nombre de fois qu’elle apparaı̂t au numérateur (resp. dénominateur) :
v ≡ LT−1 ,
a ≡ LT−2 .
(1.1)
Ainsi, les symboles des dimensions et les exposants sont traités selon les règles ordinaires
de l’algèbre. Cette notation dimensionnelle s’ajuste exactement à l’unité des vitesses et des
accélérations : v est exprimée en m s−1 (ou en cm h−1 selon le bon vouloir de l’utilisateur !), a
est exprimée en m s−2 . Des noms particuliers sont accordées à certaines des grandeurs dérivées
essentielles. Par exemple, une force, qui est le produit d’une masse par une accélération (c’est
le contenu de la deuxième loi de Newton), s’exprime précisément en Newton(s) dans le système
SI :
F ∼ m × a ≡ MLT−2 ,
1kg m s−2 = 1N .
(1.2)
Donc, la dimension d’une grandeur Q s’écrit sous la forme d’un produit dimensionnel,
dim Q = Lα Mβ Tγ Iδ Θ Nζ Jη ,
(1.3)
4
1. Grandeurs, unités, mesures, étalons, erreurs & incertitudes
et une grandeur pour laquelle toutes les puissances α, β, . . . sont nulles est dite sans dimension
ou de “dimension un”.
Les unités adoptées pour les grandeurs de base, sont, dans une certaine mesure, adaptées à
l’échelle humaine. Pour des quantités physiques à valeurs petites ou très petites ou grandes ou
très grandes, on utilise les préfixes donnés dans la table 1.2
Facteur
101
102
103
106
109
1012
1015
1018
1021
1024
Nom
déca
hecto
kilo
méga
giga
téra
péta
exa
zetta
yotta
Symbole
da
h
k
M
G
T
P
E
Z
Y
Facteur
10−1
10−2
10−3
10−6
10−9
10−12
10−15
10−18
10−21
10−24
Nom
déci
centi
milli
micro
nano
pico
femto
atto
zepto
yocto
Symbole
d
c
m
µ
n
p
f
a
z
y
Table 1.2 – Les préfixes du système SI.
1.3
1.3.1
Définitions des Unités de base
Unité de longueur (mètre)
Historiquement, le mètre fut défini comme le dix millionième (10−7 ) de la distance du pôle
nord à l’équateur le long du méridien passant par Paris. Le premier étalon de longueur 1 m fut
confectionné en 1799 sous la forme d’une barre de platine.
Cette définition du mètre 1 fondée par la suite sur le prototype international constitué d’un
alliage platine-iridium (plus exactement en platine iridié) 2 , conservé au BIPM et maintenu
à la température de 0◦ Celsius, en vigueur depuis 1889, avait été remplacée en 1960 par une
définition fondée sur la longueur d’onde d’une radiation du krypton 86 ( 3 ), afin d’améliorer
l’exactitude de la réalisation de la définition du mètre. Cette réalisation était effectuée au moyen
d’un interféromètre et d’un microscope mobile en translation utilisés pour mesurer la variation
des trajets optiques par comptage de franges. On a remplacé en 1983 cette définition par la
définition actuelle :
Le mètre Le mètre est la longueur du trajet parcouru dans le vide par la lumière pendant une
durée de 1/299 792 458 de seconde.
1. On notera les unités de longueur largement en usage dans les pays anglo-saxons : le foot = 30,48 cm, le
yard = 0,9144 m, le mile= 1,609344 km
2. Voir le tableau périodique des éléments donné en fin de chapitre
3. Voir le tableau périodique des éléments donné en fin de chapitre
1.3. Définitions des Unités de base
5
Il en résulte que la vitesse de la lumière dans le vide est égale à 299 792 458 mètres par
seconde exactement, c0 = 299792458 m/s.
1.3.2
Unité de masse (kilogramme)
Le prototype international du kilogramme, un objet fabriqué spécialement en platine iridié,
est conservé au BIPM 4 .
Le kilogramme Le kilogramme est l’unité de masse ; il est égal à la masse du prototype
international du kilogramme.
Il en résulte que la masse du prototype international du kilogramme est toujours égale à
1 kilogramme exactement, m (K ) = 1 kg. Cependant, en raison de l’accumulation inévitable
de polluants sur les surfaces, le prototype international subit une contamination réversible de
surface d’environ 1 µg (10−6 g) par an en masse. C’est pourquoi le Comité international a déclaré
que, jusqu’à plus ample information, la masse de référence du prototype international est celle
qui suit immédiatement le nettoyage-lavage selon une méthode spécifique (sic).
1.3.3
Unité de temps (seconde)
La seconde, unité de temps, fut définie à l’origine comme la fraction 1/86 400 du jour solaire
moyen. La définition exacte du “jour solaire moyen” était laissée aux astronomes. Toutefois, les
observations ont montré que cette définition n’était pas satisfaisante par suite des irrégularités
de la rotation de la Terre. Pour donner plus de précision à la définition de l’unité de temps,
on adopta par la suite une définition, donnée par l’Union astronomique internationale, qui était
fondée sur l’année tropique 1900. Cependant, les recherches expérimentales avaient déjà montré
qu’un étalon atomique de temps, fondé sur une transition entre deux niveaux d’énergie d’un
atome ou d’une molécule, pourrait être réalisé et reproduit avec une exactitude beaucoup plus
élevée. Chaque élément correspond à un atome. La taille d’un atome est de l’ordre de l’Angström,
c’est-à-dire 10−10 m = 10−1 nm (“nanomètre”). Il est constitué d’un noyau, d’une taille de l’ordre
de 1 Fermi ou 10−15 m = 1 fm (“femtomètre”), et d’un environnement constitué d’électrons.
Ramenées à l’échelle humaine, ces deux tailles sont dans une proportion équivalente à celle du
diamètre d’une petite bille (' le noyau) à celui du stade de France (' l’atome).
La seconde La seconde est la durée de 9 192 631 770 périodes de la radiation correspondant
à la transition entre les deux niveaux hyperfins de l’état fondamental de l’atome de césium 133.
Il en résulte que la fréquence de la transition hyperfine de l’état fondamental de l’atome
de césium 5 est égale à 9 192 631 770 hertz exactement. Cette définition de la seconde du SI
se réfère à un atome de césium au repos, à une température de 0◦ K : elle est fondée sur
4. On notera les unités de masse largement en usage dans les pays anglo-saxons : le ounce (oz) ≈ 28,350 gr,
le pound ≈ 453,6 gr, le ton (ton)≈ 1016 kg
5. Voir le tableau périodique des éléments donné en fin de chapitre
6
1. Grandeurs, unités, mesures, étalons, erreurs & incertitudes
Figure 1.1 – Exemples de spectres de corps noir, sur un diagramme de l’intensité lumineuse en
fonction de la longueur d’onde. Quand la température est élevée, le pic de la courbe se déplace
vers les courtes longueurs d’ondes, et inversement pour les plus basses températures. La courbe
en noir indique la prédiction de la théorie dite classique, par opposition à la théorie quantique,
qui seule prédit la forme correcte des courbes effectivement observées.
un atome de césium non perturbé par le rayonnement du corps noir 6 , c’est-à-dire dans un
environnement maintenu à une température thermodynamique de 0◦ K. Les fréquences de tous
les étalons primaires de fréquence doivent donc être corrigées pour tenir compte du décalage dû
au rayonnement ambiant.
1.3.4
Unité de courant électrique (ampère)
Des unités électriques, dites “internationales”, pour le courant et pour la résistance, avaient
été introduites en 1893, et les définitions de l’ampère “international” et de l’ohm “international”
furent confirmées par la Conférence internationale de Londres en 1908. Par la suite, on adopta en
1946 l’ampère comme unité de courant électrique. Sa définition repose sur le fait qu’un courant
électrique crée dans son environnement un champ magnétique (loi de Biot et Savart) et que ce
dernier agit dynamiquement sur tout support matériel de courant (loi de Laplace).
6. (de Wikipedia) En physique, un corps noir désigne un objet idéal dont le spectre électromagnétique (voir
Fig. 1.6) ne dépend que de sa température (voir Fig. 1.1). En pratique, un tel objet matériel n’existe pas, mais il
représente un cas idéalisé servant de référence pour les physiciens. Contrairement à ce que son nom suggère, un
corps noir n’apparaı̂t pas forcément noir. En effet l’adjectif “noir” signifie ici que l’objet lui-même absorbe toute la
lumière extérieure qui tomberait sur lui, et ne reflète aucune radiation non plus. La seule radiation provenant du
corps noir est la radiation thermique, ne dépendant que de la température du corps. L’objet réel qui se rapproche
le plus de ce modèle est l’intérieur d’un four.
1.3. Définitions des Unités de base
7
L’ampère L’ampère est l’intensité d’un courant constant qui, maintenu dans deux conducteurs parallèles, rectilignes, de longueur infinie, de section circulaire négligeable et placés à une
distance de 1 mètre l’un de l’autre dans le vide, produirait entre ces conducteurs une force égale
à 2 × 10−7 newton par mètre de longueur.
Il en résulte que la constante magnétique, aussi connue sous le nom de perméabilité du vide,
est égale à 4π × 10−7 henrys par mètre exactement, µ0 = 4π × 10−7 H/m.
1.3.5
Unité de température thermodynamique (kelvin)
La définition de l’unité de température thermodynamique fut donnée en 1954, quand le
point triple de l’eau 7 fut choisi comme point fixe fondamental en lui attribuant la température
de 273,16 K par définition.
Le Kelvin Le kelvin, unité de température thermodynamique, est la fraction 1/273,16 de la
température thermodynamique du point triple de l’eau.
Figure 1.2 – Le diagramme de phase de l’eau : le point triple est situé aux conditions de
température et de pression où il y coexistence des états solide, liquide et gazeux.
7. Le point triple pour un corps est un point de son diagramme de phase qui correspond à la coexistence
de trois états (liquide, solide et gazeux). Il est unique et s’observe seulement à une température et une pression
données, dans cet état la variance est nulle. Ainsi, le point triple de l’eau est à : T = 273, 16 K (soit 0,01 ◦ C) (par
définition !) et P = 611 Pa.
8
1. Grandeurs, unités, mesures, étalons, erreurs & incertitudes
Cette définition se réfère à une eau d’une composition isotopique 8 définie par les rapports
de quantité de matière suivants : 0,000 155 76 mole 9 de 2 H par mole de 1 H, 0,000 379 9 mole
de 17 O par mole de 16 O et 0,002 005 2 mole de 18 O par mole de 16 O.
En raison de la manière dont les échelles de température étaient habituellement définies, il
resta d’usage courant d’exprimer la température thermodynamique, symbole T , en fonction de
sa différence par rapport à la température de référence T0 = 273, 15 K, le point de congélation
de l’eau. Cette différence de température est appelée température Celsius, symbole t, et elle est
définie par l’équation entre grandeurs :
t = T − T0 .
L’unité de température Celsius est le degré Celsius, symbole ˚C, égal à l’unité kelvin par
définition. La valeur numérique de la température Celsius exprimée en degrés Celsius est liée à
la valeur numérique de la température thermodynamique exprimée en kelvins par la relation :
t/˚C = T /K − 273, 15 .
1.3.6
Unité de quantité de matière (mole)
Après la découverte des lois fondamentales de la chimie, on a utilisé, pour spécifier les
quantités des divers éléments et composés chimiques, des unités portant par exemple les noms
de “atome-gramme” et “molécule-gramme”. Ces unités étaient liées directement aux “poids
atomiques” et aux “poids moléculaires” qui étaient en réalité des masses relatives. Les “poids
atomiques” furent d’abord rapportés à celui de l’élément chimique oxygène, pris par convention
égal à 16. Mais, tandis que les physiciens séparaient les isotopes au spectromètre de masse et
attribuaient la valeur 16 à l’un des isotopes de l’oxygène, les chimistes attribuaient la même
valeur au mélange (de composition légèrement variable) des isotopes 16, 17 et 18 qui constitue
l’élément oxygène naturel. On a finalement convenu d’attribuer la valeur 12, exactement, au
“poids atomique” de l’isotope 12 du carbone (carbone 12, 12 C), ou selon une formulation plus
correcte à la masse atomique
La grandeur utilisée par les chimistes pour spécifier la quantité d’éléments ou de composés
chimiques est maintenant appelée “quantité de matière”. La quantité de matière est définie
comme étant proportionnelle au nombre d’entités élémentaires d’un échantillon, la constante de
proportionnalité étant une constante universelle identique pour tous les échantillons. L’unité de
quantité de matière est appelée la mole, symbole mol, et la mole est définie en fixant la masse de
carbone 12 qui constitue une mole d’atomes de carbone 12. Par un accord international, cette
masse a été fixée à 0,012 kg, c’est-à-dire 12 g 10 .
La mole
8. En physique nucléaire et en chimie, deux atomes sont dits isotopes s’ils ont le même nombre de protons
mais un nombre de neutrons différent.
9. La définition de la mole est donnée page 8.
10. Voir l’article dans Pour la Science, 353, p 68-74, mars 2007, où il est expliqué comment se baser sur le
poids d’un nombre défini d’atomes, par exemple dans une sphère de silicium, en tenant compte de la proportion
des différents isotopes. Voir aussi des propositions plus récentes reposant sur la constante de Planck ~ (balance
de Watt).
1.4. Erreurs : quelques quantités statistiques
9
1. La mole est la quantité de matière d’un système contenant autant d’entités élémentaires
qu’il y a d’atomes dans 0,012 kilogramme de carbone 12 ; son symbole est “ mol”.
2. Lorsqu’on emploie la mole, les entités élémentaires doivent être spécifiées et peuvent être
des atomes, des molécules, des ions, des électrons, d’autres particules ou des groupements
spécifiés de telles particules.
Il en résulte que la masse molaire du carbone 12 est égale à 0,012 kilogramme par mole
exactement, M (12 C) = 12 g/mol.
La définition de la mole permet aussi de déterminer la valeur de la constante universelle
qui relie le nombre d’entités à la quantité de matière d’un échantillon. Ainsi, une mole d’atomes
contient environ 6, 022×1023 atomes. Cette “constante” est appelée constante ou nombre d’Avogadro, symbole NA ou L. Si N (X) désigne le nombre d’entités X d’un échantillon donné, et si
n(X) désigne la quantité de matière d’entités X du même échantillon, on obtient la relation :
n(X) = N (X)/NA .
Notons que puisque N (X) est sans dimension, et puisque n(X) est exprimé par l’unité SI mole,
la constante d’Avogadro a pour unité SI la mole à la puissance moins un.
1.3.7
Unité d’intensité lumineuse (candela)
Les unités d’intensité lumineuse fondées sur des étalons à flamme ou à filament incandescent,
qui étaient en usage dans différents pays avant 1948, furent d’abord remplacées par la “bougie
nouvelle” fondée sur la luminance du radiateur de Planck (corps noir) à la température de
congélation du platine. En 1979, en raison des difficultés expérimentales liées à la réalisation
du radiateur de Planck aux températures élevées et des possibilités nouvelles offertes par la
radiométrie, c’est-à-dire la mesure de la puissance des rayonnements optiques, on adopta une
nouvelle définition de la candela :
La candela La candela est l’intensité lumineuse, dans une direction donnée, d’une source
qui émet un rayonnement monochromatique de fréquence 540 × 1012 hertz et dont l’intensité
énergétique dans cette direction est 1/683 watt par stéradian.
Il en résulte que l’efficacité lumineuse spectrale K d’un rayonnement monochromatique de
fréquence 540 × 1012 hertz est égale à 683 lumens par watt exactement, K = 683 lm/W = 683
cd sr/W.
1.4
Erreurs : quelques quantités statistiques
Les mesures successives d’une certaine quantité physique montrent en général une (petite !)
dispersion due essentiellement à des erreurs de mesure aléatoires. Par exemple, si la longueur
“réelle” ou “vraie” d’une barre est `0 , la moyenne arithmétique calculée sur un nombre important
N de mesures successives ou effectuées par N agents est donnée par la formule
10
1. Grandeurs, unités, mesures, étalons, erreurs & incertitudes
`=
N
1 X
`i ,
N
(1.4)
i=1
où les `i représentent chacune des mesures individuelles. Celles-ci s’écartent de la moyenne d’une
quantité algébrique (petite !) estimée à εi :
|εi |
1.
`i
`i = ` ± |εi | ,
(1.5)
On
PNcomprend aisément que les erreurs purement aléatoires se compensent en moyenne, ε =
i=1
= 0, et qu’il faut caractériser leurs moyennes d’une autre manière. Élevons donc au carré
N
chacun de ces écarts (dont on ne connaı̂t pas le signe a priori) et prenons la moyenne de ces
quantités :
N
N
1 X
1 X 2
¯2.
εi =
(`i − `)
(1.6)
ε2 =
N
N
i=1
i=1
On obtient ce qu’on appelle la variance de l’ensemble des mesures effectuées. Un simple
calcul algébrique montre que la variance est aussi donnée par :
ε 2 = `2 − `
2
(1.7)
.
La racine carrée de la variance est dite erreur quadratique moyenne ou encore déviation
standard et se note
p
σ = ε2 .
En augmentant le nombre N de mesures, on peut espérer une diminution de l’écart entre
la valeur moyenne ` et la valeur “vraie” `0 . Cela s’exprime quantitativement de la manière
suivante :
`¯ − ∆` . `0 . `¯ + ∆` ,
σ
∆` ≡ √ .
N
(1.8)
L’incertitude ∆` déterminée à partir des N mesures est telle que, pour des erreurs à caractère
“strictement” aléatoires, la moyenne ` se situera à moins de ∆` de `0 dans 68% des cas. Cette
estimation est basée sur l’hypothèse d’une distribution des valeurs mesurées `i dite normale ou
gaussienne : si on trace l’histogramme ou le diagramme en bâtons de la distribution comme sur
la figure 1.4, on vérifie que le diagramme est en forme de “cloche” gaussienne.
1.5
Calcul d’incertitude
Le calcul d’incertitude permet d’évaluer correctement les erreurs qui se produisent lors de
mesures liées à la vérification d’une relation entre différentes grandeurs physiques. Les instruments de mesure n’étant pas de précision infinie, les mesures effectuées pendant une expérience
ne sont jamais “exactes”. Il faut donc évaluer ces incertitudes pour répondre à la question :
11
1.5. Calcul d’incertitude
Figure 1.3 – Un exemple de séries de mesure obéissant à la loi normale
3
2
1
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
-1
-2
-3
Figure 1.4 – La gaussienne
√ 1
e−
2π σ 2
¯2
(`−`)
2σ 2
, centrée en `¯ = 1 et de déviation σ = 0.125.
“la relation n’est pas vérifiée exactement parce qu’elle est fausse ou parce que les mesures sont
incertaines ?” On en déduit des marges d’erreurs, en dehors desquelles la relation sera invalidée.
Le calcul des incertitudes, à ne pas confondre avec l’erreur, sur des grandeurs dérivées des gran-
12
1. Grandeurs, unités, mesures, étalons, erreurs & incertitudes
deurs mesurées pour lesquelles il est possible d’estimer les erreurs ∆x consiste en de simples
manipulations algébriques impliquant les incertitudes dites “absolues”, de symbole précisément
∆(grandeur), que l’on devra toujours penser comme accompagnée de ±, et les incertitudes dites
“relatives”, de symbole ∆(grandeur)/grandeur.
Pour des grandeurs mesurées a et b avec leurs incertitudes absolues ∆a et ∆b, et leurs incertitudes relatives ∆a/a et ∆b/b, les incertitudes sur les fonctions de base de ces deux grandeurs
sont données par ce qui suit.
Incertitude sur une somme ou une différence ;
(i) Si c = a + b, ∆c = ∆a + ∆b.
(ii) Si c = a − b, ∆c = ∆a + ∆b aussi.
Autrement dit, l’incertitude absolue sur la somme ou la différence de 2 grandeurs est égale à la
somme des incertitudes absolues de ces grandeurs.
Incertitude sur un produit ou un rapport.
∆c
∆a ∆b
(i) Si c = a × b,
=
+
.
c
a
b
∆a ∆b
a ∆c
=
+
aussi.
(ii) Si c = ,
b c
a
b
Autrement dit, l’incertitude relative sur un produit ou un rapport de 2 grandeurs est égale à la
