chap2

20
Fonctions affi nes.
Problèmes
du 1er degré
2
CHAPITRE
2
CHAPITRE
Activité 1
1 f (3) – f (1)
3 – 1 = 4 – 2
2 = 1 donc a = 1.
f (1) = 1 × 1 + b = 2, donc b = 1 et f (x) = x + 1.
2 Application : f (0) = 32 et f (100) = 212.
f (100) – f (0)
100 – 0 = 212 – 32
100 = 1,8.
f (0) = 1,8 × 0 + b = 32,
donc b = 32 et f (x) = 1,8x + 32.
Activité 2
2 b) Le coeffi cient a ne change pas.
c) Le coeffi cient a change mais reste le même dans les deux
équations.
d) Le coeffi cient a indique la direction, le coeffi cient b
indique l’intersection avec l’axe des ordonnées.
e) Si a > 0, la fonction est strictement croissante.
Si a = 0, la fonction est constante.
Si a < 0, la fonction est strictement décroissante.
Piste : Que pouvez-vous conjecturer concernant les points
B1, B2, …, Bn ? Pensez-vous qu’il puisse y avoir des points
An aussi loin que l’on veut de O ?
Les points B1, B2, … , Bn sont alignés sur la droite d’équation
y = – x
2 + 3
2 qui coupe l’axe des abscisses au point (3 ; 0).
Donc, pour tout n, l’abscisse de Bn (donc celle de An) est
inférieure à 3.
Il n’existe donc pas de carré tel que l’abscisse de An soit
supérieure à 3.
ACTIVITÉS
(page 53)
PROBLÈME OUVERT
Fonctions affi nes.
Problèmes
du 1er degré
EXERCICES
Application (page 55)
1
1. La représentation graphique de f est la droite
rouge, celle de g est la droite bleue et celle de h, la verte.
2. a) f (x) > – 1 pour x ∈
– ∞ ; – 4
3
.
b) g (x)  0 pour x ∈ ]– ∞ ; 6].
c) h(x)  – 1 pour x ∈ – 4
3 ; + ∞
.
2
a) S = – ∞ ; 1
10
; b) S =
8
3 ; + ∞
.
3
S = – ∞ ; 1
3
.
4
S = – ∞ ; 9
10
.
5
S = [3 ; + ∞[.
6
a)
x– ∞1
3+ ∞
3x – 1 –0+
b)
x– ∞– 5
2+ ∞
– 2x – 5 +0–

21
Chapitre 2 ● Fonctions affines. Problèmes du 1er degré
11
x– ∞1
24+
∞
2x – 1 –0+|+
– x + 4 +|+0–
(2x – 1)(– x + 4) –0+0–
S =
– ∞ ; 1
2
∪ [4 ; + ∞[.
12
x– ∞1
5
2
3+ ∞
3x – 2 –|–0+
– 5x + 1 +0–|–
(3x – 2)(– 5x + 1) –0+0–
S =
1
5 ; 2 3
.
13
x– ∞– 1
2
3
2+ ∞
x
3 – 1 2 –|–0+
2x + 1 –0+ | +
x
3 – 1 2
(2x + 1) +0–0+
S = – ∞ ; – 1
2
∪ 3
2 ; + ∞
14
1. (x – 3)2 – 52 = (x – 8)(x + 2)
x– ∞– 2 8 + ∞
x – 8 –|–0+
x + 2 –0+ | +
(x – 8)(x + 2) +0–0+
S =]– 2 ; 8[.
7
a)
x– ∞1
6+ ∞
– 2x + 1
3+0–
b)
x– ∞– 3 + ∞
1 + x
3–0+
8
a)
x– ∞0+ ∞
x
3–0+
b)
x– ∞0+ ∞
– 5x
2+0–
9
a)
x– ∞3
2+ ∞
1
3 x – 1 2–0+
b)
x– ∞– 4 + ∞
x + 4
3–0+
10
a)
x– ∞2
15 + ∞
– 12
5
x + 8
25 +0–
b)
x– ∞– 10
3+ ∞
12
25 x + 8 5–0+
19
1. La droite (AB) semble passer par C.
2. a) g(0) = 2 (donc b = 2) et g(3) = 4.
a = g(3) – g(0)
3 – 0 = 2
3, d’où g(x) = 2 3x + 2.
b) g(5) = 16
3 donc C appartient à la droite (AB) et la fonction
f peut être affi ne.
3. a) f (3) – f (0)
3 – 0 = 2
3 et f (5) – f (3)
5 – 3 =
16
3 – 4
2 = 2
3.
b) Les taux sont égaux, f peut être affi ne.
20
1. Pour le segment [AB], x appartient à [2 ; 4], et
pour la demi-droite ]BD), x appartient à ]4 ; + ∞[.
2. a) g(x) = 3
2x, h(x) = – 1 2x + 4 et k(x) = 2.
si x < 2 , f (x) = 3
2x
b)
si 2  x  4, f (x) = – 1
2x + 4
si x > 4, f (x) = 2.
EXERCICES
Apprendre à chercher (page 59)

