Analyse - Dérivabilité

27/03/2012 Analyse - Dérivabilité | 1
 Dérivabilité 
Définitions
Définition – Dérivée en un point
Soient f : I   une application et a  I. On dit que la fonction f est dérivable en a si la fonction a, appelée taux
d’accroissement de f en a définie sur I \ {a} par :
 possède une limite finie en a. Cette limite s’appelle nombre dérivé de f en a et se note f’(a) ou 
Interprétation géométrique
La tangente au graphe de f au point (a,f(a)) est la droite passant par (a,f(a)) et
dont un vecteur directeur est (1,f’(a)) (coefficient directeur f’(a))
Une équation cartésienne de cette tangente est donc
Si la courbe admet un point anguleux, la fonction n’est pas dérivable (existence de
2 demi-tangentes de coefficients directeur différents)
Si la courbe admet en un point une tangente parallèle à l’axe des ordonnées, la
fonction n’est pas dérivable en ce point
Définition – Dérivée à droite et à gauche en un point
Soient f : I   une application et a  .
On dit que f est dérivable à gauche en a si le taux d’accroissement de f en a admet une limite finie à gauche en a. Cette limite
s’appelle nombre dérivée à gauche de f en a et se note f’g(a).
On dit que f est dérivable à droite en a si le taux d’accroissement de f en a admet une limite finie à droite en a. Cette limite
s’appelle nombre dérivée à droite de f en a et se note f’d(a).
La fonction f est dérivable en a ssi f est dérivable à droite et à gauche en a et f’d(a) = f’g(a)
Dans ce cas f’(a) = f’d(a) = f’g(a)
Proposition
Si f : I   est une fonction dérivable en a  I alors f est continue en a
* La continuité est donc une condition de dérivabilité : si non continue, f non dérivable
Proposition – Dérivabilité sur un intervalle
Soit f : I   une application. On dit que f est dérivable sur I si f est dérivable en tout point de I. L’application x  f’(x) notée
f’ est appelée fonction dérivée de f ou plus simplement dérivée de f.
* Pour étudier la dérivabilité d'une fonction en un point a, on ne cherche pas la limite de sa fonction dérivée en a car cette
dernière peut exister en ce point sans pour autant avoir de limite en ce point. Passer à la limite peut être licite à condition de
savoir que f' est continue en a. (exemple x²cos(1/x))
Calculer une limite grâce à la dérivée
Si f est dérivable en a alors on sait que la fonction 
 a une limite finie en a qui est f’(a)

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Opérations et dérivées usuelles
Opérations sur les dérivées
(f+g)’(a)=f’(a) + g’(a)
(f.g)(a) = f’(a).g(a) + f(a).g’(a)
 (g(a) ≠ 0)
 (g(a) ≠ 0)
(gof)’(a) = g’(f(a))f’(a)
 (on retrouve la formule en dérivant f o f-1 = Id)
Dérivées simples
Dérivées de fonctions composées
fonction
dérivée
constante
0
xn, x  , n  
nxn-1
sin x, x  
cos x
cos x, x  
- sin x
tan x, x  , x≠/2+k, k ∈
1+tan²x
exp x, x  
exp x
ln x, x  
1/x
xa, a   , x  
axa-1
sinh x, x  
cosh x
cosh x, x  
sinh x
tanh x, x  
1 – tanh² = 1/cosh²
arcsin x, x  
arccos x, x  
arctan x, x  
argsh x, x  
argch x, x  
argth x, x  
fonction
dérivée