somme des incertitudes relatives de ces grandeurs.
Utilisation des accroissements et différentielles totales. On utilise (aussi !) la notation “∆” pour une petite variation de la grandeur considérée et “d” pour la limite “infinitésimale” ∆ → d (la “différentielle”). Une loi physique s’exprime par une relation algébrique
ou fonctionnelle entre un certain nombre de grandeurs mesurables. Prenons comme exemple
simple un calcul de surface et de volume. La surface S d’un rectangle de côtés L et l est
donnée par S(L, l) = L × l Lorsque les côtés deviennent L + ∆L et l + ∆l, la surface devient
S(L + ∆L, l + ∆l) = (L + ∆L) (l + ∆l. La variation de la surface ∆S est donc
∆S = S(L + ∆L, l + ∆l) − S(L, l) = (L + ∆L) (l + ∆l) − L l = L ∆l + l ∆L + ∆L ∆l ,
que l’on approche par :
∆S ≈ L ∆l + l ∆L ,
car ∆L ∆l est considérée comme négligeable (quantité petite du “second ordre”). À la limite
infinitésimale ∆ → d, cette relation devient exacte :
dS = L dl + l dL .
Introduisons la notion de “dérivée partielle” ∂f (a, b, c, . . . )/∂a d’une grandeur f dépendant
de plusieurs variables par rapport à une variable, ici a. Elle se confond avec la dérivée ordinaire lorsqu’on fixe toutes les autres variables. Dans l’exemple considéré, ∂S(L, l)/∂L = l et
13
1.5. Calcul d’incertitude
∂S(L, l)/∂l = L. Ainsi
∂S(L, l)
∂S(L, l)
dl +
dL ,
∂l
∂L
∂S(L, l)
∂S(L, l)
∆S ≈
∆l +
∆L .
∂l
∂L
dS =
De même la variation infinitésimale de volume d’une boı̂te de côtés x, y, z de volume V = x y z
s’écrit :
∂V (x, y, z)
∂V (x, y, z)
∂V (x, y, z
dx +
dy +
dz ,
∂x
∂y
∂z
∂V (x, y, z)
∂V (x, y, z)
∂V (x, y, z)
∆V ≈
∆x +
∆y +
∆z .
∂x
∂y
∂z
dV =
Exemple : la loi des gaz parfaits. Prenons par exemple la loi des gaz parfaits reliant :
(i) P : la pression du gaz,
(ii) V : le volume occupé par le gaz,
(iii) n : la quantité de gaz en moles,
(iv) R : la constante des gaz parfaits = 8,314 J K−1 mol−1 ,
(v) T : la température absolue du gaz, en kelvin.
Cette loi exprime la pression P en fonction de n, R, T et V :
P ≡ P (T, R, n, V ) =
nRT
.
V
(1.9)
Calculons sa différentielle :
dP =
∂P
∂R
∂P
∂P
nR
nT
RT
nRT
dT +
dR +
dn +
dV =
dT +
dR +
dn −
dV .
∂T
∂R
∂n
∂V
V
V
V
V2
Passant aux petits accroissements avec en vue le calcul d’incertitude, la variation la plus grande
s’obtient lorsque les 4 termes ci-dessus s’ajoutent :
∆P ≈
nT
RT
nRT
nR
∆T +
∆R +
∆n +
∆V .
V
V
V
V2
Cela donne l’erreur absolue sur P à partir de la connaissance des erreurs sur T , R, n et V . On
en déduit l’erreur relative :
∆P
∆T
∆R ∆n ∆V
≈
+
+
+
.
P
T
R
n
V
(1.10)
On peut directement atteindre ce résultant en passant par la différentielle logarithmique. Partant
de ln P = ln T + ln R + ln n − ln V , on obtient :
d ln P =
dP
dT
dR dn dV
=
+
+
−
,
P
T
R
n
V
et donc (1.10) après changement approprié de signe. Cette méthode plus rapide s’applique lorsqu’on cherche à faire la différentielle d’une fonction, quotient ou produit de plusieurs variables.
14
1. Grandeurs, unités, mesures, étalons, erreurs & incertitudes
1.6
Cinq tableaux fondamentaux
Les cinq tableaux qui suivent offrent un vaste panorama de la physique dans les aspects
les plus concrets de ses ordres de grandeur : les atomes, les différentes parties du spectre
électromagnétique, les particules élémentaires, les constantes de la physique et de l’astrophysique
qui caractérisent des domaines et/ou échelles très divers. Il est évidemment hors de question de
les étudier en détail !
TABLEAU PÉRIODIQUE DES ÉLÉMENTS
PÉRIODE
GROUPE
IA
1
1
1.0079
H
1
HYDROGÈNE
6.941
3
Li
2
LITHIUM
11
3
22.990
SODIUM
MASSE ATOMIQUE RELATIVE (1)
39.098
MAGNÉSIUM
20
40.078
BORE
3
21
IIIB 4
22
44.956
IVB 5
23
47.867
VB 6
24
50.942
Ca
Sc
Ti
V
SCANDIUM
TITANE
VANADIUM
BORE
NOM DE L'ÉLÉMENT
85.468
38
87.62
39
88.906
40
91.224
Rb
Sr
Y
Zr
RUBIDIUM
STRONTIUM
YTTRIUM
ZIRCONIUM
132.91
Cs
CÉSIUM
87
(223)
56
137.33
Ba
BARYUM
88
(226)
Fr
Ra
FRANCIUM
RADIUM
Lanthanides
Ac-Lr
Actinides
La masse atomique relative est donnée avec
cinq chiffres significatifs. Pour les éléments qui
n'ont pas de nucléides stables, la valeur entre
parenthèses indique le nombre de masse de
l'isotope de l'élément ayant la durée de vie la
plus grande.
Toutefois, pour les trois éléments Th, Pa et U
qui ont une composition isotopique terrestre
connue, une masse atomique est indiquée.
178.49
Hf
HAFNIUM
89-103 104
(261)
6
Cr Mn
42
95.94
Nb Mo
73
180.95
74
183.84
W
TANTALE
TUNGSTÈNE
105
(262)
(98)
Tc
106
(266)
186.21
75
Re
RHÉNIUM
107
(264)
13
26.982
CARBONE
14
58.693
11
29
IB 12
30
IIB
63.546
65.39
ALUMINIUM
69.723
31
28.086
AZOTE
15
30.974
Si
P
SILICIUM
PHOSPHORE
32
72.64
VIA 17
15.999 9
N
C
Al
VIIIB
9
10
27 58.933 28
VA 16
14.007 8
33
74.922
VIIA
18.998
F
O
OXYGÈNE
16
32.065
S
SOUFRE
78.96
34
HÉLIUM
10
NÉON
FLUOR
17
35.453
Cl
CHLORE
79.904
35
20.180
Ne
18
39.948
Ar
ARGON
83.80
36
Fe
Co
Ni
Cu
Zn
Ga
Ge
As
Se
Br
Kr
FER
COBALT
NICKEL
CUIVRE
ZINC
GALLIUM
GERMANIUM
ARSENIC
SÉLÉNIUM
BROME
KRYPTON
MANGANÈSE
43
55.845
44
101.07
Ru
MOLYBDÈNE TECHNÉTIUM RUTHÉNIUM
Ta
76
190.23
OSMIUM
108
(277)
Rf
Db
Sg
Bh
Hs
DUBNIUM
SEABORGIUM
BOHRIUM
HASSIUM
102.91
45
106.42
46
47
107.87
48
112.41
49
114.82
50
118.71
51
121.76
52
127.60
126.90
53
131.29
54
Rh
Pd
Ag
Cd
In
Sn
Sb
Te
I
Xe
RHODIUM
PALLADIUM
ARGENT
CADMIUM
INDIUM
ETAIN
ANTIMOINE
TELLURE
IODE
XÉNON
77
192.22
Ir
Os
RUTHERFORDIUM
IRIDIUM
109
(268)
195.08
78
Pt
79
OR
PLATINE
110
(281)
196.97
80
200.59
81
Au Hg
111
(272)
MERCURE
112
204.38
Tl
THALLIUM
(285)
207.2
83
208.98
(209)
84
85
(210)
(222)
86
Pb
Bi
Po
At
Rn
PLOMB
BISMUTH
POLONIUM
ASTATE
RADON
114
Mt Uun Uuu Uub
MEITNERIUM UNUNNILIUM UNUNUNIUM
82
(289)
Uuq
UNUNBIUM
UNUNQUADIUM
Copyright © 1998-2002 EniG. ([email protected])
140.12
59
140.91
La
Ce
Pr
LANTHANE
CÉRIUM
PRASÉODYME
Actinides
89 (227) 90
7
92.906
NIOBIUM
Lanthanides
57 138.91 58
(1) Pure Appl. Chem., 73, No. 4, 667-683 (2001)
Editor: Michel Ditria
72
57-71
La-Lu
41
VIB 7 VIIB 8
25 54.938 26
51.996
CHROME
B
B
24.305
CALCIUM
55
7
10.811
IVA 15
12.011 7
IIIA 14
10.811 6
13
5
IIIA
13
5
SYMBOLE
BÉRYLLIUM
12
K
37
6
NOMBRE ATOMIQUE
POTASSIUM
4
5
9.0122
Be
He
NUMÉRO DU GROUPE
CHEMICAL ABSTRACT SERVICE
(1986)
NUMÉRO DU GROUPE
RECOMMANDATIONS DE L'IUPAC
(1985)
IIA
2
4
Na Mg
19
18 VIIIA
2 4.0026
http://www.ktf-split.hr/periodni/fr/
232.04
91
231.04
60
144.24
61
(145)
62
150.36
63
151.96
Nd Pm Sm Eu
NÉODYME
92
238.03
Ac
Th
Pa
U
ACTINIUM
THORIUM
PROTACTINIUM
URANIUM
PROMÉTHIUM SAMARIUM
93
(237)
Np
94
(244)
64
157.25
Gd
EUROPIUM GADOLINIUM
95
(243)
96
(247)
65
158.93
AMÉRICIUM
CURIUM
162.50
67
164.93
Tb
Dy
Ho
TERBIUM
DYSPROSIUM
HOLMIUM
97
(247)
Pu Am Cm Bk
NEPTUNIUM PLUTONIUM
66
98
(251)
Cf
99
(252)
Es
BERKÉLIUM CALIFORNIUM EINSTEINIUM
68
167.26
69
168.93
70
173.04
Er Tm Yb
ERBIUM
100
(257)
THULIUM
101
(258)
YTTERBIUM
102
(259)
Fm Md No
FERMIUM
MENDELÉVIUM
Figure 1.5 – La table périodique des éléments. Voir aussi l’animation à http ://www.citesciences.fr/francais/ala cite/expo/tempo/aluminium/science/mendeleiev/index.html
71
174.97
Lu
LUTÉTIUM
103
(262)
Lr
NOBÉLIUM LAWRENCIUM
1.6. Cinq tableaux fondamentaux
spectre2_s.jpeg 800×589 pixels
http://media4.obspm.fr/exoplanetes/pages_outil-rayonnement/images/images/spectre2_s.jpeg
15
05/02/08 11:40
Page 1 sur 1
16
1. Grandeurs, unités, mesures, étalons, erreurs & incertitudes
Figure 1.7 – Le modèle dit standard des particules élémentaires
17
1.6. Cinq tableaux fondamentaux
1. Physical constants
1
1. PHYSICAL CONSTANTS
Table 1.1. Reviewed 2004 by P.J. Mohr and B.N. Taylor (NIST). Based mainly on the “CODATA Recommended Values of the Fundamental
Physical Constants: 2002” by P.J. Mohr and B.N. Taylor, to be published in 2004. The last group of constants (beginning with the Fermi
coupling constant) comes from the Particle Data Group. The figures in parentheses after the values give the 1-standard-deviation uncertainties
in the last digits; the corresponding fractional uncertainties in parts per 109 (ppb) are given in the last column. This set of constants (aside
from the last group) is recommended for international use by CODATA (the Committee on Data for Science and Technology). The full 2002
CODATA set of constants may be found at http://physics.nist.gov/constants
Quantity
Symbol, equation
speed of light in vacuum
Planck constant
Planck constant, reduced
Value
~ ≡ h/2π
electron charge magnitude
conversion constant
conversion constant
~c
(~c)2
electron mass
proton mass
me
mp
Uncertainty (ppb)
299 792 458 m s−1
6.626 0693(11)×10−34 J s
1.054 571 68(18)×10−34 J s
= 6.582 119 15(56)×10−22 MeV s
1.602 176 53(14)×10−19 C = 4.803 204 41(41)×10−10 esu
197.326 968(17) MeV fm
0.389 379 323(67) GeV2 mbarn
c
h
e
deuteron mass
unified atomic mass unit (u)
0.510 998 918(44) MeV/c2 = 9.109 3826(16)×10−31 kg
938.272 029(80) MeV/c2 = 1.672 621 71(29)×10−27 kg
= 1.007 276 466 88(13) u = 1836.152 672 61(85) me
md
1875.612 82(16) MeV/c2
12
(mass C atom)/12 = (1 g)/(NA mol) 931.494 043(80) MeV/c2 = 1.660 538 86(28)×10−27 kg
permittivity of free space
permeability of free space
0 = 1/µ0 c2
µ0
fine-structure constant
α = e2 /4π0 ~c
7.297 352 568(24)×10−3 = 1/137.035 999 11(46)†
classical electron radius
(e− Compton wavelength)/2π
Bohr radius (mnucleus = ∞)
wavelength of 1 eV/c particle
Rydberg energy
Thomson cross section
re = e2 /4π0 me c2
−
λe = ~/me c = re α−1
a∞ = 4π0 ~2 /me e2 = re α−2
hc/(1 eV)
hcR∞ = me e4 /2(4π0 )2 ~2 = me c2 α2 /2
σT = 8πre2 /3
2.817 940 325(28)×10−15 m
3.861 592 678(26)×10−13 m
0.529 177 2108(18)×10−10 m
1.239 841 91(11)×10−6 m
13.605 6923(12) eV
0.665 245 873(13) barn
Bohr magneton
nuclear magneton
electron cyclotron freq./field
proton cyclotron freq./field
µB = e~/2me
µN = e~/2mp
e /B = e/m
ωcycl
e
p
/B = e/mp
ωcycl
5.788
3.152
1.758
9.578
gravitational constant‡
GN
standard gravitational accel.
gn
6.6742(10)×10−11 m3 kg−1 s−2
= 6.7087(10)×10−39 ~c (GeV/c2 )−2
9.806 65 m s−2
Avogadro constant
Boltzmann constant
NA
k
molar volume, ideal gas at STP
Wien displacement law constant
Stefan-Boltzmann constant
NA k(273.15 K)/(101 325 Pa)
b = λmax T
σ = π 2 k 4 /60~3 c2
6.022 1415(10)×1023 mol−1
1.380 6505(24)×10−23 J K−1
= 8.617 343(15)×10−5 eV K−1
22.413 996(39)×10−3 m3 mol−1
2.897 7685(51)×10−3 m K
5.670 400(40)×10−8 W m−2 K−4
Fermi coupling constant∗∗
GF /(~c)3
1.166 37(1)×10−5 GeV−2
weak-mixing angle
W ± boson mass
Z 0 boson mass
strong coupling constant
b Z ) (MS)
sin2 θ(M
mW
mZ
αs (mZ )
0.23120(15)††
80.425(38) GeV/c2
91.1876(21) GeV/c2
0.1187(20)
π = 3.141 592 653 589 793 238
1 in ≡ 0.0254 m
1 Å ≡ 0.1 nm
∗
†
1 barn ≡ 10−28 m2
1 G ≡ 10−4 T
1 dyne ≡ 10−5 N
1 erg ≡ 10−7 J
8.854 187 817 . . . ×10−12 F m−1
4π × 10−7 N A−2 = 12.566 370 614 . . . ×10−7 N A−2
381
451
820
833
1 eV/c2 = 1.782 661 81(15) × 10−36 kg
2.997 924 58 × 109 esu = 1 C
exact
exact
3.3, 3.3
6.7
6.7
86
86
1.5 × 105
1.5 × 105
exact
170
1800
1800
1700
1700
7000
9000
γ = 0.577 215 664 901 532 861
1 eV = 1.602 176 53(14) × 10−19 J
86, 170
86, 170
0.13, 0.46
86
86, 170
10
6.7
3.3
85
85
20
804(39)×10−11 MeV T−1
259(21)×10−14 MeV T−1
12(15)×1011 rad s−1 T−1
76(82)×107 rad s−1 T−1
e = 2.718 281 828 459 045 235
exact∗
170
170
85
85, 85
85
170
6.5 × 105
4.8 × 105
2.3 × 104
1.7 × 107
kT at 300 K = [38.681 684(68)]−1 eV
0 ◦ C ≡ 273.15 K
1 atmosphere ≡ 760 Torr ≡ 101 325 Pa
The meter is the length of the path traveled by light in vacuum during a time interval of 1/299 792 458 of a second.
At Q2 = 0. At Q2 ≈ m2W the value is ∼ 1/128.
‡ Absolute lab measurements of G have been made only on scales of about 1 cm to 1 m.
N
∗∗ See the discussion in Sec. 10, “Electroweak model and constraints on new physics.”
†† The corresponding sin2 θ for the effective angle is 0.23149(15).
Figure 1.8 – Table des principales constantes (pas si constantes que cela pour la plupart !) de
la physique, extraite du “Particle Data 2006”
18
1. Grandeurs, unités, mesures, étalons, erreurs & incertitudes
2. Astrophysical constants
1
2. ASTROPHYSICAL CONSTANTS AND PARAMETERS
Table 2.1. Revised 2001 by D.E. Groom (LBNL), February 2004 by M.A. Dobbs (LBNL). The figures in parentheses after some values give the
one-standard deviation uncertainties in the last digit(s). Physical constants are from Ref. 1. While every effort has been made to obtain the
most accurate current values of the listed quantities, the table does not represent a critical review or adjustment of the constants, and is not
intended as a primary reference. The values and uncertainties for the cosmological parameters depend on the exact datasets, priors, and basis
parameters used in the fit. Many of the parameters reported in this table are derived parameters or have non-Gaussian likelihoods. Their error
bars may be highly correlated with other parameters and care must be taken when extrapolating to higher significance levels. In most cases
we report the best fit running spectral index model parameters from the WMAPext plus 2dFGRS and Lyman α forest dataset, as reported in
Ref. 2. Refer to Ref. 3 and the original papers for more information.
Quantity
speed of light
Newtonian gravitational constant
astronomical unit (mean ⊕– distance)
tropical year (equinox to equinox) (2005.0)
sidereal year (fixed star to fixed star) (2005.0)
mean sidereal day (2005.0)
Jansky
Planck mass
Symbol, equation
c
GN
au
yr
Jy
p
~c/GN
p
Value
Reference, footnote
s−1
299 792 458 m
6.6742(10) × 10−11 m3 kg−1 s−2
149 597 870 660(20) m
31 556 925.2 s
31 558 149.8 s
23h 56m 04.s 090 53
10−26 W m−2 Hz−1
defined[4]
[1, 5]
[6, 7]
[6]
[6]
[6]
1.22090(9) × 1019 GeV/c2
= 2.17645(16) × 10−8 kg
1.61624(12) × 10−35 m
∼ 1.2 × 1026 m
3.085 677 580 7(4) × 1016 m = 3.262. . . ly
0.306 6 . . . pc = 0.946 1 . . . × 1016 m
2.953 250 08 km
1.988 44(30) × 1030 kg
6.961 × 108 m
(3.846 ± 0.008) × 1026 W
8.870 056 22 mm
5.972 3(9) × 1024 kg
6.378 140 × 106 m
[1]
Planck length
Hubble length
parsec (1 AU/1 arc sec)
light year (deprecated unit)
Schwarzschild radius of the Sun
solar mass
solar equatorial radius
solar luminosity
Schwarzschild radius of the Earth
Earth mass
Earth mean equatorial radius
~GN /c3
c/H0
pc
ly
2GN M /c2
M
R
L
2GN M⊕ /c2
M⊕
R⊕
luminosity conversion
L
flux conversion
F
v around center of Galaxy
solar distance from galactic center
Θ◦
R◦
local disk density
local halo density
present day Hubble expansion rate
3–12 ×10−24 g cm−3 ≈ 2–7 GeV/c2 cm−3
2–13 ×10−25 g cm−3 ≈ 0.1–0.7 GeV/c2 cm−3
100 h km s−1 Mpc−1
= h × (9.778 13 Gyr)−1
h
0.71+0.04
−0.03
ρc = 3H02 /8πGN
2.775 366 27 × 1011 h2 M Mpc−3
= 1.878 37(28) × 10−29 h2 g cm−3
= 1.053 69(16) × 10−5 h2 GeV cm−3
2
0.135+0.008
Ωm ≡ ρm /ρc
0.009 /h = 0.27 ± 0.04
0.0224 ± 0.0009/h2 = 0.044 ± 0.004
Ωb ≡ ρb /ρc
2
Ωdm ≡ Ωm − Ωb
0.113+0.008
−0.009 /h = 0.22 ± 0.04
Ωγ = ργ /ρc
(2.471±0.004)×10−5/h2 = (4.9±0.5)×10−5
Ων
< (0.0076/h2 = 0.015), 95% C.L.
ΩΛ
0.73 ± 0.04
Ωtot = Ωm + . . . + ΩΛ 1.02 ± 0.02
nb
(2.5 ± 0.1) × 10−7 /cm3
nγ
(410.4 ± 0.5)/cm−3
(6.1 ± 0.2) × 10−10
η = nb /nγ
c2 /3H02
2.853 × 1051 h−2 m2
w
< −0.78 at 95% C.L.
σ8
0.84 ± 0.04
ns
0.93 ± 0.03
present day normalized Hubble expansion rate
critical density of the universe
pressureless matter density of the universe
baryon density of the universe
dark matter density of the universe
radiation density of the universe
neutrino density of the universe
dark energy density
total energy density
number density of baryons
number density of CMB photons
baryon-to-photon ratio
scale factor for cosmological constant
dark energy equation of state
fluctuation amplitude at 8h−1 Mpc scale
scalar spectral index at k0 = 0.05 Mpc−1
ρ disk
ρ halo
H0
3.02 × 1028 × 10−0.4 Mbol W
(Mbol = absolute bolometric magnitude
= bolometric magnitude at 10 pc
2.52 × 10−8 × 10−0.4 mbol W m−2
(mbol = apparent bolometric magnitude)
220(20) km s−1
8.0(5) kpc
[1]
[8]
[9]
[10]
[11]
[6]
[12]
[13]
[14]
[6]
[15]
from above
[16]
[17]
[18]
[19]
[20]
[2]
derived
[2]
[2]
[21]
[22]
[2]
[2]
[2]
[2]
[23]
derived
[2, 24]
[2]
[2]
Figure 1.9 – Table des principales constantes de l’astrophysique (avec parfois beaucoup
d’imprécision !), extraite du “Particle Data 2006”
Chapitre 2
Vecteurs dans le plan, dans l’espace
(encore en construction )
Université Paris Diderot Paris 7,
2.1
Notes de cours de JP Gazeau, 2011
Scalaires et vecteurs
Un vecteur est caractérisé par une longueur (qui est un scalaire), une direction (c’est-à-dire
une droite) dans le plan ou l’espace et un sens ou orientation le long de cette dernière. On le
représente sous la forme d’une flèche.
Une quantité complètement spécifiée par une longueur et un signe ± est un scalaire.
Comme exemples de scalaires, on a une masse, une longueur, un temps, une densité, une
énergie, une température. Les scalaires obéissent aux règles du calcul algébrique habituel sur les
nombres.
Comme exemples de vecteurs, on peut donner un déplacement net d’un objet, une vitesse,
une force, une accélération, un champ électrique, un champ magnétique (nonobstant une distinction subtile concernant ce dernier et que l’on verra plus loin) ...
Vecteur déplacement net. Déplaçons un objet d’un point A de l’espace à un autre point
B. Traçons le segment de droite entre ces deux points et plaçons la tête de la flèche en B. Nous
−−→
obtenons ainsi le vecteur déplacement (net) de l’objet, dénoté AB, quel que soit le déplacement
réel de l’objet entre ces deux positions. Toute autre flèche, disons ~a, de même longueur, direction
et sens, représente le même vecteur déplacement : ce dernier est en fait la classe d’équivalence
de telles flèches.
Un vecteur ~a est donc caractérisé par
(i) sa longueur ou module ou norme, notée k~ak (ou simplement a quand il n’y a pas de
risque de confusion),
(ii) sa direction ou droite qui le supporte,
(iii) son sens sur cette droite.
20
2. Vecteurs dans le plan, dans l’espace ( encore en construction)
*
B
−
→
−
AB ≡ ~a
A
Figure 2.1 – Vecteur déplacement net
~a
*
*
B
−→
−
AB ≡ ~a
A
Figure 2.2 – Un vecteur doit être considéré indépendamment de ses origine et extrémité dans
~ peut être représenté par tout vecteur ~a qui a même longueur, même
l’espace. Ainsi le vecteur AB
~ sont deux représentations d’un même vecteur :
direction et même sens : ~a et AB
2.2
Addition de vecteurs : méthodes géométriques
Considérons deux déplacements successifs A → B → C. Le vecteur déplacement net total
−→
−−→
−−→
AC résulte de la combinaison des deux vecteurs déplacements intermédiaires AB et BC. Cela
définit l’addition vectorielle de ces deux vecteurs :
−→ −−→ −−→
AC = AB + BC .
(2.1)
B PP ~b
6 P
6
~a
PP
PP
qC
*
~a
~c
*
~c PP
PP
~b
PP
q
P
A
Figure 2.3 – Les vecteurs “libres” ~a, ~b et ~c sont transportés parallèlement à eux-mêmes afin de
construire le parallélogramme figurant l’addition vectorielle ~a + ~b = ~c.
2.3. Vecteurs : méthodes analytiques
2.3
2.4
Vecteurs : méthodes analytiques
Multiplication de vecteurs
2.4.1
Produit scalaire
2.4.2
Produit vectoriel
21
22
2. Vecteurs dans le plan, dans l’espace ( encore en construction)
Chapitre 3
Mouvements & Cinématique
Université Paris Diderot Paris 7,
3.1
Notes de cours de JP Gazeau, 2011
Position et trajectoire
Un point M de l’espace est repéré par rapport à un système (orthonormé direct) de coor−−→ −
données K ≡ Oı̂̂ k̂ au moyen du vecteur position OM = →
r = xı̂ + y̂ + z k̂ .
−−→ −
Le point M = M (t), se déplace au cours du temps : le vecteur OM = →
r est une fonction
du temps :