22
24
a) f (x) = – x + 8
1 8
1
8
y
O
x
b) f (x) = 4x + 1
1
1
y
O
x
25
a) f (x) = x + 5
2
1–2
1
2
y
O
x
DROITE ET FONCTION AFFINE
22
f (x) = 2
3x +2
1–3
1
2
y
O
x
23
a) f (x) = – 1
2x + 5 2
1 5
1
2
y
O
x
b) f (x) = – 2x + 1
1
1
y
O
x
c) et d) f (x) = 2g(x) ⇔ 14 + 2x = 28 – 4x ⇔ x = 7
3.
Le point M cherché est tel que DM = 7
3.
21
2. a) f (x) = 14 + 2x.
b) g(x) = 14 – 2x.
EXERCICES
Utiliser GeoGebra (page 60)
EXERCICES
Entraînement (page 61)

23
Chapitre 2 ● Fonctions affines. Problèmes du 1er degré
32
f (x) = 2x + 10.
33
f (3) – f (0)
3 – 0 = 1
3 = f (6) – f (3)
6 – 3 : f peut être affi ne.
34
f peut être clairement linéaire : f (x) = 2x (pour les
trois valeurs données…).
35
f (13) – f (8)
13 – 8 = 21 – 13
5 = 8
5.
f (21) – f (13)
21 – 13 = 34 – 21
8 = 13
8.
Comme 8
5 ≠ 13 8, f ne peut être affi ne.
36
f (2) – f (– 1)
2 – (–1) = – 1 – 2
3 = – 1 donc f peut être affi ne…
mais rien ne prouve l’alignement des quatre points de la
représentation de f ayant pour abscisses –1 ; 1 ; 2 et 4.
37
f (0) – f (– 2)
0 – (– 2) = – 1,7 – 3,1
2 = – 2,4.
f (5) – f (0)
5 – 0 = – 5,2 – (– 1,7)
5 = – 0,7 ≠ – 2,4
donc f ne peut être affi ne.
38
1. f (5) – f (2)
5 – 2 = – 7 – (–1)
3 = – 2 et
f (8) – f (5)
8 – 5 = – 13 – (– 7)
3 = – 2, donc la fonction peut être
affi ne. Notons-la f.
f (x) = – 2x + b et f (2) = –1 = –2 × 2 + b, d’où b = 3.
2. – 2x + 3 = – 57 ⇔ x = 30.
39
2. f (x) = (x + 5) × x + 2 – x2 = 5x + 2. f est bien affi ne.
3.
Choisir un nombre x.
Le multiplier par 5.
Ajouter 2.
40
1. a) Si f est affi ne, alors f est linéaire.
b) Si f est affi ne, alors f est constante.
2. L’application affi ne f défi nie par f (x) = 2x + 1 n’est ni
linéaire (f(0) ≠ 0), ni constante (f (0) = 2 ≠ f (1) = 3).
41
1.
135 8
1
5
8
13 y
O
x
B
C
A
b) f (x) = x + 6
1–6
1
6
y
O
x
26
1 5
1
y
O
x
27
f(1) étant non nul (f(1) = 3), il en résulte g(1) = 0.
1
1
3
y
O
x
28
a = f (4) – f (1)
4 – 1 = 9 – 3
3 = 2.
f (x) = 2x + b et f (1) = 3 = 2 + b, d’où b = 1 et f (x) = 2x + 1.
29
Corrigé dans le manuel.
30
a) a = f (5) – f (3)
5 – 3 = 2.
f (x) = 2x + b et f (5) = 1 = 2 × 5 + b, d’où b = – 9 et
f (x) = 2x – 9.
b) Par simple lecture, f (x) = x + 1.
31
a) f est constante : f (x) = 2.
b) a =
f
1
2
– f
1
4
1
2 – 1 4
= 1 – 3
1
4
= – 8.
f (x) = –8x + b et f
1
2
= 1 = – 8 × 1
2 + b, d’où b = 5 et
f (x) = – 8x + 5.

