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UNIVERSITE D’AIX-MARSEILLE
Outils mathématiques
Portail Descartes
2019-20
Devoir à rendre le 17 février (4e envoi)
La clarté et la qualité de la rédaction seront prises en compte dans l’évaluation.
Exercice 1 Tous les dessins dans cet exercice doivent être tracés avec une certaine précision, en
représentant les droites géométriques par des lignes bien droites.
1. Dessiner un triangle ABC et deux points M et N tels que
−−→ −→
−→ −→
AM = BC + 2CA + AB,
−→ −→ −→
BN = BC − AB.
−−→
−→ −→
Donner une expression du vecteur MN comme une combinaison linéaire de AB et BC.
2. Dessiner un parallélogramme ABCD (avec (AB) parallèle à (CD) et (BC) parallèle à (DA)).
Indiquer clairement sur le même dessin le vecteur ~u tel que
−→
−→
AC + 2~u = BD.
Exercice 2 Soit Π un plan, et soient (A, ~u1 , ~u2 ) et (B, ~v1 , ~v2 ) deux repères de Π. Ces deux repères
définissent deux systèmes de coordonnées cartésiennes dans Π. Supposons que les coordonnées de
B, ~v1 , et ~v2 dans le premier système de coordonnées sont les suivantes :
1
1
1
B:
dans le repère (A, ~u1 , ~u2 ) ; ~v1 :
, ~v2 :
dans la base (~u1 , ~u2 ).
−2
1
−1
Soit P un point donné par ses coordonnées dans le second système de coordonnées :
2
P:
dans le repère (B, ~v1 , ~v2 ).
−1
1. Trouver les coordonnées de P dans le repère (A, ~u1 , ~u2 ).
−→
2. Trouver les coordonnées de BP dans la base (~v1 , ~v2 ) et ses coordonnées dans la base (~u1 , ~u2 ).
Exercice 3 Dans cet exercice on va traiter R2 comme un plan euclidien (muni de son produit
scalaire usuel). Soient δ la droite dans R2 d’équation cartésienne
x − 2y = 3,
et P le point (−3; 1) de R2 .
1. Trouver le projeté orthogonal de P sur δ.
2. Trouver une équation cartésienne de la droite δ 0 passant par P et perpendiculaire à δ.
Exercice 4 Dans l’espace euclidien R3 (avec son produit scalaire usuel), soient
 
 
1
√1
~u = 0 et ~v =  3
0
0
deux vecteurs. Trouver tous les vecteurs w
~ tels que kwk
~ = 1 et tels que w
~ fasse un angle de π/3
avec chacun des vecteurs ~u et ~v .
1
Exercice 5 Dans l’espace euclidien orienté R3 (avec son produit scalaire et avec son orientation
usuels), soit Π le plan composé des points (x; y; z) donnés par le paramétrage :

 x = 1 + 3t + s
y = 2 − 2t
t, s ∈ R.

z = 3 + t − s
1. Trouver un repère (A, ~u, ~v ) de Π (c’est-à-dire, un point dans Π et un couple de vecteurs directeurs
non colinéaires de Π).
2. Calculer le produit vectoriel ~u ∧ ~v . Trouver un vecteur non nul normal à Π.
3. Trouver une équation cartésienne de Π.
 
2
4. Soit δ la droite passant par le point N = (0; 1; 2) et de vecteur directeur ~a = 1. Trouver le
0
point d’intersection de δ avec Π, ou alors montrer que Π et δ sont parallèles.
Exercice 6
1. Résoudre dans C l’équation
z 2 + 3z + 3 = 0.
π
π
2. On considère les deux nombres complexes suivants : z1 = ei 3 et z2 = e−i 4 . écrire z1 z2 sous
formes trigonométrique et algébrique.
Exercice 7 On note α = arccos(3/5) et on considère f : C → C définie par f (z) = eiα z. et
D = {z ∈ C, (1 + 2i)z + (1 − 2i)z̄ = 2} .
1. Calculer sin α et e2iα sous forme algébrique.
2. Montrer que D définit une droite du plan dont on déterminera une équation cartésienne et un
vecteur directeur.
3. Soit w ∈ C fixé. Résoudre w = f (z), c’est-à-dire trouver z ∈ C tel que f (z) = w.
4. Montrer que w ∈ f (D) si, et seulement si(11 + 2i)w + (11 − 2i)w̄ = 10. En déduire que f (D)
est une droite dont on déterminera un vecteur directeur. Quel est l’angle non orienté entre D
et f (D) ?
5. Tracer ces droites dans un repère.
2
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