ent limites

Chapitre VI
Chapitre VI – –Limites, continuit Limites, continuité é
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[e-mail] , le 18/12/2012
Limite en l'infini
Limite en l'infini
Limite finie en l'infini
Définition
On dit que la fonction f admet pour limite L en
+oo si tout intervalle ouvert contenant L
contient toutes les valeurs de f (x) dès que x
est suffisamment grand.
On note :
Interprétation graphique
On dit alors que la courbe de la fonction f
admet une ASYMPTOTE HORIZONTALE
d’équation y=L en +oo
Exemple
Montrer que a pour limite L=2 en
+oo;
Si e>0, l'intervalle
est un intervalle ouvert contenant L.
Résolvons, en supposant x+3>0
De même,
On a prouvé que si alors
Avec e=10-6, il faut donc x>7.000.000-3
3
12
x
x
xf
[2;2] ee
e
x
eex
eexxx
exxe
xx
7
3
37
36212
23122
3
12
e
x
eex
eexxx
exxe
xx
7
3
37
36212
23122
3
12
[2;2])( eexf
e
x7 3
Lx
f
Lim
x  )(

Chapitre VI
Chapitre VI – –Limites, continuit Limites, continuité é
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[e-mail] , le 18/12/2012
Limite infinie
Limite infinie
Limite infinie en l'infini
Définition
On dit que la fonction f admet pour limite +oo
en +oo si :
tout intervalle ]A;+oo[ , A réel, contient toutes
les valeurs de f (x) dès que x est suffisamment
grand
On note :
On dit que la fonction f admet pour limite -oo
en +oo si :
tout intervalle ]-oo;A[, A réel, contient toutes
les valeurs de f (x) dès que x est suffisamment
grand
On note :
Exemple
La fonction f(x)=x2 a pour limite +oo en +oo
Preuve
Soit A réel, on doit résoudre
soit x2>A. Si x>0, cela revient à x>A
Si x>A, x2>A, donc la limite de f est bien +oo
en +oo
Limites en –oo
Les définitions précédentes se calquent pour
définir les limites finies ou infinies en –oo
Attention
Il peut n'exister ni limite finie, ni limite infinie
en +oo ou en –oo
 )(x
f
Lim
x
[;])( Axf
 )(x
f
Lim
x

Chapitre VI
Chapitre VI – –Limites, continuit Limites, continuité é
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[e-mail] , le 18/12/2012
Limite infinie en
Limite infinie en a a fini fini
Limite infinie en un réel fini A
Définition
Si f est une fonction définie sur un intervalle
de la forme ]a;*] ou [*;a[
On dit que la fonction f admet pour limite +oo
en a si tout intervalle ]A;+oo[, contient toutes
les valeurs de f (x) dès que x est suffisamment
proche de a
On note :
)(ou )( x
f
Lim
x
f
Lim
ax
ax
ax
ax
Limite infinie en un réel fini A
Définition
Si f est une fonction définie sur un intervalle
de la forme ]a;*] ou [*;a[
On dit que la fonction f admet pour limite -oo
en a si tout intervalle ]-oo;A[, contient toutes
les valeurs de f (x) dès que x est suffisamment
proche de a
On note :
Interprétation graphique
On dit alors que la courbe de la fonction f
admet une ASYMPTOTE VERTICALE
d’équation x=a
)(ou )( x
f
Lim
x
f
Lim
ax
ax
ax
ax

Chapitre VI
Chapitre VI – –Limites, continuit Limites, continuité é
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[e-mail] , le 18/12/2012
On démontre facilement les limites
classiques suivantes, liées aux fonctions
usuelles
0a si 
bax
x
L
im
0a si
bax
x
L
im
0a si
bax
x
L
im
0a si 
bax
x
L
im
0
11 
 x x
x
xLimLim
x
x
x
x
x
x
Lim
Lim
1
0
0
1
0
0
22 x
x
x
xLimLim
22 )()( ax
x
ax
xLimLim
3
3
x
x
x
xLim
Lim
n
n
x
x
x
x
Lim
Lim
ax
x
x
xLim
Lim
Limites usuelles
Limites usuelles

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Chapitre VI – –Limites, continuit Limites, continuité é
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[e-mail] , le 18/12/2012
Op
Opé érations sur les limites rations sur les limites
Les théorèmes qui suivent, présentés sous
forme de tableau sont admis.
Pour la plupart d’entre eux , ils sont
naturels mais … comme souvent en math, il
y a quelques cas particuliers.
Dans certains cas il n’y a pas de conclusion
générale. On dit qu’il s’agit de cas de
formes indéterminées .
Ces cas nécessiteront une étude
particulière chaque fois qu’ils se
présenteront.
Multiplication par un réel k
Somme de deux fonctions
Produit de 2 fonctions
Quotient de 2 fonctions
Exemples