 x = x(t)
→
−
→
−
y = y(t)
(3.1)
r = r (t) =

z
=
z(t)
Oı̂̂ k̂
~ dans le repère orthonormé direct
Figure 3.1 – Position du point M repéré par son vecteur OM
Oı̂̂k̂.
La trajectoire de M entre les instants tA et tB est le lieu des points M = M (t) lorsque t
varie entre tA et tB .
24
3. Mouvements & Cinématique
_
Au cours de ce mouvement, la distance parcourue |AM | est une fonction du temps positive
croissante :
_
|AM | ≡ s = s(t) ≥ 0 ,
s(tA ) = 0,
s(tB ) = L ,
(3.2)
(3.3)
où L est la longueur totale parcourue.
Figure 3.2 – Abscisse curviligne s(t).
3.2
Vitesse et vecteur vitesse
Le vecteur déplacement du point mobile M entre deux positions successives M1 , M2 est le
−−−−→ −−−→ −−−→ − →
−
vecteur ∆→
r = M1 M2 = OM2 − OM1 = →
r2 − −
r1 .
Figure 3.3 – Vecteurs déplacement, vitesse moyenne, vitesse instantanée.
Le vecteur vitesse moyenne pour ce déplacement est défini par :

−−−−→
 (x2 − x1 )/(t2 − t1 )
→
−
→
−
M 1 M2
∆r
∆r
−
(y2 − y1 )/(t2 − t1 )
v→
=
=
=
12 =

t2 − t1
t2 − t1
∆t
(z2 − z1 )/(t2 − t1 )
Oı̂̂ k̂
(3.4)
25
3.2. Vitesse et vecteur vitesse
Le vecteur vitesse instantanée à l’instant t1 est la limite (vectorielle) :

 dx/dt|t=t1
∆~r
dy/dt|t=t1
~v (t1 ) = lim
=
t2 →t1 ∆t

dz/dt|t=t1
Oı̂̂ k̂
Le vecteur vitesse ~v est donc une fonction vectorielle du temps :

 dx/dt ≡ ẋ = vx
dy/dt ≡ ẏ = vy
~v (t) =

dz/dt ≡ ż = vz
Oı̂̂ k̂
(3.5)
(3.6)
On notera quelquefois ~v = ~vM/O ou ~vM/K pour spécifier pas rapport à quoi on définit la vitesse.
Le lieu des points où pointe le vecteur ~v rapporté à l’origine O est appelé l’hodographe du
mouvement. Le vecteur vitesse instantanée est évidemment tangent en M à la trajectoire.
On introduit le vecteur unitaire tangent T̂ = ~v /v, où v = k~v k, toujours dirigé dans le sens
de la vitesse, c’est-à-dire dans la direction du mouvement. On retiendra donc ~v = v T̂ .
On définit la vitesse ou célérité moyenne entre t1 et t2 comme étant le rapport distance
parcourue/temps écoulé (toujours positif !) :
v̄12 =
s(t2 ) − s(t1 )
∆s
=
.
t2 − t1
∆t
(3.7)
Figure 3.4 – Hodographe du mouvement.
La vitesse ou célérité instantanée à l’instant t1 est alors la limite :
∆s
ds v1 = v(t1 ) = lim
=
.
t2 →t1 ∆t
dt t=t1
(3.8)
Plus généralement, à un instant quelconque,
v=
ds
.
dt
(3.9)
26
3. Mouvements & Cinématique
Figure 3.5 – Relation entre longueur de la corde et longueur de l’arc : pour des points suffisamment rapprochés, k∆~rk ≈ ∆s.
p
Puisque k∆~rk = (∆x)2 + (∆y)2 + (∆z)2 ' ∆s (corde ' arc), pour de petits intervalles de
temps, on vérifie la relation importante :
kd~rk
ds
=
,
(3.10)
dt
dt
p
où d~r = dxı̂ + dy̂ + dz k̂, et ds = kd~rk = dx2 + dy 2 + dz 2 est l’“élément infinitesimal de
longueur”. Cela justifie les relations (et notations !) :
ds d~r = k~v k .
=
v=
(3.11)
dt
dt La vitesse instantanée v(t), est donc la longueur (≡ norme) du vecteur vitesse instantanée ~v (t)
(une relation qui n’est plus vraie entre la vitesse moyenne et le vecteur vitesse moyenne).
Inversement, la longueur parcourue entre t1 et t2 est donnée par l’intégrale :
Z t2
Z t2
∆s = s2 − s1 =
ds =
v(t)dt .
t1
(3.12)
t1
Supposons enfin que plusieurs points M, N, P se meuvent dans l’espace. On définit le vecteur
vitesse relative de M par rapport à N par :
~vN/M
−−→
−−→
−−→
dM N
dON
dOM
=
=
−
= ~vN/O − ~vM/O .
dt
dt
dt
(3.13)
De là on déduit facilement la règle dite de composition des vecteurs vitesses :
~vM/P = ~vM/N + ~vN/P ,
(3.14)
règle qu’on exprime souvent comme vitesse absolue = vitesse relative + vitesse d’entraı̂nement ;
mais l’on doit garder à l’esprit que ces trois appellations ne sont que relatives (...).
27
3.2. Vitesse et vecteur vitesse
Figure 3.6 – Composition des vecteurs vitesses.
Exemple : histoires de pluie
Un bus avec pare-brise vertical avance à la vitesse constante vb sous une pluie battante. Les
gouttes de pluie tombent verticalement avec une vitesse finale vg . Déterminons sous quel angle
les gouttes frappent le pare-brise.
~vg/b θ
~vg
BUS
x
θ x
=
x
~vb
-?
Figure 3.7 – La pluie vient frapper le pare-brise du bus avec un angle θ = arctgvb /vg .
On applique la règle de composition des vitesses comme il est indiqué sur la figure 3.7.
~vg ≡ ~vg/sol = ~vg/bus + ~vbus/sol ≡ ~vg/b + ~vb .
(3.15)
On obtient alors pour l’angle sous lequel les gouttes frappent le pare-brise l’expression θ =
arctan vb /vg .
Il pleut d’une pluie régulière et les gouttes tombent verticalement. Afin de recevoir le moins
de gouttes possibles en se déplaçant d’un point à un autre, est-il préférable de courir le plus vite
possible ? De marcher le plus lentement possible ? Ou d’adopter une vitesse intermédiaire ?
Modélisons l’individu courant sous la pluie par un parallélépipède rectangle (voir figure3.8)
se déplaçant dans la direction ~ex avec un vecteur vitesse ~vi = vix~ex . Soit ~vp = vpx~ex +vpy ~ey +vpz ~ez
le vecteur vitesse de la pluie par rapport au sol (désignée sur la figure par w).
~ On suppose que
la quantité d’eau présente dans l’air par unité de volume d’air est, dans une approximation
raisonnable, uniforme. Notons la par ρp (en L/m3 ).
Nous voulons savoir pendant un intervalle de temps ∆t donné combien de quantité d’eau
la personne reçoit, mais surtout comment cette quantité varie avec la vitesse de cet individu.
Plaçons nous dans le référentiel de l’individu. Dans ce référentiel, la vitesse de la pluie est
28
3. Mouvements & Cinématique
Figure 3.8 – L’individu courant sous la pluie, avec une vitesse ~v par rapport au sol, est assimilé
à un parallélépipède. La vitesse de la pluie par rapport au sol est désignée ici par w.
~
~vp/i = (vpx − vix )~ex + vpy ~ey + vpz ~ez . La quantité d’eau ∆Q qui est arrivée sur l’individu, est la
somme de l’eau lui est arrivée sur le rectangle F de face, sur le profil rectangulaire P et sur les
épaules modélisées par le rectangle E : ∆Q = ∆QF + ∆QP + ∆QE .
Pendant ∆t, toutes les gouttes qui ont atteint l’individu se trouvent dans le volume limité
par les traits bleus pointillés, par la face F et sa jumelle en bleu. La quantité totale d’eau qui a
atteint l’individu est donc :
∆Q = ρp ∆t (SF |vpx − vix | + SP |vpy | + SE |vpz |) ≡ ∆QF + ∆QP + ∆QE .
Ainsi, si on va assez vite la quantité d’eau sur la surface F augmente avec la vitesse (plus on
va vite, plus on prend de pluie en face). Selon cette formule, il semblerait que ne pas aller trop
vite soit le meilleur moyen de ne pas se mouiller. Mais par ailleurs, l’eau que l’on reçoit sur une
distance parcourue d à la vitesse vi (toutes vitesses étant constantes) est égale à :
Qd =
ρp d ∆Q
.
vi
En conséquence, plus on va vite, moins on se prend de pluie sur les épaules et de profil, et si
la pluie tombe verticalement (vpx = 0) la quantité de pluie reçue de face reste la même. Quand
la pluie ne tombe pas verticalement, notre personne parallélépipédique devra courir le plus vite
possible sauf dans le cas spécial où vpx > (SP |vpy | + SE |vpz |) /SP > 0 (vent assez fort dans le
dos) et pour lequel la vitesse optimale est celle de la pluie dans le dos (vi = vpx ).
29
3.3. Vecteur accélération
3.3
Vecteur accélération
La variation du vecteur vitesse du point mobile M entre deux positions successives M1 , M2
est le vecteur ∆~v = ~v2 − ~v1 . Le vecteur accélération moyenne pour cette variation est définie
par :

