geometrie 2009

GEOMETRIE ELEMENTAIRE
Mohamed HOUIMDI
Université Cadi Ayyad
Faculté des Sciences Semlalia
Département de Mathématiques
FIGURE 1 – Droite d’Euler

0 M.HOUIMDI
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Table des matières
1 Espaces affines 5
1.1 Définition et propriètés élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.1 Règlesdecalcul ................................ 6
1.1.2 Proprièté du parallélogramme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 Sous-espacesaffines .................................. 7
1.2.1 Définitionetexemples ............................. 7
1.2.2 Sous-espace affine engendré par un ensemble de points . . . . . . . . . . . . 8
1.2.3 Intersection de deux sous-espaces affines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.4 Parallélisme de deux sous-espace affines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3 Barycentre........................................ 12
1.3.1 Fonction vectorielle de Leibnitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3.2 Définition et prooprièté du barycentre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.4 Espaces affines de dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.4.1 Repère affine - Coordonnées barycentriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.4.2 Repère cartésien - Coordonnées cartésiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.4.3 Représentation paramétrique d’un sous-espace affine . . . . . . . . . . . . . 19
1.4.4 Représentation cartésienne d’un sous-espace affine . . . . . . . . . . . . . . 21
1.5 exercices......................................... 23
2 Applications affines 29
2.1 Propriètés caractéristiques d’une application affine . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.1.1 Définition et propriètés élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.1.2 Représentation analytique d’une application affine . . . . . . . . . . . . . . 30
2.1.3 Composée de deux applications affines - Groupe affine . . . . . . . . . . . . 31
2.1.4 Points fixes d’une application affine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.2 Exemples d’applications affines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.2.1 Translation ................................... 33
2.2.2 Homothétie................................... 35
2.2.3 Projectionaffine ................................ 38
2.2.4 Symétrieaffine ................................. 42
2.3 Exercices ........................................ 47
3 Espace affine euclidiens 51
3.1 Notionsdebase..................................... 51
3.2 Repèreorthonormé ................................... 52
3.3 Sous-espaces affines orthogonaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.4 Hyperplanmédiateur .................................. 54
3.5 Perpendiculaire commune et distance de deux droites de E3.............. 56
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0 M.HOUIMDI
3.5.1 Distance de deux droites de E3......................... 57
3.6 Projectionorthogonale ................................. 59
3.6.1 Définitionetexemples ............................. 59
3.6.2 Distance d’un point à un sous-espace affine . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.6.3 Distance d’un point à une droite affine de E3................. 62
3.6.4 Distance d’un point à un plan affine affine de E3............... 63
3.7 Symétrieorthogonale.................................. 64
3.8 Isométriesaffines .................................... 65
3.8.1 Définition et propriètés de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.8.2 Isométrie du plan affine euclidien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.8.3 Isométries de l’espace affine de dimension 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.9 Exercices ........................................ 75
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Chapitre 1
Espaces affines
1.1 Définition et propriètés élémentaires
Définition 1
Soient E un R-espace vectoriel et Eun ensemble quelconque, non vide. On dit que Eest un
espace affine attaché à E (ou de direction E), s’il existe une application
E×E−→ E
(A,B)7−→ −→ AB
vérifiant les propriètés suivantes :
i) Pour tout A ∈E, l’application
E−→ E
M7−→ −→ AM est bijective.
ii) Relation de Chasles :
∀A∈E,∀B∈E,∀C∈E,−→ BC =−→ BA +−→ AC
Un espace affine Eest dit de dimension finie, si sa direction est de dimension finie. Dans ce cas,
la dimension de Eest égale à celle de sa direction.
Remarque 1
Si Eest un espace affine de direction E, alors les éléments de Esont appelés des points et sont dési-
gnés par des lettres majuscules A,B,C,D,M,N,P,.... Tandis que les éléments de E sont appelés des
vecteurs et sont désignés par des lettres minuscules surmontées d’une flêche −→ i,−→ j,−→ k,−→ u,−→ v,−→ w,....
Exemples 1
1. Si dim(E) = 1, on dit que Eest une droite affine.
2. Si dim(E) = 2, on dit que Eest un plan affine.
3. Tout R-espace vectoriel E, peut-être considéré, canoniquement, comme un espace affine attaché
à lui même, lorsqu’on considère l’application suivante :
E×E−→ E
(a,b)7−→ −→ ab =b−a
qui vérifie les conditions de la définition.
C’est pour cela que les éléments d’un R-espace vectoriel sont considérés, selon les situations,
comme des points ou comme des vecteurs.
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