Rappels de probabilité 1.2 Tribu engendrée par une famille d’événements

Département de Mathématiques -Univ-Guelma Probabilités de base 2012-2013
Rappels de probabilité
1 Espace de probabilité
Un espace de probabilité est un triplet (;F;P)oé :
-est un ensemble,
-Fest une tribu (ou -algébre) sur ,
-Pest une (mesure de) probabilité sur (;F).
1.1 Tribu
Dé…nition 1.1.1. Une tribu (ou -algébre) sur est une famille Fde
sous-ensembles de (appelés “événements”) tels que
8
<
:
i)2 F
ii)A2 F =)Ac2 F
iii) (An)1
n=1  F =) [1
n=1An2 F
En particulier : A; B 2 F =)A[B2 F:
De méme, A; B 2 F =)A\B2 F:
Exemple 1.1.2. - Soit  = f1; :::; 6g. On peut dé…nir plusieurs tribus
sur :
F=P() = f; f1g;f2g; :::; f1;2g; :::; g=tribu compléte (la plus
grande),
F0=f; g= tribu triviale (la plus petite) (= évén. impossible, 
évén. arbitraire),
F1=f; f1g;f2; :::; 6g;g;F2=f; f1;3;5g;f2;4;6g;g;etc.
- Soit  = [0; 1] et I1; :::; Inune famille d’intervalles formant une partition
de . La famille de sous-ensembles dé…nie par
G=f; I1; I2; :::; I1[I2; :::; I1[I2[I3; :::; g
est une tribu sur .
1.2 Tribu engendrée par une famille d’événements
Dé…nition 1.1.3. Soit A=fAi; i 2Igune famille de sous-ensembles de
. Alors la tribu engendrée par Aest la plus petite tribu sur qui contient
tous les sous-ensembles Ai; i 2I. Elle est notée (A):
Exemple 1.1.4. Reprenons l’exemple 1.1.2.
- Soit  = f1; :::; 6g. Si A1=ff1gg;alors (A1) = F1. Si A2=
ff1;3;5gg;alors (A2) = F2:
- Soit  = [0; 1]. Si A=fI1; :::; Ing;alors (A) = G:
Dé…nition 1.1.5. Soit  = [0; 1]. La tribu borélienne sur [0;1] est la
tribu engendrée par la famille de sous-ensembles A=f]a;b[: 0 a < b 1g
=fintervalles ouverts dans[0;1]g. Elle est notée B([0;1]). Elle contient un
trés grand nombre de sous-ensembles de [0;1], mais pas tous.
1.3 Sous-tribu
Remarque 1.1.6. - Pour ensemble …ni, on choisit souvent F=P().
- Pour Rou Rn, on choisit souvent F=B().
Dé…nition 1.1.7. Une sous-tribu de Fest une tribu Gtelle que si A2 G
alors A2 F.
On note G  F.
Exemple 1.1.8. Reprenons l’exemple 1.1.2. On a F0 F1 F,
F0 F2 F, mais pas F1 F2, ni F2 F1.
Remarque importante :
Il est toujours vrai que A2 G et G  F =)A2 F:
Mais il est faux de dire que ABet B2 F =)A2 F:Contre-exemple
:
f1gf1;3;5g;f1;3;5g 2 F2, mais f1g=2 F2:
1.4 Mesure de probabilité
Dé…nition 1.1.9. Soit Fune tribu sur . Une (mesure de) probabilité sur
(;F)est une application P:F ! [0; 1] telle que
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8
<
:
i)P() = 0 et P() = 1;
ii) (An)1
n=1  F disjoints (i.e. An\Am=; 8n6=m) =)
P([1
n=1An) = P1
n=1 P(An):
En particulier : A; B 2 F et A\B==)P(A[B) = P(A) + P(B):
De plus :
8
>
>
<
>
>
:
i) Si (An)1
n=1  F; AnAn+1 et [1
n=1 An=A;
alors limn!1 P(An) = P(A);
ii) Si (An)1
n=1  F; AnAn+1 et \1
n=1 An=A;
alors limn!1 P(An) = P(A):
Pour d’autres propriétés, cf. exercices.
Exemple 1.1.10. Soient  = f1; :::; 6g,F=P(). On dé…nit :
-P1(fig) = 1
68i(mesure de probabilité associée é un dé équilibré).
Dans ce cas, on voit p. ex. que P1(f1;3;5g) = P1(f1g) + P1(f3g) +
P1(f5g) = 1
6+1 6+1 6=1 2:
-P2(fig) = 0 8i5;P2(f6g) = 1 (mesure de probabilité associée é un
dé pipé).