24
c) La représentation de f est (strictement) au-dessus de celle
de g pour x > – 1,5.
46
1.
1 3
1
y
O
x
2. Graphiquement : x ∈ ]3 ; 4[.
3. 1 < 3x – 8 ⇔ 3 < x
et 3x – 8 < 4 ⇔ x < 4.
012 34 56
47
1. f (x) = 9x + 6.
2. x ne prenant que des valeurs positives, la représentation
de f est une demi-droite.
1 85
10
60
y
O
x
3. 33  V  60 ⇔ 3  x  6.
SENS DE VARIATION
ET SIGNE DE ax + b
48
a) f est croissante car a = 2.
b) g est décroissante car a = – 3.
c) h est croissante car a = 1
2.
d) k est croissante car a = 5
2.
49
a) f est décroissante car a = –1.
b) g est croissante car a = 12.
c) h est décroissante car a = – 1
2.
d) k est croissante car a = 3
2.
2. f (5) – f (3)
5 – 3 = 8 – 5
2 = 3 2 d’où f ( x) = 3 2x + b.
f (3) = 5 = 3
2 × 3 + b, d’où b = 1 2 et f ( x) = 3 2x + 1 2.
Sa représentation est la droite (AB).
3. f (8) = 25
2 ≠ 13 donc C n’appartient pas à la droite (AB).
42
Corrigé dans le manuel.
43
f1(x) = x + 2 ; f2(x) = – 1
3x ; f3(x) = x + 5 ;
f4(x) = –x + 5 ; f5(x) = 5.
ÉQUATIONS ET INÉQUATIONS
DU 1ER DEGRÉ
44
1. La représentation de f est la droite rouge. f (x) = 0
pour x = – 2 et g(x) = 0 pour x = 4.
2. a) 0,6x + 1,2 > 0 ⇔ x > – 2.
b) – 3x + 12  0 ⇔ x  4.
c) 0,6x + 1,2 > – 3x + 12 ⇔ 3,6x > 10,8 ⇔ x > 3.
3. Interprétations graphiques
a) Les points de la droite rouge situés au-dessus de l’axe des
abscisses sont ceux dont l’abscisse appartient à ]– 2 ; + ∞[.
b) Les points de la droite verte situés en dessous de
l’axe des abscisses sont ceux dont l’abscisse appartient à
[4 ; + ∞[.
c) Les points de la droite rouge situés au-dessus de la droite
verte sont ceux dont l’abscisse appartient à ]3 ; + ∞[.
45
1.
1
–9
1
2
y
O
x
Ꮿg
Ꮿf
2. Par le calcul
a) 0,2x + 1,8 = 0 ⇔ x = – 9.
b) 0,2x + 1,8 = – x ⇔ 1,2x = –1,8 ⇔ x = –1,5.
c) 0,2x + 1,8 > – x ⇔ 1,2x  –1,8 ⇔ x  –1,5.
3. a) Ꮿf coupe l’axe des abscisses au point de coordonnées
(9 ; 0).
b) L’abscisse du point d’intersection des deux droites
représentatives de f et g est – 1,5.