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Etude globale des fonctions dérivables
Définition – Extremum local
Soit f : I et a  I mais n’est pas une borne de I
On dit que a admet un maximum (resp. minimum) local en a si f est majorée (resp. minorée ) par f(a) au voisinage de a
Théorème – Extremum local
Soit f définie sur un intervalle I et a un point de I qui n’en est pas une borne. Si la fonction f présente un extremum local en a
et si f est dérivable en a, alors nécessairement f’(a)=0.
* réciproque fausse (exemple xx3) car f’ doit s’annuler ET changer de signe
* Sur la représentation graphique, la tangente au graphe doit être horizontale en un tel point.
Théorème de Rolle
Etant donné deux réels a et b tels que a < b ainsi qu’une fonction f continue sur [a,b], dérivable sur ]a,b[ et vérifiant f(a)=f(b),
il existe alors c ]a,b[ tel que f’(c)=0.
Graphiquement cela signifie que l’une (au moins) des
tangentes au graphe de la fonction f doit être
horizontale
Attention c n’est pas forcément unique
Théorème des accroissements finis
Soit (a,b) ², a<b . Soit f : [a,b] une fonction continue sur [a,b], dérivable sur ]a,b[.
On a les propriétés suivantes :
* égalités des accroissements finis :
il existe c  ]a,b[ tel que f(b)-f(a) = (b-a)f’(c)
* inégalités des accroissements finis :
si en outre il existe des réels m et M tels que pour tout t  [a,b], on ait m ≤ f’(t) ≤ M alors m(b - a) ≤ f(b) - f(a) ≤ M(b - a)
En particulier si, pour tout t  ]a,b[, |f’(t)|  M, alors |f(b) - f(a)|  M(b - a)
On a donc la majoration |f(b)-f(a)|upt]a,b[ |f’(t)|(b-a)
Graphiquement cela signifie l’existence d’une
tangente parallèle à la corde joignant les points
(a,f(a)) et (b,f(b))
Corollaire – Dérivation et fonctions lipschitzienne
Soit f : I une application. Si |f’| est majorée par k réel positif sur I, alors f est k-lipschitzienne sur I

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Constance, monotonie et dérivabilité
Théorème – Dérivée et fonction constante
Soient I un intervalle non vide et f : I   une fonction dérivable dans I. f’=0 ssi f est constante
Théorème – Dérivée et variations des fonctions
Soient I un intervalle non vide et f : I   une fonction dérivable.
* f’(t)  0 (resp. f’(t)  0) ssi la fonction f est croissante (resp. décroissante) sur I.
* Si pour tout t  I, on a f’(t) > 0 (resp. f’(t) < 0) alors la fonction f est strictement croissante (resp. strictement décroissante)
sur I. (réciproque est fausse, par exemple x3 strictement croissante et la dérivée s’annule en 0)
Théorème – Stricte monotonie et dérivabilité
Soit f une fonction continue sur un intervalle [a, b] et dérivable sur ]a, b[. Si f’ est de signe constant sur [a, b] et si elle ne
s’annule qu’en un nombre fini de points, alors f est strictement monotone sur [a, b].
Limite de la dérivée
Théorème – Limite de la dérivée
Soient f : I   une fonction dérivable sur I\{a}. Si f’ admet une limite l  
 en a alors   
 admet aussi une limite l
en a. En particulier, si l est fini, f est dérivable en a et f’ continue en a.
Corollaire
Soit f : [a, b]   continue sur [a, b] et de classe 1 sur ]a, b]. Si f’ admet une limite finie en a, alors f est de classe 1 sur
[a, b].

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Dérivées successives
Dérivées d’ordre supérieur
Pour une fonction n-fois dérivable, n  , on note f, f’, f ", f(3), …., f(k),…f(n) les dérivées successives dites dérivées k-ième de f
Par convention, f(0) = f.
Définition – Fonctions de classe n
Soient f : I   et n  . On dit que f est de classe n si f est n fois dérivable sur I et si f(n) est continue sur I.
On dit que f est de classe  si f est indéfiniment dérivable sur I.
On note n (I, ) ou (I) (resp.  (I, ) ou  (I)) l’ensemble des fonctions de classe n (resp. ) sur I.
Formule de Leibniz
  dérivée n-ième d’un produit