Dé…nition 1.1.11. Soient  = [0;1] et F=B([0;1]). On appelle
mesure de Lebesgue sur [0;1] la mesure de probabilité dé…nie par
P(]a;b[) = ba; 80a < b 1:
Pn’est dé…nie a priori que sur les intervalles, mais est uniquement exten-
sible é tout ensemble borélien B2 B([0;1]). Elle est notée P(B) = jBj; B 2
B([0;1]):
En utilisant la propriété (ii)ci-dessus, on déduit que pour tout x2[0;1] :
jfxgj = lim
n!1 x1
n; x +1 n= lim
n!1
2
n= 0:
Généralisation é ndimensions : Soit  = [0;1]n.
- Tribu borélienne : B() = (A), oé
A=f]a1; b1[]a2; b2[::: ]an; bn[;0ai< bi1g:
Aest la famille des ”rectangles" dans .
- Mesure de Lebesgue : P(]a1; b1[]a2; b2[::: ]an; bn[) =
(b1a1) (b2a2)(bnan):
Comme dans le cas uni-dimensionnel, Pn’est dé…nie a priori que sur
certains ensembles (les rectangles), mais est uniquement extensible é tout
B2 B() (p.ex. B= disque, ovale...).
Notation : P(B) = jBj;pour B2 B():
2 Variable aléatoire
Dé…nition 1.2.1. Soit (;F;P)un espace de probabilité. Une
variable aléatoire (souvent abrégé v.a. par la suite) est une application
X:  !Rtelle que
f!2 : X(!)2Bg=fX2Bg 2 F;8B2 B(R):
Proposition 1.2.2. Xest une v.a. ssi f!2 : X(!)tg 2 F;8t2R.
Remarque 1.2.3. - Xest aussi dite une fonction (ou v.a.) F-mesurable.
- Si F=P(), alors Xest toujours F-mesurable.
- Si  = Ret F=B(R), alors Xest dite une fonction borélienne.
Dé…nition 1.2.4. Pour A, on pose 1A(!) = 1si !2A;
0sinon.
On véri…e que la v.a. 1Aest F-mesurable ssi A2 F.
Exemple 1.2.5. Soit (;F;P)l’espace de probabilité du dé équilibré
(cf. exemple 1.1.10).
X1(!) = !:P(f!2 : X1(!) = ig) = P(fig) = 1
6:
X2(!) = 1f1;3;5g(!) : P(f!2 : X2(!) = 1g) = P(f1;3;5g) = 1
2:
Soit F=P().X1et X2sont toutes deux F-mesurables.
Soit F2=f; f1;3;5g;f2;4;6g;g:Seule X2est F2-mesurable; X1ne
l’est pas. En e¤et :
f!2 : X2(!) = 1g=f1;3;5g2F2et f!2 : X2(!) = 0g=
f2;4;6g 2 F2
tandis que f!2 : X1(!) = 1g=f1g=2 F2:
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Dé…nition 1.2.6. La tribu engendrée par une famille de v.a.
fXi; i 2Igsur (;F;P)est dé…nie par
(Xi; i 2I) = (fXi2Bg; i 2I; B 2 B(R)) = (fXitg; i 2I; t 2R):
Exemple 1.2.7. Reprenons l’exemple précédent : (X1) = F=
P(); (X2) = F2=P():
Proposition 1.2.8. Si g:R!Rest borélienne et X:  !Rest une
v.a., alors g(X)est une v.a.
Démonstration. Soit B2 B(R). On a
fY2Bg=f!2 : g(X(!)) 2Bg=!2 : X(!)2g1(B):
Or g1(B) = fx2R:g(x)2Bg 2 B(R);car gest borélienne. Comme
Xest une v.a., on en déduit que f!2 : X(!)2g1(B)g2F, et donc
…nalement que g(X)est une v.a.
Proposition 1.2.9. Toute fonction continue est borélienne (et pratique-
ment toute fonction discontinue l’est aussi !).
3 Loi d’une variable aléatoire
Dé…nition 1.3.1. La loi d’une v.a. Xest l’application X:B(R)![0;1]
dé…nie par
X(B) = P(fX2Bg); B 2 B(R):
NB : (R;B(R); X)forme un nouvel espace de probabilité !