 (v2x − v1x )/(t2 − t1 )
→
−
→
−
∆v
∆r
−
→
(v2y − v1y )/(t2 − t1 )
a12 =
=
=
(3.16)

t2 − t1
∆t
(v
−
v
)/(t
−
t
)
2z
1z
2
1
Oı̂̂ k̂
On définit alors le vecteur accélération instantanée en t1 comme la limite vectorielle ~a(t1 ) =
a→
limt2 →t1 −
12 , soit en termes de dérivées vectorielles ou des coordonnées et en posant t = t1 ,

 ax = v̇x = ẍ
2
d~v
d ~r
ay = v̇y = ÿ .
~a(t) =
= 2 =
(3.17)

dt
dt
az = v̇z = z̈
Oı̂̂ k̂
Puisque
∆~v
,
∆t→0 ∆r
~a = lim
(3.18)
ce vecteur est toujours dirigé vers l’intérieur de la concavité de la trajectoire (voir figure 3.9).
Figure 3.9 – Vecteurs accélération moyenne et instantanée. Les soustractions vectorielles
montrées ici permettent de comprendre pourquoi le vecteur accélération est toujours dirigé vers
l’intérieur de la concavité de la trajectoire.
Le vecteur accélération peut aussi être évalué par dérivation de l’expression ~v = v T̂ :
~a =
dv
dT̂ ds
d
(v T̂ ) =
T̂ + v
.
dt
dt
ds dt
(3.19)
30
3. Mouvements & Cinématique
Mais dT̂ /ds est perpendiculaire à T̂ :
d
dT̂
(T̂ · T̂ ) = 2T̂ ·
= 0,
ds
ds
(3.20)
et, lui aussi, toujours orienté vers l’intérieur de la concavité de la trajectoire :
Figure 3.10 – La normale comme vecteur unitaire orthogonal au vecteur unitaire tangent en
M et orienté vers l’intérieur de la concavité de la trajectoire.
On pose dT̂ /ds = κN̂ , kN̂ k = 1. Le vecteur unitaire N̂ est la “normale” à la trajectoire. Le
facteur κ est la courbure et R = 1/κ est le rayon de courbure de la trajectoire au point M . κ et
R sont des fonctions de M , On obtient ainsi pour le vecteur accélération une décomposition en
accélérations normale et tangentielle :
~a =
dv
v2
T̂ + N̂ ≡ ~aT + ~aN ,
dt
R
(3.21)
aT = dv/dt mesure l’accélération le long de la trajectoire, aN = v 2 /R est responsable de l’incurvation de cette dernière.
On introduit aussi la binormale B̂ definie par : B̂ = T̂ ∧ N̂ . Le trièdre orthonormé direct
(M, T̂ , N̂ , B̂) est dit de Frenet (ou Serret-Frenet). C’est un repère “local”, suivant le mouvement
de M . Le plan (M, T̂ , N̂ ) est dit plan osculateur de la trajectoire en M . Enfin, on a les formules
de Frenet (à côté de dT̂ /ds = κN̂ ) :
dB̂
= −τ N̂ ,
ds
dN̂
= τ B̂ − κT̂ .
ds
(3.22)
τ est appelée la torsion de la trajectoire au point M . Elle est non nulle pour une courbe “gauche”.
3.4
Mouvement rectiligne
La trajectoire est sur une ligne droite. Une coordonnée (ou “degré de liberté”) suffit pour
−−→
décrire un tel mouvement : AM = ~r = xı̂ ;
~v =
dx
ı̂ = vx ı̂ ;
dt
~a =
d2 x
ı̂ = ax ı̂ .
dt2
(3.23)
31
3.4. Mouvement rectiligne
Figure 3.11 – Mouvement rectiligne.
Un exemple est le mouvement uniforme pour lequel le vecteur vitesse est constant :
vx (t) = constante = vx (t0 ) ≡ v0x .
(3.24)
(t0 est une certaine origine des temps). Alors : x(t) = x0 + vx0 (t − t0 ).
Un autre exemple est le mouvement à accélération constante : ax = γ = cnst. (“mouvement
rectiligne uniformément varié”). Alors :
vx = v0x + γ(t − t0 )
(relation t ↔ γ ↔ v) ,
1
x = x0 + v0x (t − t0 ) + γ(t − t0 )2
(relation t ↔ γ ↔ x) .
2
(3.25)
(3.26)
On retiendra les deux autres relations importantes, valides uniquement aussi pour ce type
de mouvement :
v0x + vx
(t − t0 )
(relation t ↔ x ↔ v) ,
2
1 2
2
x − x0 =
(v − v0x
)
(relation x ↔ v ↔ γ) .
2γ x
x = x0 +
(3.27)
(3.28)
Dans le cas général d’une accélération variable, ax = ax (t), une fonction donnée du temps,
on établit les expressions de la vitesse et de la position au moyen d’intégrations successives,
introduisant deux constantes arbitraires, déterminées une fois connues les “conditions initiales”
du mouvement.
dvx
,
dt
Z t
=
ax (t0 )dt0 ,
ax = ax (t) =
vx (t) − v0x
x(t) − x0 =
Z
(3.29)
(3.30)
t0
t
vx (t0 )dt0 .
(3.31)
t0
Une représentation graphique, dite construction de diagrammes horaires, est extrêmement
commode pour visualiser le mouvement et pour résoudre des problèmes typiques rencontrés dans
le cas du mouvement rectiligne.
Un exemple simple est celui du mouvement rectiligne uniformément varié entre deux instants
t0 et t1 (voir figures 3.4).
32
3. Mouvements & Cinématique
On remarquera que l’aire (algébrique) A de la surface contenue sour le graphe de vx (t) entre
t0 et t1 donne le déplacement x1 −x0 (algébrique). L’aire géométrique donnerait la distance totale
parcourue (ou abscisse curviligne) qui dans le cas de figure se confond avec x1 − x0 .
Diagramme horaire pour l'accélération:
ax
γ
t0
t1
t
Diagramme horaire pour la vitesse v x t =v 0xt −t 0 
vx
Aire x 1−x 0
v0x
t0
t1
t
1
2
Diagramme horaire pour la position x t =x 0v 0x t −t 0 t−t 0 
2
x
x1
arc de parabole
t0
x0
t1
t
Diagramme horaire pour une abscisse curviligne s͡ (t) (algébrique)
s(t)
͡
͡s0
t0
t
Figure 3.12 – Diagrammes horaires : ceux respectivement pour l’accélération, la vitesse et
la position dans le cas d’un mouvement rectiligne à accélération constante, et un exemple de
diagramme pour une variation quelconque de l’abscisse curviligne.
33
3.4. Mouvement rectiligne
Un exemple d’utilisation est la détermination des coordonnées de rencontre de deux points
mobiles sur le même axe.
Figure 3.13 – Rencontre entre deux mobiles déterminée visuellement sur un diagramme horaire
Exemple : l’oiseau et les deux trains Deux trains roulent l’un vers l’autre sur la même
voie ferrée à la vitesse de 40 km/h. Un oiseau dont la vitesse de vol est de 60 km/h s’envole de
l’un des deux trains, quand ces derniers sont distants de 80 km, en direction du deuxième. En
atteignant le deuxième train, il revient directement vers le premier, et ainsi de suite. On cherche
à connaı̂tre combien de trajets cet oiseau peut effectuer d’un train à l’autre avant la collision
des deux trains et quelle est la distance totale parcourue par l’oiseau ?
Nous sommes là en présence d’une forme du “paradoxe de Zenon”. L’oiseau, assimilé à un
point matériel, accomplit une infinité d’aller-retours, mais cette fois-ci en temps fini, puisque les
deux trains entrent en collision au bout d’une heure (la vitesse de l’un par rapport à l’autre est
de 80 km/h). Pour une description détaillée des mouvements de l’oiseau, on consultera la figure
3.14. La distance totale parcourue par l’oiseau est juste D = 60 × 1 h = 60 km.
Les diagrammes horaires s’utilisent tout aussi bien pour un mouvement général dans l’esa
pace. Sont cette fois et uniquement prises en compte l’abscisse curviligne algébrique s(t) calculée
a
a
une fois précisée une orientation de support de la trajectoire, la vitesse algébrique v = d s/dt et
a
a
l’accélération tangentielle aT = d v/dt.
Un dernier exemple important de mouvement rectiligne est celui du mouvement sinusoı̈dal
où l’on a la relation différentielle entre l’accélération ax et la position x : ax = d2 x/dt2 = −ω 2 x.
La “pulsation” ω = 2π/T = 2πN est donnée usuellement en radians par seconde. T est la
période du mouvement (en seconde), N la fréquence (en hertz, 1H = 1 s−1 ). La résolution de
l’équation differentielle précédente est aisée et conduit à la solution générale :
x(t) = A cos(ωt + ϕ) .
(3.32)
34
3. Mouvements & Cinématique
x
80 km
@
@
@
@
@Train B
@
R
@
@
@
Oiseau B@
1
BNB @
B
1
@
0
Train A
1h
t
Figure 3.14 – Diagramme horaires du train A (x = 0) choisi comme référentiel, du train B
(droite x = 80(1 − t)) et de l’oiseau (trajectoire constituée de segments de droite, dont trois
seulement sont montrés, de pentes alternant de 20 km/h (lorsqu’il vole vers B) à -100 km/h
(lorsqu’il vole vers A).
Figure 3.15 – Abscisse curviligne algébrique ou orientée comme fonction du temps.
ϕ, la phase, et A, l’amplitude, sont déterminées par les conditions initiales.
3.5
Mouvement circulaire
C’est un mouvement plan dont la trajectoire est un cercle (ou un arc de cercle !), centré en
O, de rayon R (son rayon de courbure !).
−−→
Choisissant l’origine O du repére Oı̂̂ au centre de cercle, et l’angle polaire θ = (ı̂, ~r = OM ),
on peut décrire un tel mouvement comme la superposition de deux mouvements rectilignes
35
3.5. Mouvement circulaire
Figure 3.16 – Le mouvement sur un cercle et les coordonnées polaires adaptées.
sinusoı̈daux :
~r =
Oı̂̂
x = R cos θ
,
y = R sin θ
θ = θ(t) .
(3.33)
On écrit aussi ~r = R ûr . ûr est le vecteur unitaire “radial”. La loi θ = θ(t) détermine
complètement le mouvement. On introduit la vitesse angulaire θ̇ = dθ/dt (parfois notée ω mais il
vaut mieux réserver ce symbole pour une vitesse angulaire constante), et l’accélération angulaire
θ̈ = dθ̇/dt = d2 θ/dt2 .
Un mouvement circulaire uniforme est celui pour lequel θ̇ = cste = ω, auquel cas θ =
ω (t − t0 ) + θ0 . On a alors pour les vecteurs vitesse et accélération du point M :
~v =
Oı̂̂
vx = −Rθ̇ sin θ = −Rω sin θ ,
vy = Rθ̇ sin θ = Rω cos θ ,
(3.34)
Soit encore ~v = R ω ûθ , où ûθ est le vecteur unitaire orthoradial : ûθ = dûr /dθ. Si l’on considère
le vecteur ûr comme fonction de son angle polaire, ûr = ûr (θ), alors ûθ = ûr (θ + π/2).
L’accélération est uniquement radiale :
puisque
~a = −Rω 2 ûr ,
(3.35)
d
dûθ
ûθ =
θ̇ ,
dt
dθ
(3.36)
dûθ
= −ûr .
dθ
(3.37)
et
36
3. Mouvements & Cinématique
On a donc la relation entre accélération et position :
Oı̂̂
ẍ + ω 2 x = 0 ,
ÿ + ω 2 y = 0 .
(3.38)
(Le mouvement circulaire uniforme est la superposition de deux mouvements rectilignes
sinusoı̈daux de même pulsation.)
On retiendra les relations entre vitesse, vitesse angulaire et accélération pour un tel mouvement :
v = Rω,
r = Rω 2 =
v2
.
R
(3.39)
Un mouvement circulaire uniformément varié a une accélération angulaire constante : θ̈ =
cste = α, auquel cas peuvent être établies les formules suivantes, chacune mettant en relation
trois des grandeurs parmi l’accélération, la vitesse, la position angulaire et le temps :
θ̇ = θ̇0 + α(t − t0 ) ,
(3.40)
1
θ = θ0 + θ̇0 (t − t0 ) + α(t − t0 )2 ,
2
1
θ = θ0 + (θ̇ + θ̇0 )(t − t0 ) ,
2
1 2
(θ̇ − θ̇02 ) .
θ = θ0 +
2α
3.6
(3.41)
(3.42)
(3.43)
Mouvement plan avec accélération constante
Comme dans le cas du mouvement rectiligne uniformément varié, 4 équations décrivent
le mouvement dans l’espace d’un point mobile dont le vecteur accélération est constant : ~γ =
~γ0 . Nous allons les établir sans faire appel au procédé habituel consistant en 2 intégrations
successives de cette équation. Prenons comme conditions initiales à l’instant t = t0 , la position
~r(t0 ) ≡ ~r0 et le vecteur vitesse ~v (t0 ) ≡ ~v0 . La première équation nous dit que le vecteur vitesse
moyenne entre les instants t0 et t et le vecteur vitesse à l’instant t se confondent :
~v (t) = ~γ0 (t − t0 ) + ~v0 ,
temps-vitesse-accélération .
(3.44)
Cela implique que le vecteur vitesse est toujours parallèle au plan déterminé par les deux vecteurs
~γ0 et ~v0 . Il s’ensuit que la trajectoire est contenue dans un plan parallèle au plan (~γ0 , ~v0 ) et
−−→
passant par la position initiale M0 déterminée par OM 0 = ~r0 .
De la variation linéaire du vecteur vitesse versus le temps, on conclut que le vecteur vitesse
moyenne entre t0 et t est la demi-somme de ~v et ~v0 , et donc la relation
~r(t) − ~r0 =
~v (t) + ~v0
(t − t0 ) ,
2
temps-position-vitesse .
(3.45)
37
3.6. Mouvement plan avec accélération constante
En combinant (3.44) et (3.45) on obtient :
1
~r(t) = ~r0 + ~v0 (t − t0 ) + ~γ0 (t − t0 )2 ,
2
temps-position-accélération .
(3.46)
En combinant à nouveau (3.44) et (3.45) en effectuant le produit scalaire avec ~γ0 d’un côté et
avec ~v (t) − ~v0 de l’autre, et en éliminant le temps, on obtient une loi de conservation qui est une
version du théorème dit des forces vives :
(~r(t) − ~r0 ) · ~γ0 =
v 2 − v02
,
2
position-vitesse-accélération .
(3.47)
Figure 3.17 – Mouvement dans l’espace.
Un exemple familier est le mouvement du projectile dans le voisinage de la surface de la
terre : ~a = ~g , accélération de la pesanteur (g ≈ 9.81 m/s2 ). Choisissant le plan du mouvement
comme le plan de coordonnées (O, ı̂, ̂), où ~g = −g̂, nous obtenons les vecteurs vitesse et position
en termes de leurs coordonnées et ainsi les équations paramétrées de la trajectoire :
~v =
Oı̂̂
v0x ( mouvement uniforme selon x)
vy = v0y − g (t − t0 ) (mouvement uniformément varié selon y)
~r =
Oı̂̂
x = x0 + v0x (t − t0 )
y = y0 + v0y (t − t0 ) − 21 g (t − t0 )2 .
(3.48)
(3.49)
L’équation cartésienne de la trajectoire est obtenue par élimination du temps t − t0 entre
les expressions de x et y :
y = y0 +
v0y
1 (x − x0 )2
(x − x0 ) − g
2
v0x
2
v0x
(équation d’un arc de parabole) .
(3.50)
Notons la valeur de la portée lorsque y0 = 0, obtenue en posant y = 0 dans l’équation
précédente :
xmax − x0 =
2
v 2 sin 2θ0
v0x voy = 0
.
g
g
(3.51)
38
3. Mouvements & Cinématique
Figure 3.18 – Le mouvement du projectile.
Enfin, l’altitude maximum calculée en utilisant le théorème des forces vives est donnée par :
ymax − y0 =
2
v0y
.
2g
(3.52)
Exemple : le saut en longueur
Dans le saut en longueur, il s’agit de savoir dans quelle mesure l’élévation en hauteur est
importante et quels facteurs déterminent l’amplitude horizontale du saut.
Tout sauteur souhaite maximiser la portée. Ainsi, il s’agit d’aller le plus vite possible (maximiser v0 ) et de s’élever avec l’angle optimal dont on pourrait penser qu’il est de 45◦ . Mais il y a
évidemment d’autres facteurs à prendre en compte, qui sont la résistance de l’air et la flexibilité
du corps permettant de jouer avec la conservation du moment cinétique. En fait, pour perdre le
moins possible lors de l’impulsion initiale, il doit y avoir engagement maximum vers l’avant avec
un angle d’envol de 18 à 22◦ . Afin d’aller poser les pieds très loin dans le sable, l’athlète effectue
un rotation rapide des segments libres permettant de faire passer les jambes en avant du centre
de gravité et accomplit un atterrissage avec des pieds actifs afin de faire passer le bassin vers
l’avant.
Chapitre 4
Coordonnées curvilignes
Université Paris Diderot Paris 7,
4.1
Notes de cours de JP Gazeau, 2011
Mouvement plan en coordonnées polaires
Il est commode pour le traitement de nombreux problèmes de mécanique d’introduire des
systémes de coordonnées autres que les cartésiennes. Ces repères sont en général mobiles, c’està-dire associés au point en mouvement ; nous en avons déjà vu un exemple avec le repère de
Frenet. Ils sont aussi le plus souvent orthonormés .
Ici, nous apportons un autre exemple, dans le cas du mouvement plan.
Introduisons les coordonnées polaires r, θ, definies par :
−−→
−−→
r = kOM k,
θ = (ı̂, OM ) ,
(4.1)
avec les domaines de variation : 0 ≤ r < +∞ ; 0 ≤ θ < 2π.
Les relations de passage entre les coordonnées cartésiennes et celles ci-dessus sont :
x = r cos θ,
y = r sin θ ,
(4.2)
et réciproquement,
r = (x2 + y 2 )1/2 ,
θ = arctan
y
,
x
(4.3)
avec θ ∈ [π/2, 3π/2[ pour x < 0. θ ∈ [0, π/2[∪]3π/2, 2π[ pour x > 0.
Rappelons la définition des vecteurs unitaires radial ûr ≡ ûr (θ) et orthoradial ûθ ≡ ûθ (θ)
comme fonctions de l’angle polaire θ :
−−→
π
dûr
OM = rûr ,
ûθ =
= ûr θ +
.
(4.4)
dθ
2
Le vecteur vitesse a alors des composantes radiale et orthoradiale :
~v =
d
(rûr ) = ṙ ûr + r θ̇ ûθ ≡ ~vr + ~vθ .
dt
(4.5)
40
4. Coordonnées curvilignes
Figure 4.1 – Coordonnées polaires dans le plan euclidien.
Cela nous donne directement l’expression de l’élément de longueur ds en coordonnées polaires :
ds2 = v 2 dt2 = (ṙ2 + r2 θ̇2 ) dt2 = dr2 + r2 dθ2 .
L’élément de surface en coordonnées polaires s’écrit :
∂(x, y) dr dθ = r dr dθ .
dS = dx dy = ∂(r, θ) (4.6)
(4.7)
Ici, |∂(x, y)|/∂(r, θ) désigne la valeur absolue du Jacobien de la transformation infinitesimale :
dr
cos θ −r sin θ
dx
,
(4.8)
=
dθ
sin θ r cos θ
dy
c’est-à-dire la valeur absolue du déterminant de la matrice ci-dessus.
Le vecteur accélération se décompose, quant à lui, de la façon suivante :
~a = ~ar + ~aθ = (r̈ − r θ̇2 ) ûr + (2ṙ θ̇ + r θ̈)ûθ .
(4.9)
On prendra garde à ne pas confondre les accélérations radiale et orthoradiale, ~ar et ~aθ
avec les accélérations normale et tangentielle, ~aN = (v 2 /R) N̂ , ~aT = (dv/dt) T̂ . Le seul cas
où les accélérations radiale et normale sont les mêmes est celui du mouvement circulaire où
r = cste = R =rayon de courbure !, et alors ṙ = r̈ = 0.
Un exemple fameux d’utilisation des coordonnées polaires en physique est le mouvement
d’une planète autour du soleil et plus géneralement le mouvement d’un corps céleste autour d’un
objet beaucoup plus massif. L’équation de la trajectoire est celle d’une section conique dont l’un
des foyers F ≡ 0 est occupé par le corps très massif,
p
r = r(θ) =
,
(4.10)
1 + e cos θ
p est le paramètre, e l’excentricité.
Selon leurs valeurs, nous pouvons avoir une ellipse (p >
p > 0, e > 1
0, 0 < e < 1), une hyperbole
, une parabole (e = −1, p > 0). On notera à
p < 0, e < 1
ce propos que (−r, θ) et (r, θ + π) sont les coordonnées polaire d’un même point.
41
4.1. Mouvement plan en coordonnées polaires
Y
c
M
r
F'
C

X
F
b
a
Y

M
H
r
C
directrice
a

X
F axe focal
a
Y
Y=
M
r
b
X
a
(2)

