COURS DE MECANIQUE GENERALE

COURS DE MECANIQUE GENERALE
ISAT - Institut Supérieur de l’Automobile et des Transports
Université de Bourgogne - Nevers
Année Universitaire 2002-2003
Paolo Vannucci

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COURS DE MECANIQUE GENERALE
Polycopies des cours de Mécanique Générale 1 et 2
dispensés à l'ISAT (Institut Supérieur de l'Automobile et des Transports),
Université de Bourgogne, par P. Vannucci
Année universitaire 2002 – 2003

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PREFACE
Ces polycopiées sont destinées à être un support pédagogique pour les élèves de la première et de la
deuxième année de l'ISAT, où je dispense le cours de Mécanique Générale depuis maintenant trois
ans. Les sujets abordés dans ce cours sont ceux établis par le Conseil Pédagogique de l’ISAT, et
approuvés par la Commission des Titres d’Ingénieur ; il s’agit de sujets typiques d’un enseignement
de mécanique dans une école d’ingénieurs. Conformément à ces indications, le cours est articulé en
trois grandes parties : cinématique, dynamique newtonienne et dynamique lagrangienne.
La cinématique se compose des chapitres 3 à 5, consacrés respectivement à la cinématique du point,
à la cinématique relative et à celle du corps rigide. Différents thèmes sont développés dans cette
partie, comme par exemple la décomposition de vitesse et accélération dans le trièdre de Frenet,
ainsi que dans les repères sphériques et cylindriques, les lois fondamentales de la cinématique, les
transformations galiléennes de repère, les angles d'Euler, la théorie des grandes et petites rotations,
les théorèmes d'Euler et de Chasles.
La dynamique newtonienne est articulée sur six chapitres ; le numéro 6 est consacré à l'introduction
des principes de Newton et des théorèmes fondamentaux de la dynamique du point, ainsi que des
principaux types de forces conservatives. Successivement, on aborde dans le chapitre 7 l'étude
classique du mouvement d'un point matériel dans un champ de force centrale, avec application à la
mécanique céleste. Le chapitre 8 est consacré à l'étude d'un type particulièrement important de
forces non conservatives, les forces dissipatives. Ensuite, dans les chapitres 9 et 11 on généralise,
respectivement aux systèmes discrets et aux corps rigides, les résultats déjà acquis pour le point
matériel. Pour la dynamique du corps rigide, les mouvements à la Poinsot sont brièvement
introduits. Le chapitre 10 est consacré à l'étude des propriétés d'inertie des systèmes matériels, outil
indispensable pour aborder la dynamique du corps rigide. Finalement, le chapitre 12 est consacré à
la dynamique impulsive, où les lois propres à l'étude des chocs sont introduites, aussi bien pour un
point matériel que pour un corps rigide, libre ou soumis à des liens.
Les chapitres 13 à 17 sont consacrés à une introduction à la mécanique lagrangienne. Plus en détail,
le chapitre 13 est consacré au Principe des Travaux Virtuels, et le 14 aux équations de Lagrange.
Successivement, ces résultats sont appliqués à l'étude de deux problèmes fondamentaux, et liés, en
mécanique : la stabilité et bifurcation des configurations d'équilibre, dans le chapitre 15, et l'analyse
des petites oscillations, dans le chapitre 16, où la théorie de l'analyse modale est montrée dans ses
lignes essentielles. Le chapitre 17 termine cette partie et le cours avec l'étude d'un cas classique,
celui de l'oscillateur simple.
Parmi les différentes approches possibles à l’étude de la mécanique générale, j’ai choisi celle qui
me semble la plus honnête, lorsqu'on s'adresse à des élèves de niveau universitaire : une approche
moderne qui fait appel à une certaine rigueur mathématique, qui seule permet d'analyser et de
donner compte des lois de la nature. Galilée même, à l'aube difficile de la mécanique, avait déjà
compris que la nature est un livre écrit avec des caractères mathématiques•. J'ai quand même essayé
de rendre cette approche la plus sobre et élégante possible, comme mes maîtres m'ont appris, et
• "La philosophie est écrite dans ce grand livre, l'univers, qui ne cesse pas d'être ouvert devant nos yeux. Mais ce livre ne peut se lire si on ne
comprends pas le langage et on ne connaît pas les caractères avec lesquels il est écrit. Or, la langue est celle des mathématiques, et les caractères sont
triangles, cercles et d'autres figures géométriques. Si on ne les connaît pas, c'est humainement impossible d'en comprendre même pas un seul mot.
Sans eux, on ne peut qu'aller à la dérive dans un labyrinthe obscur et inextricable". G. Galilei, "Il Saggiatore", Rome, 1623.

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d'utiliser une notation qui rende le plus possible lisibles les formules et les passages analytiques,
sans les aggraver d'indications non indispensables et lourdes. C'est pour cela que j'ai choisi sans
hésitation la convention typographique moderne pour les textes des mathématiques.
Dans une époque où le progrès scientifique est rapide comme jamais auparavant, même la
mécanique classique, science parmi les plus anciennes, se doit de se renouveler, évidemment non
pas dans les contenus et les résultats, mais sans doute dans les méthodes. Je n'ai donc pas eu de
doutes à utiliser l'algèbre tensorielle, outil mathématique moderne de si grande clarté et utilité dans
les applications en mécanique, qu'un effort initial, nécessaire à sa maîtrise, est à mes yeux
largement justifié et rémunéré dans la suite. C'est pour ça que le premier chapitre est consacré à une
rapide introduction à l'algèbre tensorielle, qui n'est pas exhaustive, sans doute, mais qui a pour seul
but celui d'introduire le formalisme tensoriel et les résultats dont on fera usage dans les chapitres
suivants. Dans le même chapitre sont rappelés aussi des éléments d'analyse vectorielle et de
géométrie différentielle qui seront eux aussi utilisés dans la suite du cours. Le chapitre 2 est
consacré à un sujet particulier, à mi-chemin entre les mathématiques et la mécanique, celui des
vecteurs appliqués.
Certaines connaissances des mathématiques sont bien sûr indispensables pour aborder l'étude de la
mécanique, et ce cours n'échappe pas à cette règle : si, comme indiqué auparavant, certains sujets
sont directement introduits dans le premier chapitre de ce cours, d'autres sont considérés appartenir
au bagage de connaissances du lecteur, qui doit suffisamment maîtriser le calcul différentiel et
intégral pour les fonctions d'une variable, l'algèbre linéaire, la géométrie analytique des courbes
coniques et la solution d'équations différentielles ordinaires à coefficients constants.
Pour terminer, je m’excuse à l’avance avec le lecteur si le style n’est pas excellent, et si la syntaxe
n’est pas digne d’un texte écrit. J’ai essayé, sans être sûr d'avoir réussi, de faire de mon mieux et de
ne pas trop maltraiter cette magnifique langue qui est le français, et qui n’est pas la mienne.
Nevers, 26 septembre 2002
Paolo Vannucci