Exemple 1.3.2. - Soit  = f1; :::; 6g,F=P();P(fig) = 1
6;8i:
X1(!) = !; X(fig) = P(fX=ig) = P(fig) = 1
6:
-Soit  = f1; :::; 6gf1; :::; 6g,F=P();P(f(i; j)g) = 1
36 ;8i; j 2:
X(!) = X(!1; !2) = !1+!2:On a alors, p.ex :
X(f7g) = P(fX= 7g) = P(f(1;6) ;(2;5) ;(3;4) ;(4;3) ;(5;2) ;(6;1)g) =
61
36 =1 6:
3.1 Fonction de répartition d’une variable aléatoire
Dé…nition 1.3.3. La fonction de répartition d’une v.a. Xest l’application
FX:R![0; 1] dé…nie par
FX(t) = P(fXtg) = X(]  1; t]); t 2R:
Proposition 1.3.4. La donnée de FXéquivaut à celle de X.
Cette derniére proposition est é rapprocher de la proposition 1.2.2.
3.2 Deux types particuliers de variables aléatoires
A) Variable aléatoire discréte :
Xprend ses valeurs dans un ensemble Ddénombrable (X(!)2D;8!2
). Dans ce cas, on a : (X) = (fX=xg; x 2D),p(x) = P(fX=xg)0
et Px2Dp(x) = P(fx2Dg) = 1:
De plus, FX(t) = Px2D:xtp(x):
B) Variable aléatoire continue :
P(X2B) = 0 si jBj= 0 (en part. P(X=x) = 0 8x). Sous cette
condition, le théoréme de Radon-Nikodym assure l’existence d’une fonction
borélienne fX:R!R(appelée densité) telle que
fX(x)0;8x2R;ZR fX(x)dx = 1 et P(fX2Bg) = ZB fX(x)dx:
De plus, FX(t) = Rt
1 fX(x)dx et F8
X(t) = fX(t):
Exemple 1.3.5.
A) Loi binomiale B(n;p); n 1; p 2[0;1] :
p(k) = Pf(X=kg) = n
kpk(1 p)nk;pour 0kn;
oé n
k=n!
k!(nk)! :
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B) Loi gaussienne N(; 2);  2R;  > 0 :
densité: fX(x) = 1
p22exp (x)2
22!; x 2R:
Terminologie : - Si Xsuit une loi gaussienne (p.ex.), on écrit X
N(; 2).
- Si Xet Ysuivent une méme loi, on dit que Xet Ysont identiquement
distribuées (i.d.) et on note XY:
Série 1
Exercice 1. Soient  = f1; :::; 6get A=ff1;3;5g;f1;2;3gg:
1) Décrire F=(A), la tribu engendrée par A.
NB: Si est …ni, le nombre d’éléments d’une tribu sur est toujours
égal à 2m, avec mentier.
2) Donner la liste des éléments non-vides Gde Ftels que
si F2 F et FG; alors F=ou G
Ces éléments sont appelés les atomes de la tribu F. Ils forment une
partition de l’ensemble et engendrent également la tribu F.
Exercice 2. Soit Fune tribu (ou -algébre) dé…nie sur un ensemble
. En se basant uniquement sur les axiomes de la dé…nition d’une tribu,
démontrer les propriétés suivantes:
1) [N
n=1An2 F;si (An)N
n=1  F:
2) 2 F:
3) \1
n=1An2 F;si (An)1
n=1  F:
4) \N
n=1An2 F;si (An)N
n=1  F:
5) BnA2 F;si BA; A; B 2 F:
Exercice 3. Soit (;F;P)un espace de probabilité. En se basant
uniquement sur les axiomes de la dé…nition d’une mesure de probabilité,
démontrer les propriétés suivantes:
1) P(A)P(B), si AB,A; B 2 F.
2) P([1
n=1Bn)P1
n=1 P(Bn);si (Bn)1 n=1  F:
3) P(BnA) = P(B)P(A);si AB; A; B 2 F:
4) P(Ac) = 1 P(A), si A2 F.
5) P(A[B) = P(A) + P(B)P(A\B), si A; B 2 F.
Exercice 4.
Soit Xune variable aléatoire dé…nie sur un espace de probabilité (;F;P)
et Yla variable aléatoire dé…nie par Y(!) = exp(X(!)); ! 2:
1) Quelles valeurs la variable aléatoire Ypeut-elle prendre? Exprimer sa
fonction de répartition FYen fonction de FX.
2) Supposons que Xsoit une variable aléatoire continue. Yest alors
également continue; exprimer sa densité fYen fonction de fX.