(-c) F -a
C
c
a F'
X
(1)
Y =−
b
X
a
Figure 4.2 – Coniques : ellipse, parabole, hyperbole.
42
4. Coordonnées curvilignes
Ellipse :
p > 0, 0 < e < 1
X2 Y 2
+ 2 =1
a2
b
M F + M F 0 = 2a
(4.12)
c =a −b =a e
(4.14)
2
2
2
(4.11)
(4.13)
2 2
p = a(1 − e )
(4.15)
2
Parabole :
p > 0,
e = −1
(4.16)
Y = 2pX
(4.17)
MF = MH
(4.18)
p = 2a
(4.19)
2
Hyperbole :
X2 Y 2
− 2 =1
a2
b
|M F − M F 0 | = 2a
(4.20)
(4.21)
c =a +b =a e
2
2
2
(1) e > 1,
(2) e < −1,
4.2
(4.22)
2 2
p = a(e − 1) > 0
2
p = a(1 − e ) < 0
2
(4.23)
(4.24)
(4.25)
Mouvement dans l’espace en coordonnées cylindriques
Ces coordonnées sont souvent utilisées lorsqu’on a une translation le long d’un axe privilégié
(l’axe Oz ) combinée avec un mouvement plan, perpendiculaire à Oz , que l’on a choisi de décrire
en coordonnées polaires ρ, ϕ. On dispose ainsi de trois vecteurs unitaires : ûρ , ûϕ , k̂,
−−→
OM = ~r = ρûρ + z k̂,
(4.26)
c’est-à-dire :

 x = ρ cos ϕ
y = ρ sin ϕ
~r =

z
Oı̂̂ k̂
Les coordonnées cylindriques ρ, ϕ, z admettent comme domaines de variation,
−−→
kOM k = ρ = (x2 + y 2 )1/2 ∈ [0, +∞[
y
(Ox, Oα) = ϕ = arctan
∈ [0, 2π[
x
ON = z ∈ ] − ∞, +∞[
(4.27)
(4.28)
(4.29)
(4.30)
43
4.2. Mouvement dans l’espace en coordonnées cylindriques
Figure 4.3 – Coordonnées cylindriques pour l’espace euclidien. Notez les lignes et surfaces de
coordonnées.
Les lignes de coordonnées sont obtenues en fixant deux des coordonnées (ρ, ϕ, z) et en
faisant varier la troisième.
{ρ varie, ϕ = cste, z = cste} :
on obtient une demi-droite parallèle au plan (O,ı̂,̂) de côte z.
{ϕ varie, ρ = cste, z = cste} :
on obtient un cercle d’axe Oz , de côte z, de rayon ρ.
{z varie, ρ = cste, ϕ = cste} :
on obtient une droite parallèle à Oz , passant par (ρ cos ϕ, ρ sin ϕ, 0).
Les surfaces de coordonnées sont obtenues en fixant une des coordonnées (ρ, ϕ, z) et faisant
varier les deux autres
ρ =cste : on obtient un cylindre d’axe Oz , perpendiculaire aux lignes de coordonnées ρ.
ϕ =cste : on obtient un demi-plan méridien, perpendiculaire aux lignes de coordonnées ϕ.
z =cste : on obtient un plan paralléle à (O,ı̂,̂), de côte z, et perpendiculaire aux lignes de
coordonnées z.
ûρ , ûϕ , k̂ sont tangents aux lignes de coordonnées et perpendiculaires aux surfaces de coordonnées. Ils sont dirigés dans le sens croissant de ρ, ϕ, z respectivement, et l’on a :
ûϕ =
d
ûr ,
dϕ
d
ûϕ = −ûr .
dϕ
(4.31)
Donnons maintenant l’expression des vecteurs vitesse et accélération en coordonnées cylin-
44
4. Coordonnées curvilignes
driques.
~v =
d~r
= ρ̇ ûρ + ρ ϕ̇ ûϕ + ż k̂
dt
(4.32)
v=
ds
= (ρ̇2 + ρ2 ϕ̇2 + ż 2 )1/2
dt
(4.33)
Ainsi
et
ds2 = dρ2 + ρ2 dϕ2 + dz 2 ,
(4.34)
~a = (ρ̈ − ρ ϕ̇ ) ûϕ + (2ρ̇ ϕ̇ + ρ ϕ̈) ûϕ + z̈ k̂ .
(4.35)
2
Enfin, l’élément de volume dV en coordonnées cylindriques est :
∂(x, y, z) ρ dρ dϕ dz .
dV = dx dy dz = ∂(ρ, ϕ, z) (4.36)
Considérons l’exemple simple du mouvement hélicoı̈dal qui s’exprime en coordonnées cylindriques par :
ρ = a,
ϕ = ϕ(t),
z = λ ϕ (λ > 0)
(4.37)
La trajectoire se situe sur une hélice circulaire dont la projection dans le plan Oxy est
un cercle d’axe Oz et de rayon a. Le pas de l’hélice est 2πλ : c’est la distance séparant deux
points dont les ϕ diffèrent de 2π. Notons les expressions de la célérité et des vecteurs vitesse et
accélération :
v = (λ2 + a2 )1/2 |ϕ̇|
(4.38)
~v = ϕ̇ (a ûϕ + λ k̂)
(4.39)
~a = −a ϕ̇2 ûρ + a ϕ̈ ûϕ + λ ϕ̈ k̂ .
(4.40)
ou encore
~a =
ϕ̈
~c − a ϕ̇2 ûρ .
ϕ̇
(4.41)
Comme d’autre part ~a = dv/dt T̂ + v 2 /R N̂ , on en déduit immédiatement N̂ = −ûρ et la
valeur (constante) du rayon de courbure :
R=
v2
λ 2 + a2
=
.
rϕ̇2
a
(4.42)
Notons aussi la valeur de la torsion τ = λ/(λ2 + a2 ), et l’angle θ que fait le vecteur vitesse avec
l’axe Oz : cot θ = λ/a = R τ . Plus généralement, les courbes gauches telles que Rτ =cste sont
les hélices : la tangente fait un angle constant avec un axe fixe (ici Oz).
45
4.3. Mouvement dans l’espace en coordonnées sphériques
4.3
Mouvement dans l’espace en coordonnées sphériques
L’emploi de telles coordonnées s’impose lorsqu’on se trouve confronté à des problémes où
il existe une symétrie sphérique (i.e. une symétrie de rotation autour d’un point fixe). Elles
s’introduisent de la manière suivante
−−→
r = kOM k
θ = (Oz, Oβ)
∈
ϕ = (Oz, Oα)
[0, +∞[ ,
(4.43)
[0, π] ,
(4.44)
[0, 2π[ .
(4.45)
∈
∈
Ainsi
et inversement :

 x = r sin θ cos ϕ ,
−−→
y = r sin θ sin ϕ ,
OM = ~r

z
= r cos θ .
Oı̂̂ k̂
r = (x2 + y 2 + z 2 )1/2 ,
θ = arctan
ϕ = arctan
(x2
y
.
x
y 2 )1/2
+
z
(4.46)
(4.47)
,
(4.48)
(4.49)
Figure 4.4 – Coordonnées sphériques pour l’espace euclidien. Notez les lignes et surfaces de
coordonnées.
Les lignes de coordonnées sont :
46
4. Coordonnées curvilignes
r varie : une demi-droite d’origine O.
θ varie : un demi-cercle méridien, de centre O, perpendiculaire à (Oxy).
ϕ varie : un cercle parallèle à (Oxy), d’axe Oz, de côte r cos θ, de rayon r sin θ.
ûr , ûθ , ûϕ sont les vecteurs unitaires tangents aux lignes de coordonnées dans le sens croissant de r, θ, ϕ respectivement.
Les surfaces de coordonnées sont quant à elles :
r =cste : une sphère de rayon r, de centre O
θ =cste : un cône d’axe Oz, de sommet O, d’ouverture θ.
ϕ =cste : un demi-plan méridien s’appuyant sur l’axe Oz.
Pour calculer les vecteur vitesse et accélération en coordonnées sphériques, il est nécessaire
d’utiliser les relations suivantes entre les vecteurs unitaires ûr , ûθ , ûϕ . Introduisons le vecteur
−−→
unitaire de Om :

 cos ϕ
dûρ
sin ϕ ,
= ûϕ .
(4.50)
ûρ =

dϕ
0
Oı̂̂ k̂
Figure 4.5 – Visualisation de trois vecteurs unitaires. Notez que ûρ est un vecteur unitaire
intermédiaire pour les coordonnées sphériques.
Il s’ensuit les décompositions :
ûr = sin θ ûρ + cos θ k̂
(4.51)
ûθ = cos θ ûρ − sin θ k̂ ,
(4.52)
et réciproquement :
ûρ = sin θ ûr + cos θ ûθ .
(4.53)
Ainsi,
∂ûr
∂ûθ
= ûθ ,
= −ûr ,
∂θ
∂θ
∂ûr
∂ûθ
= sin θ ûϕ ,
= cos θ ûϕ .
∂ϕ
∂ϕ
(4.54)
(4.55)
47
4.3. Mouvement dans l’espace en coordonnées sphériques
Il en résulte pour le point M :
−−→
OM = ~r = r ûr ,
∂ûϕ
d
∂ ûr
~v = (rûr ) = ṙ ûr + r θ̇
+ r ϕ̇
dt
∂θ
∂ϕ
= ṙ ûr + r θ̇ ûθ + r sin θ ϕ̇ûϕ .
(4.56)
(4.57)
(4.58)
On a donc pour la vitesse et l’élément de longueur :
v = (ṙ2 + r2 θ̇2 + r2 sin2 θ ϕ̇2 )1/2 ,
(4.59)
ds = dr + r dθ + r sin θ dϕ .
(4.60)
2
2
2
2
2
2
2
L’accélération se calcule de la même manière :
~a = r̈ ûr + ṙ θ̇ ûθ + ṙ sin θ ϕ̇ ûϕ + ṙ θ̇ ûθ + r θ̈ ûθ − r θ̇2 ûr + r θ̇ ϕ̇ cos θ ûϕ
+ṙ sin θ ϕ̇ ûϕ + r cos θ θ̇ ϕ̇ ûϕ + r sin θ ϕ̈ ûϕ − r sin θ ϕ̇2 ûρ .
(4.61)
En réarrangeant les termes et tenant compte de uρ = sin θ ûr + cos θ ûθ , on obtient :
~a = (r̈ − r θ̇2 − r sin2 θ ϕ̇2 )ûr
+(2ṙ θ̇ + r θ̈ − r sin θ cos θ ϕ̇2 ) ûθ
+(2ṙ ϕ̇ sin θ + 2r θ̇ ϕ̇ cos θ + r sin θ ϕ̈) ûϕ .
Signalons enfin l’élément de volume en coordonnées sphériques :
∂(x, y, z) dr dθ dϕ = r2 sin θ dr dθ dϕ .
dV = dx dy dz = ∂(r, θ, ϕ) (4.62)
(4.63)
Un exemple d’utilisation des coordonnées sphériques est l’étude du mouvement d’un navire
à cap constant et à vitesse uniforme. La surface terrestre est assimilée à celle d’une sphère de
rayon a et le navire se déplace de telle sorte que sa trajectoire fait un angle constant α avec les
méridiens terrestres qu’elle croise.
Le vecteur vitesse est dans le plan tangent à la surface et se décompose selon les vecteurs
ûθ et ûϕ :
~v = a (θ̇ ûθ + sin θ ϕ̇ ûϕ )
(4.64)
~v · ûθ = a θ̇ = v0 cos α = a (θ̇ + sin θ ϕ̇ )
2
2
2 1/2
cos α .
(4.65)
Ainsi,
dϕ = ± tan α
dθ
.
sin θ
(4.66)
L’équation de la trajectoire est donc
tan θ 2 ϕ − ϕ0 = ± tan α log .
tan θ0 2
(4.67)
48
4. Coordonnées curvilignes
Cette courbe est appelée une loxodromie. Elle s’enroule autour des pôles en faisant une infinité
de tours. Le rayon de courbure est obtenue à partir de l’expression de l’accélération :
R = a (1 + sin2 α cot2 θ)−1/2
(4.68)
Le vecteur accélération est perpendiculaire au vecteur vitesse (v = v0 est constante !) et si on
introduit l’angle ψ qu’elle fait avec le rayon de la sphère, on a :
tan ψ = sin α cot θ.
Ainsi, R = a cos ψ.
(4.69)
Chapitre 5
Dynamique de point matériel :
Galilée & Newton
Université Paris Diderot Paris 7,
5.1
Notes de cours de JP Gazeau, 2011
Quantité de mouvement, force et lois de Newton
Tout point matériel possède une masse m, quantité scalaire positive : sa masse inertielle.
On associe à son mouvement un vecteur appelé quantité de mouvement :
p~ = m~v ,
(5.1)
~v étant son vecteur vitesse par rapport à un certain repère (O,ı̂,̂, k̂).
Toute variation ∆~
p de ce vecteur est appelée vecteur impulsion :
I~12 = p~2 − p~1 = ∆~
p.
(5.2)
On appelle vecteur force moyenne exercée sur le point matériel entre les instants t1 et t2 le
vecteur
I~12
∆~
p
¯
F~12 =
=
.
(5.3)
t2 − t1
∆t
Le vecteur limite lorsque t2 tend vers t1 est dit vecteur force instantanée (ou tout simplement
force) exercée sur le point matériel lorsqu’il se trouve en M1 .
Le vecteur force est donc une fonction de M (on parlera de “champ vectoriel de forces”).
On notera :
p2 − p1
d~
p F~→M1 = lim
,
(5.4)
=
t2 →t1 t2 − t1
dt t=t1
ou plus généralement :
d~
p
F~→M =
.
dt
(5.5)
50
5. Dynamique de point matériel : Galilée & Newton
Figure 5.1 – Vecteurs quantité de mouvement, impulsion et force pour une trajectoire de point
matériel.
Cette relation est communément appelée deuxième loi de Newton ou relation fondamentale
de la dynamique, mais elle n’est ici qu’une relation de définition.
Inversement, le vecteur impulsion reçue (ou perdue !) entre deux instants est donné par
l’intégrale
I~12 = ∆~
p=
Z
t2
t1
F~→M (t) dt .
(5.6)
Un exemple est l’impulsion reçue par une particule en mouvement rectiligne au cours d’un
choc frontal. Une force très intense s’exerce pendant un intervalle de temps très court.
Figure 5.2 – La force comme intégrale de l’impulsion.
Si la masse est conservée (c’est-à-dire ne varie pas au cours du mouvement, ce qui est
5.1. Quantité de mouvement, force et lois de Newton
51
généralement le cas), la deuxième loi de Newton s’écrit :
d~v
F~→M = m
= m~a .
dt
(5.7)
Le vecteur force est alors toujours dirigée selon le vecteur accélération.
Figure 5.3 – Vecteur force dirigé selon le vecteur accélération, et donc vers l’intérieur de la
concavité de la trajectoire.
Si cette force est identiquement nulle entre deux positions M0 , M1 du point, il en sera de
même de l’accélération, ce qui entraine :
−−−−−→
~v = constant = ~v0 .
(5.8)
On a donc entre M0 et M1 un mouvement rectiligne uniforme
Figure 5.4 – Mouvement rectiligne uniforme.
L’interprétation physique sous-jacente à ces définitions mathématiques est la suivante : un
vecteur force est l’expression mathématique de l’influence de l’environnement sur ce que l’on assimile à un point matériel (e.g. particule, planète, ...) au cours de son mouvement dans un espace
que l’on suppose (avec de bonnes raisons !) euclidien. Cette influence est décrite par un vecteur
car susceptible de modifier et le module et la direction du vecteur vitesse. Non “influencée”, ou
libre, ou isolée, la vitesse de la particule n’est pas modifiée, et celle-ci se déplace sur une ligne
droite (c’est le contenu de la première loi de Newton). Trouver l’expression mathématique de
l’influence de l’environnement, c’est établir une “loi de force”.
52
5. Dynamique de point matériel : Galilée & Newton
Exemples de lois de force
• Chute des corps au voisinage de la surface terrestre :
F~→M = m~g ,
g ≈ 9.81 m/s2 .
(5.9)
L’accélération dite de la pesanteur ~g est dirigée verticalement vers le sol.
• Attraction gravitationnelle exercée par un corps massif M1 sur un corps massif M2 .
−−−−→
M1 M 2
~
FM1 →M2 = −Gm1 m2 −−−−→ .
kM1 M2 k3
(5.10)
Le facteur G est la constante de gravitation universelle, de valeur
G = 6.67428(67) × 10−11 m3 kg−1 s−2 .
Figure 5.5 – Loi d’attraction universelle de Newton.
• Force électrostatique de Coulomb exercée par un corps chargé M1 sur un corps chargé
M2 .
F~M1 →M2 =
−−−−→
1
M1 M 2
q1 q2
.
4πε0
kM1 M2 k2
(5.11)
ε0 ≈ 8.854 × 10−12 F m−1 est une constante universelle appelée constante diélectrique, ou
permittivité du vide.
~
• Force de Lorentz, due à l’existence d’un champ électrique E(M
) et d’un champ magnétique
~
B(M ), s’exerçant sur un corps M1 chargé, de charge q :
~
~
F~→M1 = q E(M
v1 ∧ B(M
1 ) + q~
1) .
(5.12)
• Force de rappel due à un ressort ou loi de Hooke
F~→M = −k∆~r,
(5.13)
où ∆~r est le déplacement du corps M à partir d’une position “au repos” et k est une
constante dite de rappel.
• Les forces au contact de deux substances matérielles, incluant les forces dites de frottement, que nous analyseront en détail dans le chapitre suivant.
5.2. Référentiels galiléens et transformations galiléennes
53
Les lois de Newton sont au nombre de trois. La troisième s’intitule loi de l’action et de la
réaction. Elle concerne l’influence réciproque de deux corps (1) et (2) :
F~(1)→(2) = −F~(2)→(1) .
(5.14)
Une manière de comprendre cette loi est de considérer le système matériel constitué de (1)
et dec(2). On le suppose isolé. Sa quantité de mouvement totale p~1 + p~2 reste donc inchangée au
cours du temps. Si après un intervalle de temps ∆t, les quantités de mouvement respectives de
(1) et (2) sont devenues p~0 1 et p~0 2 la conservation implique :
p~1 + p~2 = p~0 1 + p~0 2 ,
(5.15)
p2 .
ou encore ∆~
p1 = p~0 1 − p~1 = −(p~0 2 − p~2 ) = −∆~
Il y a eu échange d’impulsion entre (1) et (2), ce qui en termes d’actions réciproques
moyennes s’exprime par :
−−→
−−→
∆p1
∆p2
F~ (2)→(1) =
(5.16)
=−
= −F~ (1)→(2) ‘
∆t
∆t
Il suffit alors de passer à la limite infinitésimale des intervalles de temps.
5.2
Référentiels galiléens et transformations galiléennes
Il est clair que le mouvement d’un point matériel dépend du repère par rapport auquel il
est défini, particulièrement si ce dernier est lui-même en mouvement (translation plus rotation)
par rapport à un autre repère. La notion de force que nous avons introduite dans la section
précédente prend donc en compte le mouvement du repère lui même, et nous appellerons une
force d’inertie une force due et seulement due au mouvement du repère. Un repère par rapport
auquel aucune force d’inertie ne s’exerce est dit galiléen ou encore référentiel d’inertie, et la
première loi de Newton ou loi d’inertie n’est valide que si l’on se refère à un tel repère.
C’est un postulat de base de la physique classique d’admettre l’existence d’au moins un
repère galiléen, en fait d’une classe d’équivalence, deux repères étant équivalents s’ils sont
connectés par une transformation galiléenne. Une transformation galiléenne n’affecte pas les
lois de force qui ne concernent, quant à elles, que l’influence de l’environnement. On dira que les
lois de la physique classique sont invariantes par rapport à tout changement de repère galiléen.
Une transformation galiléenne d’un repère K ≡ (O,ı̂,̂, k̂), associé à une horloge, peut être :
• Un changement d’origine, n’affectant pas l’orientation.
K → K 0 = (O0 ,ı̂,̂, k̂)
Pour la position d’un point M , on a la relation suivante :
−−→
~r|K 0 = r~0 = ~r − OO0 ,
(5.17)
(5.18)
où ~r = ~r|K .
L’invariance des lois de la physique par rapport à une telle transformation repose sur
l’hypothèse de l’homogénéité de l’espace : aucune origine n’est privilégiée.
54
5. Dynamique de point matériel : Galilée & Newton
Figure 5.6 – Changement d’origine de référentiel comme transformation galiléenne. Les axes
demeurent inchangés.
• Un changement d’orientation des axes en gardant l’origine fixe.
K → K 0 = (O,ı̂0 ,̂0 , k̂0 ) .
(5.19)
Une matrice orthogonale, ou de rotation, Rop , transforme les composantes de M par
rapport à K en celles du même point par rapport à K 0 :
 
