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UNIVERSITE D’AIX-MARSEILLE Portail Descartes
Outils mathématiques 2019-20
Devoir à rendre le 17 février (4eenvoi)
La clarté et la qualité de la rédaction seront prises en compte dans l’évaluation.
Exercice 1 Tous les dessins dans cet exercice doivent être tracés avec une certaine précision, en
représentant les droites géométriques par des lignes bien droites.
1. Dessiner un triangle ABC et deux points Met Ntels que
−−→
AM = −→ BC + 2−→ CA + −→ AB,−→ BN = −→ BC −−→ AB.
Donner une expression du vecteur −−→ MN comme une combinaison linéaire de −→ AB et −→ BC.
2. Dessiner un parallélogramme ABCD (avec (AB) parallèle à (CD) et (BC) parallèle à (DA)).
Indiquer clairement sur le même dessin le vecteur ~u tel que
−→
AC + 2~u =−→ BD.
Exercice 2 Soit Πun plan, et soient (A, ~u1, ~u2)et (B, ~v1, ~v2)deux repères de Π. Ces deux repères
définissent deux systèmes de coordonnées cartésiennes dans Π. Supposons que les coordonnées de
B,~v1, et ~v2dans le premier système de coordonnées sont les suivantes :
B : 1
−2dans le repère (A, ~u1, ~u2);~v1:1 1, ~v2:1 −1dans la base (~u1, ~u2).
Soit Pun point donné par ses coordonnées dans le second système de coordonnées :
P : 2
−1dans le repère (B, ~v1, ~v2).
1. Trouver les coordonnées de Pdans le repère (A, ~u1, ~u2).
2. Trouver les coordonnées de −→ BP dans la base (~v1, ~v2)et ses coordonnées dans la base (~u1, ~u2).
Exercice 3 Dans cet exercice on va traiter R2comme un plan euclidien (muni de son produit
scalaire usuel). Soient δla droite dans R2d’équation cartésienne
x−2y= 3,
et Ple point (−3; 1) de R2.
1. Trouver le projeté orthogonal de Psur δ.
2. Trouver une équation cartésienne de la droite δ0passant par Pet perpendiculaire à δ.
Exercice 4 Dans l’espace euclidien R3(avec son produit scalaire usuel), soient
~u =
1
0
0
et ~v =
1
√3
0
deux vecteurs. Trouver tous les vecteurs ~w tels que k~wk= 1 et tels que ~w fasse un angle de π/3
avec chacun des vecteurs ~u et ~v.
1

Exercice 5 Dans l’espace euclidien orienté R3(avec son produit scalaire et avec son orientation
usuels), soit Πle plan composé des points (x;y;z)donnés par le paramétrage :
x=1+3t+s
y= 2 −2t
z=3+ t−s
t, s ∈R.
1. Trouver un repère (A, ~u, ~v)de Π(c’est-à-dire, un point dans Πet un couple de vecteurs directeurs
non colinéaires de Π).
2. Calculer le produit vectoriel ~u ∧~v. Trouver un vecteur non nul normal à Π.
3. Trouver une équation cartésienne de Π.
4. Soit δla droite passant par le point N = (0; 1; 2) et de vecteur directeur ~a =
2
1
0
. Trouver le
point d’intersection de δavec Π, ou alors montrer que Πet δsont parallèles.
Exercice 6
1. Résoudre dans Cl’équation
z2+ 3z+ 3 = 0.
2. On considère les deux nombres complexes suivants : z1= eiπ
3et z2= e−iπ 4. écrire z1z2sous
formes trigonométrique et algébrique.
Exercice 7 On note α= arccos(3/5) et on considère f:C→Cdéfinie par f(z)=eiαz. et
D = {z∈C,(1 + 2i)z+ (1 −2i)¯z= 2}.
1. Calculer sin αet e2iα sous forme algébrique.
2. Montrer que Ddéfinit une droite du plan dont on déterminera une équation cartésienne et un
vecteur directeur.
3. Soit w∈Cfixé. Résoudre w=f(z), c’est-à-dire trouver z∈Ctel que f(z) = w.
4. Montrer que w∈f(D) si, et seulement si(11 + 2i)w+ (11 −2i) ¯w= 10. En déduire que f(D)
est une droite dont on déterminera un vecteur directeur. Quel est l’angle non orienté entre D
et f(D) ?
5. Tracer ces droites dans un repère.
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