Relations métriques et trigonométriques dans un triangle 35

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Relations métriques et
trigonométriques dans un triangle
35
Leçon n°
Niveau Lycée
Prérequis géométrie du triangle
Références [116], [117], [118]
35.1 Relations métriques dans un triangle
35.1.1 Théorème de Pythagore
Théorème 35.1 — Théorème de Pythagore. ABC est un triangle rectangle en Asi et seulement si
BC2=AB2+AC2.
Dv
•Démonstration du théorème de Pythagore — Dans le plan muni d’un repère orthonormé,
les vecteurs portés par les côtés du triangle ABC vérifient la relation de Chasles :
# »
BC =
# »
AB +
# »
AC.
Ainsi :
BC2=
# »
BC ·
# »
BC = (
# »
AB +
# »
AC)·(
# »
AB +
# »
AC) = AB2+AC2+ 2
# »
AB ·
# »
AC
donc la relation du théorème est équivalente à l’annulation du dernier produit scalaire, ce qui
correspond précisément au cas où les vecteurs sont orthogonaux, autrement dit lorsque les
côtés [AB]et [AC]forment un angle droit. •
Exemple 35.2 — Escargot. On part d’un triangle isocèle rectangle dont les côtés autres que l’hy-
poténuse mesurent 1 unité. L’hypoténuse mesure alors √2unités. On place un triangle rectangle sur
cette hypoténuse, son côté adjacent à l’angle droit mesurant 1 unité. Alors l’hypoténuse de ce nouveau
triangle mesure √3unités, et ainsi de suite. . . 
A B
CD
G
H
FIGURE 35.1 – Escargot

10 Leçon n°35 •Relations métriques et trigonométriques dans un triangle
35.1.2 Formule d’Al-Kashi
Théorème 35.3 — Formule d’Al-Kashi. Dans un triangle ABC,
BC2=AB2+AC2−2AB ×AC ×cos \ BAC.
Dv
•Démonstration du théorème 35.3 —Si on note a=BC,b=AC et c=AB,ona:
a2=BC2=
# »
BC2= (
# »
BA+
# »
AC)2=BA2+AC2+2(
# »
BA·
# »
AC) = c2+b2+2bc cos(
# »
BA,
# »
AC)
Or cos(
# »
BA,
# »
AC) = cos[π+ (
# »
AB,
# »
AC)] = −cos(
# »
AB,
# »
AC) = −cos b A. •
35.1.3 Formule des 3 sinus
Théorème 35.4 — Formule des 3 sinus. Soit ABC un triangle (on note a=BC,b=AC,c=BA),
Sl’aire de se triangle et Rle rayon du cercle circonscrit au triangle :
a
sin b A=b sin b B=c sin b C=abc
2S= 2R.
Dv
•Démonstration du théorème 35.4 —On note Hle pied de la hauteur issue de Adans le
triangle ABC.
— Dans le cas où b Best obtus, AH =AB sin(π−b B) = AB sin b B=csin b B.
— Dans le cas où b Best aigu, AH =AB sin b B=csin b B.
Donc, dans tous les cas, AH =csin b Bet S=1
2BC ·AH =1 2ac sin b
B. D’où
S=1
2ac sin b
B=1
2ab sin b
C=1
2bc sin b
A.
•
35.2 Relations trigonométriques dans un triangle
Définition 35.5 Dans un triangle ABC rectangle en A, on définit le sinus, le cosinus et la tangente
de l’angle aigu \ ABC de la manière suivante :
sin \ ABC =côté opposé à \
ABC
hypoténuse =AC BC
cos \ ABC =côté adjacent à \
ABC
hypoténuse =AB BC
tan \ ABC =côté opposé à \
ABC
côté adjacent à \ ABC =AC
AB .