 0 
x
x
0
0
~



y  = Rop~r|K
y
(5.20)
r = ~r|K 0 ≡
= Rop
0
z
z
Rop t Rop = I .
(5.21)
Remarque. Si det R = −1, alors on a changé l’orientation du référentiel, e.g. de repère
direct on passe à un repère indirect. )
Figure 5.7 – Changement d’orientation, ou rotation, des axes de référentiel comme transformation galiléenne. L’origine demeure inchangée.
L’invariance des lois de la physique par rapport à une telle transformation repose sur
l’hypothèse de l’isotropie de l’espace : aucune orientation n’est privilégiée dans l’espace.
5.2. Référentiels galiléens et transformations galiléennes
55
• Un changement d’origine de temps t0 = t − t0 , aucune origine temporelle n’est privilégiée.
• Enfin, un mouvement de translation uniforme (transformation pure de Galilée englobant
en fait la première) :
−−→0
~ t,
OO = ~q0 + V
(5.22)
0
~
~
r = ~r|K 0 = ~r|K − V t − ~q0 ,
(5.23)
~ est un vecteur vitesse constant : c’est le vecteur vitesse de translation du repère K 0
où V
par rapport au repère K.
Bien comprendre cette dernière transformation, c’est saisir le fait qu’il n’y a pas de référentiel
d’inertie absolu, c’est-à-dire en immobilité “absolue”.
~ , Rop , t0 ,
Les combinaisons arbitraires des quatre opérations ci-dessus, paramétrées par ~q0 , V
forment un groupe de transformations de l’espace-temps à dix paramètres (3 coordonnées pour
~ , 3 angles pour Rop , un temps t0 : le groupe de Galilée.
~q0 , 3 coordonnées pour V
Figure 5.8 – Mouvement de translation uniforme du référentiel comme transformation galiléenne. Les directions d’axe demeurent inchangées.
Et le principe de la relativité galiléenne s’énonce : les lois de la Physique sont invariantes
par rapport aux opérations du groupe de Galilée.
Un corollaire essentiel de ce principe est que le temps et l’espace sont “absolus” : intervalles
de temps et d’espace ne sont pas modifiés par une transformation quelconque du groupe de
Galilée.
Les repères décrétés galiléens par les physiciens ne le sont jamais absolument. Associés à un
certain corps rigide dans l’espace (murs du laboratoire, repère géocentrique : centre de la terre
et directions fixes par rapport aux étoiles, repère heliocentrique : centre de masse de système
solaire et directions fixes par rapport aux étoiles lointaines, etc . . .), ils ne représentent que des
56
5. Dynamique de point matériel : Galilée & Newton
approximations successives, toutefois parfaitement adaptées à l’étude des phénomènes physiques
qui est effectuée par rapport à eux.
5.3
Repères non galiléens et forces d’inertie
Un référentiel K 0 en mouvement quelconque par rapport à un référentiel d’inertie K introduit des effets qui viennent se superposer aux lois de force lorsqu’on se réfère à lui pour étudier
le mouvement d’un système. Penser à effectuer des mesures précises de pesée dans un manège,
ou dans un train prenant un virage, ou accélérant et décélérant violemment !
Pour d’abord, si le repère K 0 a un mouvement de translation quelconque par rapport à
−−→
K, mais garde les directions de ses axes fixes, on a, pour le vecteur ~q = OO0 , une accélération
~q¨ ≡ ~aK 0 /K dite d’entrainement, et donc la relation suivante entre les accélérations d’un point M
relativement à chaque repère :
~aM/K 0 = ~aM/K − ~aK 0 /K .
(5.24)
Si F~→M est la force exercée sur M , due à l’environnement, et si K est galiléen, la deuxième
loi de Newton s’écrit (m : masse de M ) :
F~→M
= m ~aM/K
(5.25)
= m ~aM/K 0 + m ~aK 0 /K ,
(5.26)
ou encore,
F~→M + F~e = m ~aM/K 0 .
(5.27)
C’est la deuxième loi de Newton exprimée par rapport à K 0 . Ce dernier n’est pas galiléen,
un vecteur “force d’inertie d’entrainement”, F~e = −m~aK 0 /K doit être ajouté au vecteur force
due à l’environnement.
Maintenant, supposons que K 0 a un mouvement quelconque de rotation (sans translation,
pour simplifier) par rapport à K. Prenons, sans perte de généralité, la même origine pour les
deux repères. Considérons le vecteur position ~r exprimé dans chacun des repères :
−−→
OM = ~r = xı̂ + y̂ + z k̂
= x0 ı̂0 + y 0 ̂0 + z 0 k̂0 .
(5.28)
d Introduirons la dérivation d’un vecteur par rapport à un repère :
() . Nous avons, si l’on
dt K
considère la première expression pour ~r :
d~r ≡ ~vM/K = ẋı̂ + ẏ̂ + ż k̂ ,
(5.29)
dt K
la dérivation par rapport à un repère K ne modifiant par ses vecteurs de base.
57
5.3. Repères non galiléens et forces d’inertie
Figure 5.9 – Mouvement de rotation d’un repère, K 0 , par rapport à un autrer repère, K.
Par contre, si l’on considère la deuxième expression :
d~r = (ẋ0 ı̂0 + ẏ 0 ̂0 + ż 0 k̂0 ) +
dt K
!
0
0
0
dı̂
d̂
d
k̂
+ y0
+ z0
x0
.
dt K
dt K
dt (5.30)
K
d~r ≡ ~vM/K 0 .
La première parenthèse peut s’écrire
dt K 0
La deuxième parenthèse est la vitesse d’entrainement ~vK 0 /K .
On peut la mettre sous la forme d’un produit vectoriel à partir des considérations suivantes :
• c’est une fonction linéaire des coordonnées x0 , y 0 , z 0 , donc de ~r.
• elle est perpendiculaire à ~r. En effet son produit scalaire avec ~r fait apparaitre :
(i)
0
0 dı̂ ı̂ ·
,
dt K
0
0 d̂ ̂ ·
,
dt K
0
d
k̂
k̂0 ·
dt (5.31)
K
qui sont nuls car ı̂0 ,̂0 , k̂0 sont unitaires.
d̂0 0
(ii) les produits scalaires ı̂ ·
, etc . . . , qui, par dérivation directe de ı̂0 ·̂0 = ı̂0 · k̂0 =
dt K 0
̂0 · k̂0 = 0 admettent les relations mutuelles :
0
0
0 d̂ 0 dı̂ = − ̂ · , etc . . .
(5.32)
ı̂ ·
dt K 0
dt K 0
Il existe donc un vecteur, noté ω
~ , tel que la deuxième parenthèse peut se mettre sous la
forme ω
~ ∧ ~r. Ainsi :
d~r d~r ~vM/K =
=
+ω
~ ∧ ~r ≡ ~vM/K 0 + ~vK 0 /K .
(5.33)
dt K
dt K 0
58
5. Dynamique de point matériel : Galilée & Newton
ω
~ est le vecteur “vitesse de rotation” de K 0 par rapport à K (en fait un pseudo-vecteur), dirigé
à l’instant donné le long d’un axe appelé axe instantané de rotation. On notera souvent, pour
simplifier, ω
~ =ω
~ K 0 /K . Il obéit à la règle de composition des vitesses :
ω
~ K 00 /K = ω
~ K 00 /K 0 + ω
~ K 0 /K .
(5.34)
La relation précédemment établie sur la dérivation du vecteur position est valable en dehors
~ = A(t)
~
de toute considération de vitesses. Si A
est un vecteur fonction du paramètre t, on a :
d ~ d ~ ~
A = A + ω
~ ∧ A,
(5.35)
dt K
dt K 0
ou encore plus formellement :
d d = +ω
~∧.
dt K
dt K 0
(5.36)
Appliquons cette règle aux vecteurs de base ı̂0 ,̂0 , k̂0 .
dı̂0 est un vecteur perpendiculaire à ı̂0 (ı̂0 est unitaire !), donc est dans le plan ̂0 , k̂0 . On le
dt K
vérifie par ailleurs :
dı̂0 =ω
~ ∧ ı̂0 = ωz 0 ̂0 − ωy0 k̂0 .
(5.37)
dt K
De même,
0
d̂0 d
k̂
= ωx0 k̂0 − ωz 0 ı̂0 ,
dt K
dt K
= ωy0 ı̂0 − ωx0 ̂0 .
(5.38)
Ces relations permettent de déterminer ω
~ par ses composantes dans K 0 .
Dérivons maintenant la règle de composition des vitesses ~vM/K = ~vM/K 0 + ω
~ ∧~r pour établir
celle concernant les accélérations :
d
d
d d~r ~aM/K = ~vM/K = ~vM/K + ω
~ ∧ ~r + ω
~∧
.
(5.39)
dt
dt
dt K
dt K
K
K0
Appliquant systématiquement la règle
d
ω
~ |K 0 ≡ ω
~˙ , on obtient :
dt
~aM/K
d
d
d
|K =
|K 0 + ω
~ ∧ et remarquant que
ω
~ |K =
dt
dt
dt
d
=
~vM/K 0 + ω
~˙ ∧ ~r + 2~
ω ∧ ~vM/K 0 + ω
~ ∧ (~
ω ∧ ~r)
dt
K0
≡ ~aM/K 0 + ~ae + ~aangulaire + ~acoriolis + ~a centripète .
(5.40)
On doit retenir que l’accélération de Coriolis est perpendiculaire à la fois à ω
~ et ~vM/K 0 , et
que l’accélération centripète est quadratique en les composantes de ω (penser au −ω 2 R !)
5.3. Repères non galiléens et forces d’inertie
59
On peut donner à ω
~˙ ∧ ~r le nom d’accélération angulaire à cause de la présence de ω
~˙ .
Tenant compte de la règle précédente pour les accélérations, et de la deuxième loi de Newton
F~env→M = m~aM/K , si M est un point matériel de masse m et K un repère galiléen, nous obtenons
l’expression de cette loi dans le repère non galiléen K 0 :
F~env→M + F~angulaire + F~coriolis + F~centrifuge = m~aM/K 0 ,
(5.41)
où
˙ ∧ ~r , F~Coriolis = −2m~
F~angulaire = −m~ω
ω ∧ ~vM/K 0 ,
F~centrifuge = −m~
ω ∧ (~
ω ∧ ~r).
(5.42)
(5.43)
Le cas général du mouvement de K 0 par rapport à K, translation + rotation, s’obtient par
simple superposition.
On obtient finalement la relation la plus générale de composition des accélérations :
=
~aO0 /K
+
~aM/K
| {z }
| {z }
accélération “absolue” accélération de translation
−−0−→
+
~˙ ∧{z
O M}
+
2~
ω ∧ ~vM/K 0
+
|ω
{z
}
|
accélération angulaire accélération de Coriolis
−−−→
.
+
ω
~ ∧ (~
ω ∧ O0 M )
+
~aM/K 0
|
{z
}
| {z }
accélération centripète accélération “relative”
(5.44)
Ainsi, la 2ème loi de Newton qui s’exprime dans K par F~env→M = m~aM/K (Fenv→M est la force
totale qu’exerce sur M son environnement) devient dans K 0 :
F~env→M + F~inertie = m~aM/K 0 ,
(5.45)
avec
−−−→
˙ ∧ O0 M +
−m ~aO0 /K
+ −m
ω
~
|
{z
}
| {z }
force
angulaire
force de translation
−−−→
+ −2m ω
~ ∧ ~vM/K 0 + −m ω
~ ∧ (~
ω ∧ O0 M ) .
{z
}
|
{z
} |
force centrifuge
force de Coriolis
F~inertie =
(5.46)
Signalons les applications les plus connues de ces règles de composition des accélérations : le
pendule de Foucault, la déviation par rapport à la verticale de la chute des corps, la navigation
par inertie, etc...
Exemple : la circulation des alizés.
Détaillons l’exemple de la circulation des alizés à l’équateur. Il y a des hautes pressions aux
tropiques et des basses pressions à l’équateur. Cela détermine la direction des alizés dans les deux
60
5. Dynamique de point matériel : Galilée & Newton
hémisphères en faisant intervenir l’accélération de Coriolis. Pour expliquer cela, on considère
comme référentiel galiléen (approché !) le repère K = (OT ,ı̂,̂, k̂) d’origine OT le centre de la
terre et de directions fixes par rapport aux étoiles, avec k̂ selon l’axe de rotation de la terre par
rapport à elle-même et de sens Sud → Nord, de telle sorte que ω
~ = ω k̂, ω = 2π/(24 h). Le repère
0
K est quant à lui solidaire de la surface de la terre, par exemple O0 est un point de l’équateur,
k̂0 est selon la verticale du lieu, ı̂0 est tangent au méridien passant par O0 et dirigé vers le Sud,
et ̂0 est tangent au cercle équatorial, dirigé vers l’Est.
Sachant qu’il y a des hautes pressions aux tropiques et des basses pressions à l’équateur, le
vecteur vitesse ~vM/K 0 d’une masse m d’air aux tropiques sera tangent à un méridien et dirigée
vers l’équateur : ~vM/K 0 = vı̂± , avec ı̂+ dirigé vers le Sud du méridien pour le tropique du Cancer
et ı̂− dirigé vers le Nord pour le tropique du Capricorne. Le vecteur force de Coriolis est donc
−2mvω k̂ ∧ı̂± . Mais dans les deux cas le vecteur k̂ ∧ı̂± est dirigé vers l’Est, ce qui implique pour
Coriolis une direction vers l’Ouest.
Parmi les autres forces inertielles, celle faisant intervenir ω
~˙ s’annule du fait de la constance
de ω et de l’axe de rotation de la terre. Celle due à l’accélération centripète de module (à
l’équateur) RT ω 2 ≈ 0, 03 ms−2 d’un point O0 de l’équateur est négligeable par rapport à la
gravité. Celle due à l’accélération centripète de la masse d’air l’est encore plus par rapport à la
gravité pour des hauteurs de l’ordre de quelques kilomètres.
Figure 5.10 – Géodésique.
Figure 5.11 –
Note sur les alizés, extraite du WEB Le moteur de la circulation atmosphérique dans les
tropiques est le réchauffement solaire. A cause de l’inclinaison de 23,5 degrés de l’axe de rotation
de la Terre, le Soleil n’est jamais plus qu’à quelques degrés (au maximum 23,5 !) du zénith à midi
tout au long de l’année dans les tropiques ce qui donne un maximum de réchauffement autour
5.3. Repères non galiléens et forces d’inertie
61
de l’équateur géographique. Cette chaleur est transportée en grande partie dans l’atmosphère
sous forme de relâchement de chaleur latente dans les orages tropicaux (“cellules de Hadley”).
Figure 5.12 – La circulation des alizés.
Figure 5.13 –
62
5. Dynamique de point matériel : Galilée & Newton
Chapitre 6
Forces de frottements
Université Paris Diderot Paris 7,
Notes de cours de JP Gazeau, 2011
Avant d’aborder les concepts de travail d’une force et d’énergie, nous donnons ici quelques
indications sur un autre exemple important de forces, celles associées aux frottements. Les
forces de frottement agissent aux points de contact de deux surfaces. Les lois qui donnent leurs
expressions ont un caractère nettement empirique. Grossièrement, on distinguera entre deux
types de forces, les forces de frottement à sec, ne dépendant pas de la vitesse relative, les forces
de frottement visqueux, qui dépendent de la vitesse relative.
6.1
Frottements à sec
Pour les forces de frottement à sec (on dit aussi “frottement solide”), il faut distinguer entre
~s , égale en module et opposée en direction à la force exercée
la force de frottement statique, F
par un observateur sur le corps, qui repose sur une surface, sans qu’il puisse le faire bouger.
~s = −F~obs→A
F
(supposant B galiléen !) .
(6.1)
~s est due aux “rugosités” des deux surfaces “sêches” en contact.
F
Figure 6.1 – Frottement statique à sec.
On fait croı̂tre F~obs→A jusqu’à ce qu’il y ait début de glissement : la force Fs atteint alors
un maximum Fsmax . Ce dernier obéit à la loi empirique dite loi d’Amonton qui s’énonce :
64
6. Forces de frottements
(i) Fsmax ne dépend pas (approximativement !) de l’aire de la surface de contact entre A et
B.
(ii) Fsmax est proportionnelle à la réaction normale exercée par B.
Fsmax = µs RN (= µs PA dans le cas de la figure) .
(6.2)
µs est le coefficient de frottement statique, en général inférieur à 1, et pouvant par exemple être
déterminé par l’expérience du plan incliné :
Substances en contact
Acier sur acier
Métal sur chêne (le long de la fibre)
Cuir sur chêne
Brique sur brique
µs
0,15
0,62
0,61
0,5 à 0,73
Table 6.1 – Coefficients de frottement statique µs pour quelques surfaces en contact “sèches”
et “lisses”
Figure 6.2 – Expérience du plan incliné pour le frottement statique à sec.
On a Fs = P sin θ et, lorsque le corps commence à glisser, l’angle critique θc est déterminé
par la loi d’Amonton :
P sin θc = Fsmax = µs RN = µs P cos θc .
(6.3)
µs = tan θc .
(6.4)
Ainsi
Au cours du mouvement de glissement qui s’ensuit, toujours sous l’action d’une force F~obs→A
exercée par un observateur, le corps A est soumis à une force de frottement de glissement à sec, ou
frottement cinématique à sec, obéissant, pour de petites vitesses, à la loi de Coulomb, analogue
à celle d’Amonton.
Fg = µg Rn .
(i) Fg ne dépend pas de l’aire de la surface de contact entre A et B ;
(6.5)
65
6.2. Frottements visqueux
~g est toujours opposée au vecteur vitesse relative : elle freine le mouvement. On peut
(ii) F
donc écrire :
~g = −µg RN v̂r ,
F
ou v̂r =
~vr
.
vr
(6.6)
Figure 6.3 – Frottement de glissement à sec : le vecteur force s’oppose au vecteur vitesse.
Le graphe suivant illustre le comportement de Fg en fonction de la vitesse. On remarquera
la constance de Fg pour de petites vitesses.
Figure 6.4 – Force de frottement de glissement versus vitesse relative des surfaces en contact.
6.2
Frottements visqueux
A côté de ces frottements à sec, nous avons les forces de frottement visqueux, dont les lois
qui les définissent font apparaı̂tre explicitement la norme du vecteur vitesse et l’aire de la surface
de contact. Notons, par exemple, la loi de Newton pour deux surfaces A et B en contact sur une
étendue d’aire S, de vitesse relative vr , ayant une interface d’épaisseur h, remplie d’un fluide
(gaz ou liquide, gaz ou huile par exemple).
F =−
µS
~vr .
h
(6.7)
Le facteur µ est le coefficient de viscosité. Il est une caractéristique du milieu remplissant l’interface. Notons aussi la loi de force de frottement visqueux sur une sphère de rayon a se mouvant
dans un milieu visqueux : F = −6a µ ρ~v , où µ est le coefficient de viscosité et ρ la masse
volumique du fluide.
66
6. Forces de frottements
Substance à l’interface
Air
Eau
Glycérine
Essence
Huile minérale
µ
0,00018 pour 16◦ C
0,0114 pour 15◦ C
13,93 pour 18◦ C
0,0053 pour 18◦ C
0,833 pour 50◦ C
Table 6.2 – Coefficients de frottement visqueux µ pour certaines substances, en g cm−1 s−1 .
Figure 6.5 – Force de frottement visqueux entre deux surfaces.
Figure 6.6 – Force de frottement visqueux entre la surface d’un corps, ici une sphère, et le
fluide qui l’entoure.
~ = −F~v , l’objet peut atteindre une
Lorsque F est ainsi proportionnelle à la vitesse, F
vitesse limite, donc atteint un mouvement uniforme après un temps en principe infini, mais en
fait considéré comme égal à quelques unités d’un temps caractéristique. La vitesse limite vρ est
~ + F~ = ~0, où F~ est la résultante des autres forces supposée constante.
déterminée par léquation F