3) Supposons X N(0;1); calculer fYet P(Y1).
Remarque: dans ce dernier cas, la loi de Yest appelée la loi log-normale;
cette loi est fréquemment utilisée en …nance pour modéliser le prix des ac-
tions.
4 Espérance d’une variable aléatoire
4.1 Construction de l’espérance (= intégrale de
Lebesgue !)
On procéde en trois étapes :
Etape 1. Soit X(!) = P1
i=0 xi1Ai(!); xi0; Ai2 F:On dé…nit
l’espérance de telles v.a. (dites simples) comme suit :
E(X) = 1
X
i=0
xiP(Ai)2[0;+1]:
Attention ! E(X)peut prendre la ”valeur" +1.
Exemples : - Si X= 1A,P(A) = p, alors E(X) = P(A) = p.
- Si X=c1=cte sur , alors E(X) = c:
Etape 2. Soit Xune v.a. F-mesurable telle que X(!)0;8!2. On
pose
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Xn(!) = 1
X
i=1
i1
2n1fi1
2nX< i 2ng(!):
Alors (Xn)est une suite croissante de v.a. qui tend vers X. On dé…nit
E(X) = lim
n!1E(Xn) = lim n!1
1
X
i=1
i1
2nPi1 2nX < i 2n2[0;+1]:
Etape 3. Soit Xune v.a. F-mesurable quelconque. On pose
X(!) = X+(!)X(!)avec X+(!) = max (0; X(!)) 0;
X(!) = max (0;X(!)) 0:
On a alors jX(!)j=X+(!) + X(!)0:
- Si E(jXj)<1, alors on dé…nit E(X) = E(X+)E(X):
- Si E(jXj) = 1, alors on dit que E(X)n’est pas dé…nie.
Terminologie : - Si E(X) = 0, alors on dit que Xest une v.a. centrée.
- Si E(jXj)<1, alors on dit que Xest une v.a. intégrable.
- Si E(X2)<1alors on dit que Xest une v.a. de carré intégrable.
- On dit que Xest une v.a. bornée s’il existe une cte K > 0telle que
jX(!)j  K; 8!2.
Remarque 1.4.1. Xbornée =)E(X2)<1=)E(jXj)<1:
On a les séries des implications suivantes:
Xest bornée =)Xest de carré intégrable
Xest intégrable et Yest bornée =)XY est intégrable
X; Y sont de carée intégrable =)XY est intégable
Proposition 1.4.2. Soient Xune v.a. et g:R!Rune fonction
borélienne telle que E(jg(X)j)<1. Alors
A) Si Xest une v.a. discréte (é valeurs dans Ddénombrable), alors
E(g(X)) = X
x2D
g(x)P(fX=xg):
B) Si Xest une v.a. continue (avec densité fX), alors
E(g(X)) = ZR g(x)fX(x)dx:
Ceci s’applique en particulier si g(x) = x.
4.2 Variance et covariance de variables aléatoires
Dé…nition 1.4.3. Soient X; Y deux v.a. de carré intégrable. On pose
V ar (X) = E(XE(X))2=EX2(E(X))20
Cov (X; Y ) = E((XE(X)) (YE(Y))) = E(XY )E(X)E(Y)
Terminologie : - Un événement A2 F est dit négligeable si P(A) = 0.
- Un événement A2 F est dit presque sér (souvent abréegé p.s.) si
P(A) = 1, i.e. si Acest négligeable.
Exemple 1.4.4. Soit Xune v.a. telle que P(fX=cg) = 1. Alors on
dit que X=cpresque sérement (”X=cp.s.")
Proposition 1.4.5. Si (An)1
n=1  F est une famille d’événements nég-
ligeables (i:e: P(An) = 0 8n), alors [1
n=1Anest négligeable.
Démonstration. P([1
n=1An)P1
n=1 P(An) = 0:
Exemple 1.4.6. L’ensemble A= [0; 1]\Qest négligeable pour la mesure
le Lebesgue, car Qest dénombrable et jfxgj = 0 pour tout x2[0;1]:
4.3 Propriétés de l’espérance
Soient X; Y deux v.a. intégrables.
- Linéarité : E(cX +Y) = cE(X) + E(Y); c 2Ret X; Y v.a. intégrables.
- Positivité : si X0p.s., alors E(X)0.
- Positivité stricte : si X0p.s. et E(X) = 0, alors X= 0 p.s.
- Monotonie : si XYp.s., alors E(X)E(Y).
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