35.2 Relations trigonométriques dans un triangle 11
côté adjacent
côté opposé
hypoténuse
A B
C
FIGURE 35.2 – Côté opposé, côté adjacent à un angle, hypoténuse
R35.6 On a aussi avec l’angle \
ACB :
cos \ ACB =AC
BC ,sin \
ACB =AB
BC ,tan \
ACB =AB
AC .
Propriété 35.7 Le sinus et le cosinus d’un angle aigu sont strictement plus grands que 0 et strictement
plus petits que 1 et ils n’ont pas d’unité.
35.2.1 Formules de trigonométrie
Propriété 35.8 Pour toutes valeurs de x,ona:
cos2x+ sin2x= 1 et tan x=sin x
cos x.
Proposition 35.9 — Formules d’addition. 1. cos(a−b) = cos acos b+ sin asin b,
2. cos(a+b) = cos acos b−sin asin b,
3. sin(a−b) = sin acos b−cos asin b,
4. sin(a+b) = sin acos b+ cos asin b.
Dv
•Justification d’une formule de trigonométrie —
Méthode utilisant le produit scalaire On va étudier la quantité cos(a−b)où aet bsont
deux nombres réels. Dans un repère orthonormé (O, #» ı , #» ), considérons deux vecteurs #» u
et #» vunitaires tels que :
(#» ı , #» u) = aet (#» ı , #» v) = b.

12 Leçon n°35 •Relations métriques et trigonométriques dans un triangle
−→
ı
−→
u
−→
−→
v
a
b
b−a
O
Une première expression du produit scalaire donne :
#»
u·#» v= cos(#» u , #» v).
D’après la relation de Chasles :
(#» u , #» v)=(#» u , #» ı)+(#» ı , #» v) = b−a
donc #» u·#» v= cos(b−a) = cos(a−b)car la fonction cosinus est paire. D’autre part,
d’après la définition du cosinus et du sinus, on a :
#»
u=cos a
sin aet #»
v=cos b
sin b
D’après l’expression du produit scalaire avec les coordonnées (xx0+yy0), on obtient
alors :
#»
u·#» v= cos acos b+ sin asin b.
Ce qui nous donne une formule trigonométrique :
cos(a−b) = cos acos b+ sin asin b.
Méthode n’utilisant pas le produit scalaire On étudie cette fois-ci cos(a+b)où aet bsont
deux nombres réels. On considère le cercle de centre Oet de rayon 1dans un repère
orthonormé (O, #» ı , #» ). Sur ce cercle, on place un point Atel que (
# »
OI,
# »
OA) = a, le point
Mtel que (
# »
OA,
# »
OM) = bet le point A0tel que (
# »
OA,
# »
OA0) = π
2.
a
b
O I
J
A
M
A0

35.2 Relations trigonométriques dans un triangle 13
D’après la relation de Chasles pour les angles, on a :
(
# »
OI,
# »
OM)=(
# »
OI,
# »
OA)+(
# »
OA,
# »
OM) = a+b(mod 2π)
Donc : # »
OM = cos(a+b)
# »
OI + sin(a+b)
# »
OJ.
Mais en se plaçant dans le repère orthonormé (O, A, A0),ona:
# »
OM = cos(b)
# »
OA + sin(b)
# »
OA0
et en exprimant les coordonnées des vecteurs # » OA et # » OA0dans le repère (O, #» ı , #» ), on a :
# »
OA = cos(a)
# »
OI + sin(a)
# »
OJ
et # »
OA0= cos π
2+a# »
OI + sin π
2+a# »
OJ =−sin(a)
# »
OI + cos(a)
# »
OJ.
Finalement :
# »
OM = cos(b) cos(a)
# »
OI + cos(b) sin(a)
# »
OJ −sin(b) sin(a)
# »
OI + sin(b) cos(a)
# »
OJ
= [cos(a) cos(b)−sin(a) sin(b)]
# »
OI + [sin(a) cos(b) + cos(a) sin(b)]
# »
OJ
et par unicité des coordonnées d’un vecteur dans un repère, il vient les deux relations :
cos(a+b) = cos(a) cos(b)−sin(a) sin(b)
sin(a+b) = sin(a) cos(b) + cos(a) sin(b)
•
Proposition 35.10 — Formules de duplication. 1. cos(2a) = cos2a−sin2a,
2. sin(2a) = 2 sin acos a.
Dv
•Démonstration de la proposition 35.10 —
cos(2a) = cos(a+a) = cos acos a−sin asin a= cos2a−sin2a
sin(2a) = sin(a+a) = sin acos a+ cos asin a= 2 sin acos a
•
Proposition 35.11 — Formule de linéarisation. 1. cos2a=1+cos(2a)
2,
2. sin2a=1−cos(2a)
2.
Dv