vρ =
F
.
F
(6.8)
Pour des vitesses plus importantes, la loi de force de résistance peut changer. On obtient
par exemple une dépendance en le carré de la vitesse
~ = −k v ~v ,
F
F = k v2 .
(6.9)
Cela est dû à la modification de l’allure de l’écoulement du fluide autour du corps.
Enfin, lorsqu’un corps roule sur un autre, ou pivote, on note l’existence de forces et de couples
de frottement, dits de roulement ou de pivotement, concepts qui relèvent de la mécanique du
solide.
Chapitre 7
Quantité de mouvement et sa
conservation
Université Paris Diderot Paris 7,
7.1
Notes de cours de JP Gazeau, 2011
Systèmes matériels, quantité de mouvement et centre de
masse
Un ensemble de N points matériels est caractérisé à tout instant par une certaine répartition
de masse dans l’espace :
N
X
Mtot =
mi .
(7.1)
i=1
Si le nombre N de points matériels composant le système est si grand par unité de volume que
l’on doive envisager une distribution continue de masse, on introduit le fonction densité de masse
∆m
dm
≡
,
∆V →0 ∆V
dV
M 7→ ρ(M ) = ρ(x, y, z) = lim
(7.2)
où ∆V est un petit volume de masse ∆m contenant le point M . La masse totale est alors donnée
'$
uM
&%
∆V
Figure 7.1 – Masse ∆m dans petit volume autour du point M .
par l’intégrale triple
Mtot =
ZZZ
ρ(M ) dV =
ZZZ
ρ(x, y, z) dx dy dz ,
(7.3)
68
7. Quantité de mouvement et sa conservation
ou par l’intégrale double
Mtot =
ZZ
σ(M ) dS ,
(7.4)
pour une distribution de surface, ou par l’intégrale simple
Z
Mtot = λ(M ) ds ,
(7.5)
pour une distribution linéaire.
La quantité de mouvement d’un système matériel S en mouvement par rapport à un
référentiel K est la somme des quantités de mouvement de ses constituants :
p~tot =
N
X
mi ~vMi /K =
i=1
N
X
p~i ,
(7.6)
i=1
expression qu’il faudrait écrire
p~tot =
ZZZ
~vM/K ρ(M ) dV
(7.7)
dans le cas continu. Pour des raisons de simplicité on s’en tiendra à la première notation, gardant
à l’esprit cette généralisation pour des répartitions continues de masse.
A toute répartition de masse d’un système de points matériels Mi correspond un point
privilégié G dit centre de masse ou barycentre du système, défini par l’équation vectorielle,
N
X
−−→
mi GMi = ~0 ,
(7.8)
i=1
ou, d’une manière équivalente, en se référant à une origine O dans l’espace,
−−→
OG =
N
−−→
1 X
mi OMi .
mtot
(7.9)
i=1
La dérivée temporelle de son vecteur position par rapport à un référentiel centré en O est donc
égale à :
−−→
N
dOG
1 X
p~tot
= ~vG/K =
mi ~vMi /K =
,
(7.10)
dt
mtot
mtot
i=1
toutes les masses étant supposées conservées ici. Ainsi, le vecteur quantité de mouvement totale
est le vecteur vitesse du centre de masse multiplié par la masse totale.
Le centre de masse joue un rôle privilégié dans le choix du référentiel, puisque dans référentiel
KG centré en G, dit barycentrique, le vecteur quantité de mouvement totale est nul. Il est clair
que le choix du référentiel barycentrique peut se révéler le plus commode dans des problèmes
comme ceux relevant des collisions.
69
7.2. Mouvement du centre de masse et deuxième loi de Newton
7.2
Mouvement du centre de masse et deuxième loi de Newton
Etudions le mouvement d’un système matériel S soumis à des forces, ce qui signifie que
chaque point Mi de S est soumis à une résultante de forces internes et externes au système :
F~→Mi = F~ext→Mi +
N
X
j=1
F~Mj →Mi ≡ F~i +
N
X
F~ji .
(7.11)
j=1
Selon que le repère K est galiléen ou non, les forces externes n’incluent que des forces dues
~
Fext→Mi
r
Mi A
A
AAU
F~Mj →Mi
Figure 7.2 – Forces externes et internes agissant sur un point Mi d’un système matériel S.
à l’environnement ou incluent aussi des forces inertielles. La loi de Newton appliquée au point
matériel Mi donne :
N
X
d~
p
i
.
(7.12)
F~i +
F~ji =
dt K
j=1
Additionnons toutes ces relations vectorielles en utilisant maintenant la troisième loi de Newton
(principe de l’action-réaction) pour tout couple de points (Mi , Mj ) qui stipule que
F~ji + F~ij = ~0 ,
(7.13)
et qui implique en particulier l’absence d’auto-interaction, F~ii = ~0. Il s’ensuit l’équation
N
X
F~i = F~ext tot =
i=1
On peut donc conclure ce qui suit.
X d~
pi
i
dt
=
d~
ptot
= mtot ~γG/K .
dt
(7.14)
Un système matériel soumis à des forces (internes et externes) se meut dans l’espace de
telle sorte que la dérivée de son vecteur quantité de mouvement totale est égale à la résultante
des forces externes seulement. Le mouvement de son centre de masse est donc celui d’un point
matériel de masse mtot , la masse totale du système, soumis à la force totale externe (y compris
les forces inertielles).
7.3
La quantité de mouvement est conservée
Comme conséquence de l’équation (7.14), le vecteur quantité de mouvement totale est
conservé en l’absence de force externe.
Si la résultante des forces externes dues à l’environnement est nulle, c’est-à-dire si on peut
considérer le système comme isolé dans l’espace, alors le vecteur quantité de mouvement total
70
7. Quantité de mouvement et sa conservation
est conservé : le centre de masse effectue un mouvement de translation rectiligne uniforme.
Choisissant les axes du référentiel barycentrique KG comme étant parallèles à tout instant à
ceux d’un référentiel galiléen, il en résulte que KG est lui-même galiléen.
La conservation du vecteur quantité de mouvement totale d’un système matériel isolé est
issue de l’homogénéité de notre espace : aucun point n’est privilégié, tout point O peut servir
d’origine spatiale pour un référentiel galiléen.
Pour un système isolé où il y a échange possible de masse entre ses constituants, la masse
totale est conservée. C’est aussi une loi de conservation qui vient s’ajouter à celle de la quantité
de mouvement totale du système.
Ces lois de conservation sont bien utiles quand il s’agit d’étudier les collisions de particules
entre elles ou avec des parois rigides.
Exemple d’application : Radioactivité
Un noyau radioactif, initialement au repos, subit un processus de désintégration en émettant
un électron et un neutrino à angle droit l’un de l’autre. La quantité de mouvement de l’électron
est égale à 1, 2 × 10−22 kg m/s, et celle du neutrino est de 6, 4 × 10−23 kg m/s.
Déterminons les direction et norme de la quantité de mouvement du noyau dans son mouvement de recul. Après désintégration, le vecteur quantité de mouvement totale est nul :
~0 = p~n + p~e + p~ν ,
soit en projection sur les axes orthogonaux orientés selon p~e et p~ν et de vecteurs unitaires ı̂ et ̂
respectivement :
p~n = −
p~e
p~ν
· p~n ı̂ −
· p~n ̂ ≡ k~
pn k(cos θı̂ + sin θ̂) .
k~
pe k
k~
pν k
Cela nous donne
k~
pn k =
7.4
7.4.1
p
k~
pe k2 + k~
pν k2 = 1, 36 10−22 kg m/s ,
θ = arctan
k~
pν k
+ π = 208◦ .
k~
pe k
Systèmes à masse variable
Systèmes à masse variable : l’équation
Considérons un système matériel S de masse M qui se déplace avec un vecteur vitesse ~v par
rapport à un référentiel galiléen K. Il est soumis à une force totale externe F~ext . Au bout d’un
petit intervalle de temps ∆t la masse M du système a diminué d’une quantité (∆M )ej ≡ −∆M ,
cette dernière étant éjectée avec un vecteur vitesse ~u est le vecteur vitesse de la masse éjectée
par rapport au même référentiel galiléen K.
La 2ème loi de Newton dans sa version approchée nous apprend que sur un petit intervalle
de temps ∆t la variation du vecteur quantité de mouvement par rapport à K du système matériel
71
7.4. Systèmes à masse variable
considéré est donnée par ∆~
p ≈ F~ext ∆t. A l’instant t le système S a pour vecteur quantité de
mouvement p~ = M ~v . A l’instant t + ∆t le système devient S(t + ∆t)∪(masse éjectée), avec,
comme vecteur quantité de mouvement, (M − ∆Mej ) (~v + ∆~v ) + ∆Mej . Ainsi,
F~ext ∆t ≈ (M − ∆Mej ) (~v + ∆~v ) + ∆Mej ~u − M ~v ,
(7.15)
et donc, en introduisant le vecteur vitesse relative ~urel = ~u − ~v , on obtient :
∆Mej
∆~v
F~ext ≈ M
+ (~urel − ∆~v )
.
∆t
∆t
(7.16)
En négligeant le terme du deuxième ordre, on obtient en passant à la limite :
dMej
d~v dM
d~v dMej
+
~urel = M
+
~v +
~u ,
F~ext = M
dt
dt
dt
dt
dt
(7.17)
et donc on peut exprimer le “défaut” à la loi de Newton appliquée au système S par :
dMej
d~
p
F~ext −
=
~u .
dt
dt
(7.18)
De la relation (7.17) on déduit la relation fondamentale de la dynamique pour les systèmes à
masse variable :
F~ext + F~poussée = M~γ ,
(7.19)
où ~γ est le vecteur accélération de S par rapport à K, et où l’expression du vecteur force de
poussée, dit encore de réaction est donnée par :
dMej
dM
F~poussée = −
~urel =
~urel .
dt
dt
(7.20)
On note qu’on ne peut pas traiter la masse M = M (t) de la fusée comme une simple variable
dans l’utilisation de la 2ème loi de Newton sous la forme suivante :
d(M~v )
F~ext =
.
dt
(7.21)
En effet, en comparant (7.18) et (7.19), on trouve une différence (et donc l’erreur à ne pas faire !).
En effet, si on adoptait (7.21), on trouverait une force de poussée égale à −(dM/dt) ~v et non
(dM/dt) (~u − ~v ). La loi (7.21) est un cas spécial de (7.18) : M est constante ou ~vg = ~0. On ne
d~
p
peut utiliser la loi de Newton F~ext =
pour analyser des systèmes à masse variable qu’à la
dt
condition de ne l’appliquer qu’au système tout entier qui doit être de masse constante et au sein
duquel il peut y avoir un échange de masses.
Exemple : la fusée
Un combustible communément utilisé pour les fusées est un mélange de kérosène (carburant)
et d’oxygène liquide (comburant), capable de fournir une vitesse d’éjection urel de l’ordre de
2, 5 km/s. En négligeant les forces d’attraction gravitationnelle terrestre, les poids des réservoirs,
des pompes, etc, déterminons combien de kilogrammes de combustible par charge utile est
72
7. Quantité de mouvement et sa conservation
nécessaire pour qu’une fusée initialement au repos puisse atteindre une vitesse dépassant de
1/10ème la vitesse de libération de l’attraction terrestre ≈ 11, 2 kms−1 .
Avec les approximations considérées, l’équation (7.19), en projection selon la verticale,
s’écrit
dM
dv
−
ur = M
, ur = k~urel k .
dt
dt
L’intégration de cette équation donne,
vfin = −ur ln
Mutil
,
Mcomb + Mutil
soit
11 vl
Mutil
vfin
− 1 = exp
= 137, 1 .
= exp
Mcomb
ur
10 ur
Le poids initial de la sonde martienne Mariner 4 vers Mars en 1964 était de 90720 kg et la charge
utile d’environ 227 kg, soit un rapport combustible/charge utile de ≈ 400/1. Avec un tel rapport,
la vitesse finale atteinte par une fusée initialement au repos peut donc atteindre :
vfin = 2, 5 ln 401 ≈ 15 kms−1 .
La vitesse réellement atteinte par la fusée porteuse fut d’environ 24 km/s, ce qui est beaucoup
plus que la vitesse calculée ci-dessus. Même si les forces externes (attraction terrestre et résistance
de l’air), ainsi que les poids supplémentaires, ralentissent la fusée, l’abandon de chaque étage
procure une impulsion supplémentaire. Il faut de plus tenir compte de la vitesse de la Terre sur
son orbite autour du soleil (≈ 0, 5 km/s) et celle du point de lancement à la surface de la Terre
par rapport au centre de celle-ci (≈ 30 km/s).
Chapitre 8
L’énergie et sa conservation
Université Paris Diderot Paris 7,
8.1
8.1.1
Notes de cours de JP Gazeau, 2011
Travail d’une force et théorème de l’énergie cinétique. Puissance
Travail
Lorsqu’on fait glisser un corps sur un autre, on fournit un certain travail localement proportionnel à l’intensité de la force efficace (projection de la force le long du déplacement) et au
déplacement. Cela s’exprime par le produit scalaire des vecteurs force et déplacement.
∆W ∝ F~ · ∆~r .
On définit plus précisément le travail infinitésimal dW d’une force F~→M (qui n’est pas obligatoirement la force totale) accompli durant le déplacement infinitesimal d~r d’un point matériel
par le product scalaire
dW
= F~→M · d~r
= Fx dx + Fy dy + Fz dz.
(8.1)
_
Le travail effectué par la force au cours du trajet AB le long de la trajectoire est la somme
de tous ces travaux élémentaires, exprimée sous la forme de l’intégrale curviligne”
Z
~
~
WA→B (F ) =
r (Joules)
_ F→M · d~
AB
Z xB
=
Fx (x, y(x), z(x))dx + 2 autres.
(8.2)
xA
Remarquons l’additivité du travail par rapport à la force : W (F~1 + F~2 ) = W (F~1 ) + W (F~2 )
ou par rapport au trajet : WA→C = WA→B + WB→C .
74
8. L’énergie et sa conservation
_
Figure 8.1 –R Le travail de la force F~→M le long du chemin AB est l’intégrale curviligne
WA→B (F~ ) = _ F~→M · d~r.
AB
Figure 8.2 – Le travail est additif par rapport au trajet : WA→C = WA→B + WB→C
_
Par contre si AA désigne un chemin fermé non réduit à un point, WA→A n’est pas obligatiorement égal à zero. Si la force est constante, c’est-à-dire ne dépend pas de la position, on
a:
WA→B (F~ ) = Fx
Z
xB
xA
dx + Fy
Z
yB
dy + Fz
yA
Z
zB
dz
zA
= Fx (xB − xA ) + Fy (yB − yA ) + Fz (zB − zA )
−−→
= F~ · AB
−−→
Le travail ne dépend alors que du déplacement net AB.
(8.3)
8.1. Travail d’une force et théorème de l’énergie cinétique. Puissance
75
Figure 8.3 – Le travail d’un vecteur force constant ne dépend pas du chemin suivi : WA→B (F~ ) =
~
F~ · AB.
8.1.2
Théorème de l’énergie cinétique
Si la force F~→M est la force totale exercée sur le point matériel on utilise (que le référentiel
d~v
soit galiléen ou non) la deuxième loi de Newton F~tot→M = m
pour transformer le produit
dt
scalaire sous le signe somme.
d~v
d~r
1
F~tot→M · d~r = m · d~r = md~v ·
= m~v · d~v = md(v 2 ).
dt
dt
2
(8.4)
L’intégrale devient triviale à calculer, puisque c’est celle portant sur une différentielle totale
Z
1
1
2
2
− vA
).
(8.5)
WA→B (F~tot ) = m _ dv 2 = m(vB
2
2
AB
On appelle la quantité Ec = 12 mv 2 , fonction scalaire de la position de M , l’énergie cinétique
de point matériel M . Ainsi :
WA→B (F~tot ) = Ec (B) − Ec (A) = ∆Ec
(8.6)
(variation de l’énergie cinétique entre A et B).
On vient d’établir ce qui est communément appelé le théorème l’énergie cinétique.
Un exemple peut être tiré du paragraphe précédent où l’on constate que tout frottement de
~g = −Fg (v)v̂, Fg (v) > 0, engendre une perte
glissement à sec ou visqueux, décrit par une force F
~
~ s’opposant à tout déplacement d~r :
de l’énergie cinétique, puisque Fg · d~r < 0, tout frottement F
Z
Z
Z
~
~
WA→B (Fg ) = _ Fg · d~r = − _ Fg (v) v̂ · d~r = − _ Fg (v) ~v dt < 0 .
(8.7)
AB
8.1.3
AB
AB
Puissance
Un concept physique lié à celui du travail est la puissance, introduite lorsqu’on s’intéresse
au taux de travail effectué par une force par unité de temps. On définit la puissance moyenne
développée par une force entre les instants t1 et t2 comme le rapport
P̄12 =
WM1 →M2 (F~ )
t2 − t1
(Watt) ,
(8.8)
76
8. L’énergie et sa conservation
et la puissance instantanée, à l’instant t1 ≡ t, comme la limité de ce rapport lorsque t2 → t1 .
∆W
dW
=
∆t→0 ∆t
dt
P (t) = lim
(Watt) .
(8.9)
Puisque dW = F~ · d~r,
d~r
= F~ · ~v .
P (t) = F~ ·
dt
(8.10)
Inversement, on pourra evaluer le travail accompli par la force entre deux instants t1 et t2
si l’on connaı̂t la fonction P (t) = F~ · ~v :
Z t2
P (t)dt
(8.11)
W (t1 , t2 ) =
t1
On retiendra donc deux intégrales pour définir le travail : l’une qui met en jeu la trajectoire
spatiale, l’autre le temps écoulé. A titre d’exemple la puissance pouvant être développée par un
être humain est de l’ordre du cheval-vapeur (CV) : 1CV = 745,7 W : par exemple, l’expérience
de cours consistant à monter le plus rapidement possible du bas en haut de l’amphithéatre (un
hauteur d’environ 3 m) en 5 s environ pour un masse de 80 kg donne une puissance P = mgh/t ≈
400 W.
8.2
Forces conservatives et énergie potentielle
_
Le travail de certaines forces ne dépend pas du chemin suivi AB
Z
Z
~
r = _ F~→M · d~r ,
_ F→M · d~
ABI
(8.12)
ABII
pour tous les trajets possibles (I), (II), . . . .
Figure 8.4 – 2 trajets pour aller de A à B et même travail d’une force conservative.
Une façon équivalente de décrire cette propriété est de remarquer que le travail d’une telle
force le long de tout chemin fermé est nul :
Z
Z
Z
~→M · d~r =
~→M · d~r +
~
F
F
r=0
(8.13)
_
_
_ F→M · d~
ABA
On notera
H
F~→M · d~r = 0.
ABI
BAII
77
8.2. Forces conservatives et énergie potentielle
Figure 8.5 – Un chemin fermé A → B → A et travail nul pour une force conservative.
On dit alors que la force est conservative. Cela signifie aussi qu’il existe un champ scalaire
M 7→ EP (M ) associé à F~→M défini par la relation différentielle :
dEP = −F~→M · d~r .
(8.14)
Le signe “-” provient d’un convention dont on verra la pertinence par la suite. Puisque par
−−→
−→
~ p d’un champ scalaire : dEp = −
définition du gradient gradEp ≡ ∇E
grad Ep · d~r, on obtient par
identification :

 −∂Ep /∂x
−−→
−∂Ep /∂y .
(8.15)
F~→M = −gradEp =

−∂Ep /∂z
Reécrite en termes d’une intégrale de travail, cette propriété devient
Z
Z
WA→B (F~→M ) = _ F~→M · d~r = − _ dEP = −(Ep (B) − EA (A)) .
AB
(8.16)
AB
Le travail d’une force conservative est donc moins la variation entre A et B de la grandeur
Ep (M ), dite énergie potentielle du point M quand il est soumis à la force F~→M , ou encore
énergie potentielle de la force en question. La définition intégrale de l’énergie potentielle découle
de l’expression ci-dessus :
Z
Ep (M ) = cste + _ F~→M 0 · d~r0 .
(8.17)
MB
(attention à la place du point M , précisément à cause de la convention de signe pour l’énergie
potentielle !)
La constante, ici égale à Ep (B), peut être choisie arbitrairement, puisqu’elle est liée au choix
arbitraire de B.
Donnons quelques exemples d’énergies potentielles et donc de forces conservatives (on parlera aussi de fonctions de force).
• Celle associée à la force de pesanteur à la surface de la Terre
P~ = −mg k̂ = m~g
P~ · d~r = −mgdz.
Ainsi :
Ep (M ) − Ep (0) = −
Z
_
MO
mgdz 0 = −mg(0 − z) = mgz
(8.18)
(8.19)
(8.20)
78
8. L’énergie et sa conservation
Figure 8.6 – Le poids comme force conservative.
On choisit souvent Ep (0) = 0 (“énergie potentielle de la pesanteur nulle à la surface du
sol”, mais ce choix n’est pas toujours le plus commode !). Alors, Ep (M ) ≡ Ep (z) = mgz.
• Plus généralement, pour un champ de force constant F~ = F~0 :
−−→
Ep (M ) = Ep (B) − BM · F~0
(8.21)
• Pour une force de rappel “parfait” :
F~→M = −k∆~r,
(8.22)
où ∆~r = ~r − ~r0 est le déplacement par rapport à la situation dite au repos, on a :
Z
Ep (M ) = Ep (B) + k _ (r~0 − ~r0 ) · dr~0
(8.23)
BM
1
1
(r~0 − ~r0 ) · dr~0 = d(r~0 · r~0 ) − dr~0 · ~r0 = d(r02 − 2r~0 · ~r0 + r02 ) .
2
2
(8.24)
Ainsi :
k
Ep (M ) = Ep (M0 ) + k~r − ~r0 k2 .
2
(8.25)
On choisit généralement la constante nulle (Ep (M0 ) = 0 à la position au repos).
En particulier, pour un ressort de longueur au repos l0 (on dira aussi “longueur à vide”
pour éviter les confusions avec “longueur à l’équilibre”), agissant horizontalement sur une
masse qui repose sur une surface parfaitement lisse :
F~→M = −k(x − l0 )ı̂
1
Ep (M ) ≡ Ep (x) = k(l0 − x)2 .
2
(8.26)
(8.27)
• L’énergie potentielle associée à la force gravitationnelle exercée par une masse ponctuelle
M supposée immobile en O (on par une sphère centrée en O, de même masse, de densité
à symétrie sphérique) sur une autre masse m (extérieure à la sphère), à une distance r
de O :
Ep (M ) = −GMm
Z
_
M∞
dr~0 · ûr
+ cste .
r02
(8.28)
79
8.2. Forces conservatives et énergie potentielle
Figure 8.7 – Une force de rappel comme force conservative.
Figure 8.8 – Le rappel dû à un ressort comme force conservative.
Puisque ûr · d~r0 = dr0 , on obtient
GMm
.
(8.29)
r
Généralement, on choisit la constante, qui est la valeur de Ep à l’infini, égale à zéro.
Ep (M ) ≡ Ep (r) = cste −
Figure 8.9 – La force d’attraction gravitationnelle comme force conservative.
Il est commode dans ce dernier exemple d’introduire la notion de potentiel gravitationnel
E (M )
~ ) = F~→M .
V (M ) = pm associé au champ gravitationnel E(M
m
V (M ) = −
GM
,
r
~ ) = ∇v(M
~
E(M
).
(8.30)
Dans le cas général d’une distribution arbitraire des masses, décrite par la fonction densité
de masse ρ(M ) = dm
dV , le potentiel gravitationnel obéit à l’équation différentielle dite de Poisson :
∆V =
∂2V
∂2V
∂2V
+
+
= −4πGρ .
∂x2
∂y 2
∂z 2
(8.31)
80
8. L’énergie et sa conservation
La solution génerale de cette équation est :
ZZZ
ρ(M 0 )dV 0
V (M ) = −G
.
k~r − r~0 k
(8.32)
On obtient des résultats similaires pour les forces électrostatiques (loi de Coulomb).
Figure 8.10 – Attraction gravitationnelle due à une répartition de masse.
Associées au concept d’énergie potentielle sont les équipotentielles, surfaces dans l’espace
de même énergie potentielle Ep (M ) = C, et les lignes de force, perpendiculaires à ces surfaces,
le long desquelles la variation de la force est maximum. Le vecteur F~→M est tangent en M à la
ligne de force intersectant à angle droit la surface équipotentielle passant par M .
Figure 8.11 – Equipotentielles et champ de force correspondant.
Signalons dans le cas du mouvement rectiligne une visualisation commode de l’effet d’une
force conservative F~ = F (x)ı̂ sur une particule : le graphe de son énergie potentielle Ep (x),
dEp
comme fonction du paramètre de position x. Puisque F (x) = −
, la pente en tout point du
dx
graphe est égale à −F (x), comme on le montre sur la figure 8.12.
Dans l’exemple ci-dessus, nous avons des positions d’équilibre en xeq , x0eq (pente nulle donc
force nulle).
Une condition d’équilibre stable (resp. instable) est que la force soit de rappel, c’est-à-dire
toujours dirigée vers la position d’équilibre (rep. de répulsion, c’est-à-dire s’éloigne de cette
81
8.3. L’énergie mécanique et sa conservation
Figure 8.12 – Un graphe d’énergie potentielle dans le cas d’un mouvement rectiligne.
position), ou encore que
d2 Ep d
=−
F (x) > 0
2
dx xeq
dx
xeq
(resp < 0) .
(8.33)
On a là une explication du signe “-” dans la relation entre la force et son énergie potentielle,
puisque un vallon (resp. un sommet) dans le graphe représente un voisinage de position stable
(resp. instable).
8.3
L’énergie mécanique et sa conservation
Tout d’abord, supposons que la totalité des forces agissant sur un point matériel soient
conservatives, donc dérivent d’une énergie potentielle Ep (M ). Du théorème de l’énergie cinétique
et de la définition de Ep (M ) on tire la relation :
WA→B (F~tot ) = Ep (A) − Ep (B) .
(8.34)
||
Ec (B) − Ec (A)
Ainsi : Ec (A) + Ep (A) = Ec (B) + Ep (B), quels que soient les points A et B choisis sur la
trajectoire. Autrement dit, la quantité
Em (M ) = Ec (M ) + Ep (M ) ,
(8.35)
dite énergie mécanique du point M , est conservée au cours de son mouvement : Em (M ) = E0 .
C’est ce qu’on exprime parfois comme le théorème de l’énergie mécanique.
Exemple : vitesse de libération de l’attraction terrestre
La vitesse de libération vl de l’attraction terrestre d’une fusée de masse initiale mf est
calculée à partir de la conservation de l’énergie mécanique, en prenant pour situation initiale
82
8. L’énergie et sa conservation
une vitesse vl à la surface de la Terre, là où l’énergie potentielle est donnée par Ep (r = RT ) =
−G MT mf /RT , et la situation finale à l’“infini” avec une vitesse nulle. Ainsi
r
p
GMT mf
1
2GMT
2
= 0 , soit vl =
= 2RT g ≈ 11, 2 kms−1 .
Em = mf vl −
2
RT
RT
Dans le mouvement rectiligne étudié sur le graphe de l’énergie potentielle, pour une énergie
mécanique E0 donnée, le mouvement n’a lieu que dans ces intervalles de l’axe des x où l’énergie
cinétique Ec (x) = E0 − Ep (x) est définie, c’est-à-dire positive ; le mouvement est donc possible
pour les valeurs de x satisfaisant à l’inégalité
E0 − Ep (x) ≥ 0 .
(8.36)
Figure 8.13 – Mouvements possibles ou impossibles selon que l’énergie mécanique est supérieure
ou inférieure à l’énergie potentielle.
On remarquera que l’énergie cinétique possède un graphe symétrique de celui de Ep (x)
par rapport à la droite Ep = E0 /2 : en effet, l’équation Ec (x) = E0 − Ep (x) est équivalente à
Ec (x) − E0 /2 = E0 /2 − Ep (x). Le mouvement est limité à gauche et à droite entre x1 et x2 ,
positions en lesquelles la vitesse s’annule : on y trouve un mouvement périodique. La période,
qui est l’intervalle de temps séparant deux passages successifs en le même point, disons x1 , est
la double du temps mis pour aller de x1 à x2 . Il se calcule par intégration directe de l’équation
différentielle qui conditionne la conservation de lénergie
2
1
dx
+ Ep (x),
(8.37)
E0 = m
2
dt
r
dx
m
p
soit dt =
,
(8.38)
2 E0 − Ep (x)
r Z x
dx0
m
p
soit t − t0 =
, x1 ≤ x0 ≤ x2 .
(8.39)
2 x0 E0 − Ep (x0 )
Ce type d’intégrale obtenue par la méthode dite de résolution par quadrature apparaı̂t très
fréquemment comme solution de problèmes de mécanique. Elle définit une fonction t = f (x),
83
8.4. Le pendule simple comme exemple
croissante strictement dans l’intervalle considéré. Ainsi la réciproque existe, x = f −1 (t), qui
généralement ne peut être obtenue que pas des méthodes numériques.
La période du mouvement entre x1 et x2 est donc :
Z x2
√
dx
p
T = 2m
.
E0 − Ep (x)
x1
(8.40)
A droite de x3 , on a un mouvement non périodique, avec un seul point de rebroussement
en x3 . La solution s’écrit maintenant :
Z x
dx0
p
t − t0 =
, x0 ≥ x3 .
(8.41)
E0 − Ep (x0 )
x0
8.4
Le pendule simple comme exemple
Le pendule dit simple est constitué d’un fil de masse négligeable et d’une masse ponctuelle.
L’extrémité O du fil OM , de longueur l, est fixée à un certain support (e.g. plafond). L’objet
ponctuel de masse m est suspendu en M . L’objet est écarté d’un angle θ0 de la verticale puis
lancé de manière à ce qu’il effectue un mouvement plan. Trouvons l’équation du mouvement
pour l’angle à la verticale θ(t) en utilisant la conservation de l’énergie.
La tension du fil ne travaille pas, étant perpendiculaire au déplacement (fil rigide). Les frottements sont négligés. La seule force qui travaille est le poids, qui dérive de l’énergie potentielle :
~ p , soit mg = −dEp /dx, soit encore Ep = −mgx+cste. Il y a donc conservation de
P~ = −∇E
l’énergie mécanique :
1
Em = Ec + Ep = m l2 θ̇2 − m g l cos θ = cste ,
2
(8.42)
où la constante est déterminée par les conditions initiales, par exemple = −m g l cos θ0 si le
pendule est lâché à l’angle θ0 sans vitesse initiale.
Introduisons les coordonnées polaires (r, θ) dans le plan vertical (O,ı̂,̂) tel qu’il est défini
sur la figure 8.14 :
Vecteurs position et vitesse sont données dans ce repère par :
−−→
OM = l ûr ,
~v = l θ̇ ûθ .
L’équation issue de la conservation de l’énergie, compte-tenu des conditions initiales comme quoi
à t = 0, θ = θ0 ≤ π et θ̇ = 0, s’écrit donc :
dθ
dt
2
g
= 2 (cos θ − cos θ0 ) .
l
(8.43)
(Il est bien sûr intéressant d’explorer des mouvements plus généraux issus de conditions initiales
quelconques, comme celles conduisant à des mouvements circulaires, à révolution complète, à
condition que le fil soit rigide !)
84
8. L’énergie et sa conservation
ûθ
̂
g
k̂ ×@
-
@
θ @
ı̂
?
y
@ ûr
R
@
@
l @
@
@sM
x
~ = lûr .
Figure 8.14 – Mouvement plan du pendule simple en coordonnées polaires r = l, θ : OM
On note immédiatement que le mouvement ne peut avoir lieu que si l’expression de droite
est positive, soit pour θ ≤ θ0 . Prenons la racine carrée de (8.43) et effectuons la séparation des
variables,
s
l
dθ
√
dt = ±
.
0
2g cos θ − cos θ0
Cela conduit à la solution complète sous forme de fonction t = t(θ) définie par l’intégrale :
s Z
dθ0
l θ
.
√
t − t0 =
(8.44)
0
2g
cos θ − cos θ θ0
0
Cette fonction (ou intégrale) est dite elliptique. Elle est périodique, de période T égale à 4 fois
le temps mis par le pendule à aller de son amplitude maximale θ0 à la position verticale θ = 0 :
s Z
2l θ0
dθ
√
T = T (θ0 ) = 2
,
(8.45)
g 0
cos θ − cos θ0
Cette quantité est donc fonction de l’amplitude θ0 . Dans le cas des petites oscillations, i.e. θ0 /π
petit devant 1, cos θ ≈ 1 − θ2 /2, cos θ0 ≈ 1 − θ02 /2. Les intégrales (8.44) et (8.45) se calculent
exactement grâce au changement de variable x = θ/θ0 :
s
s Z
r
l 1
dx
l
θ
g
√
t − t0 =
=
arccos
soit θ = θ0 cos
(t − t0 ) ,
(8.46)
g 0
g
θ0
l
1 − x2
s Z
s
l 1
dx
l
√
T =4
= 2π
.
(8.47)
2
g 0
g
1−x
et donc devient indépendante de l’amplitude.
On notera que la dérivée temporelle de l’équation (8.43) conduit à l’équation différentielle
du second ordre,
g
θ̈ + sin θ = 0 .
(8.48)
l
85
8.5. L’énergie est conservée !
C’est celle précisément que nous aurions obtenue par application directe de la deuxième loi
de Newton en projection selon la direction orthoradiale ûθ (pour se débarrasser de la tension
T~ = −T ûr ). En effet,
tot
F~→M
= (mg cos θ − T )ûr − mg sin θûθ = m~γ = m(−lθ̇2 ~ur + lθ̈~uθ ) .
(8.49)
Dans le cas de petites amplitudes initiale, l’équation différentielle (8.48) devient avec sin θ ≈ θ :
g
θ̈ + θ = 0 ,
(8.50)
l
et donc correspond à un mouvement purement harmonique dont la solution sinusoı̈dale, compte
tenu des mêmes conditions initiales, est immédiate et bien sûr identique à celle obtenue directement par la conservation de l’énergie :
r
T
g
=
,
(8.51)
θ(t) = θ0 cos ω(t − t0 ) , ω =
l
2π
La relation de l’énergie avec l’amplitude est donnée par
Em
8.5
θ2
≈ −m g l + m g l 0 , soit θ0 =
2
s
2Em
+ 2.
mgl
(8.52)
L’énergie est conservée !
Revenons au concept d’énergie. Dans un mouvement quelconque, toutes les forces ne sont
pas conservatives, particulièrement le travail des forces de frottement, toujours négatif, dépend
du chemin suivi et fournit une énergie qui peut être thermique par exemple. Désignons l’ensemble
des forces non conservatives par F~N C . Le théorème de l’énergie cinétique associé à la définition
de l’énergie potentielle pour les forces conservatives du problème s’écrira sous la forme plus
générale :
WA→B (F~tot ) = WA→B (F~c ) + WA→B (F~NC ))
||
Ec (B) − Ec (A) = Ep (A) − Ep (B) + WA→B (F~NC )
(8.53)
(8.54)
(8.55)
Ainsi,
Ec (B) + Ep (B) − (Ec (A) + Ec (A)) = WA→B (F~N C ) .
{z
} |
{z
}
|
{z
} |
−∆U
Em (A)
Em (B)
|
{z
}
∆Em
(8.56)
On peut donc énoncer le théorème de la conservation de l’énergie sous une de ses formes les
plus générales :
Toute variation de l’énergie mécanique de point matériel est égale à moins une variation
d’énergie ∆U du point matériel exprimée sous une autre forme (énergie interne etc...).
La relation ∆Em + ∆U = 0 exprime quantitativement ce théorème.
86
8. L’énergie et sa conservation
Bibliographie
[1] D. Halliday and R. Resnick. Physics, John Wiley & Sons, New York 1978.
[2] R. Jastrow Des astres, de la vie et des hommes Points Sciences, Le Seuil 1975.
[3] R. Feynman La nature de la physique Points Sciences, Le Seuil 1980.
[4] J. M. Lévy-Leblond. La physique en questions : mécanique, Vuibert, Paris 1998.
[5] L. Valentin. L’univers mécanique, Hermann, Paris 1997.
[6] J.-P. Dedonder, M. Mouchet, D. Schmaus, L. Valentin Exercices de mécanique, Hermann,
Paris 1989.
[7] J. Renault. Formulaire de physique Dunod-Bordas, Paris 1985.
[8] M. Bertin, J.-P. Faroux, J. Renault. Cours de Physique Dunod, Paris 1985.
[9] J.P. Gazeau. Mécanique du solide Cours polycopié Paris 7 1983-1987.
[10] M. R. Spiegel Mécanique générale McGraw-Hill 1985 ?
[11] S. Lipschutz. Algèbre linéaire McGraw-Hill 1994
[12] F. Ayres. Calcul différentiel et intégral McGraw-Hill 1985 ?

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