Modèle mathématique.

Chapitre 5 : La fonction homographique
I. Notion de limite
Soit f : IR* →IR
1
x 
x

-104
x
1
x
-103
-102
-10
1
=
x  + x
10
102
103
104
1
=
x  - x
lim
lim
On dira que la droite d’équation y = 0 (l’axe des abscisses) est asymptote à la courbe en + 
et en -
x
1
x
-10-1
-10-2
-10-3
1
lim + =
x0 x
-10-4
lim –
x0
10-4
10-3
10-2
10-1
1
=
x
On dira que la droite d’équation x = 0 (l’axe des ordonnées) est asymptote à la courbe.
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Chapitre 5 : La fonction homographique
De manière générale :
La droite d'équation y = a est asymptote horizontale au graphe de la fonction f
si et seulement si
lim f(x) = a
x→∞
La droite d’équation x = b est asymptote verticale au graphe de la fonction f
si et seulement si
lim f(x) = ∞
x→b
II. Rappel du vocabulaire des fonctions
 Une fonction est une relation qui, à chaque valeur de la variable x fait correspondre au
plus (0 ou 1) une valeur de y
 Pour exprimer que y est une fonction de x, on écrit y = f(x) ou f : x  y = f(x)
 La (les) racine(s) ou zéros d’une fonction y = f(x) sont la (les) valeur(s) de x qui
annule(nt) y
 Les coordonnées du point d’intersection M du graphique de la fonction y = f(x) avec
y  f (x)
l’axe OY s’obtiennent en résolvant le système M(x ; y)  F∩(OY)  
x  0
 Un point appartient au graphique d’une fonction lorsque ses coordonnées vérifient

l’équation du graphique
 Les coordonnées du point d’intersection du graphique de la fonction y = f(x) avec
y  f (x)
l’axe OX s’obtiennent en résolvant le système M(x ; y)  F∩(OX)  
y  0
 Le domaine de définition d'une fonction f est l'ensemble des réels x ayant une image y
par f.
En pratique, on déterminera le domaine d’une fonction en recherchant
les nombres ne lui

appartenant pas, il s’agit notamment des nombres qui annulent les éventuels
dénominateurs (rappel : on ne peut pas diviser par 0!)
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Chapitre 5 : La fonction homographique

Sens de variation
Une fonction f est croissante sur un intervalle [a, b] inclus dans son domaine
si et seulement si
x1, x 2  a,b : x1  x 2  f (x1)  f (x 2 )

Fig. 1 : Fonction croissante
Une fonction f est décroissante sur un intervalle [a, b] inclus dans son domaine
si et seulement si
x1, x 2  a,b : x1  x 2  f (x1)  f (x 2 )

y

f(x )
1
y=f(x)
f(x )
2
1
0
1
x
1
x
2
x
Fig.Fig.
2 : Fonction
strictement
décroissante
2 : Fonction
strictement
décroissante
On parle de « croissance stricte ou de décroissance stricte » lorsqu’on n’accepte pas l’égalité
dans les inégalités précédentes.
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III. Etude et représentation graphique
Voici une série de fonctions que nous allons représenter dans un système d’axes orthonormés.
1
2
4 x 1
2  3x
f1 (x) 
f 2 (x) 
f 3 (x) 
f 4 (x) 
x
x
2x  5
4x  2
x
3
f 5 (x) 
f 6 (x) 
x 1
2x  2

Pour chacune d’elles nous préciserons
a) le domaine de définition
b) l’ensemble image
c) la racine
d) l’intersection avec l’axe des ordonnées
e) les asymptotes
f) la croissance
1) L’hyperbole d’équation y 
1
1
est le graphique de la fonction f1 ( x) 
x
x
Tableau de valeurs
x
-4
-3

-2
-1
Courbe : Graphique de f1 ( x) 
-1/2
-1/4
0
1/4
1/2
1
2
3
4
1
x
Etude
La courbe obtenue est …………………………………………….
Elle admet un centre de symétrie ………………………………..
Le domaine de définition de la fonction est ………………………
L’ensemble image de la fonction est ……………………………..
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La fonction ……. n’a pas de racine : aucun point d’intersection avec les axes
La fonction……… est décroissante sur son domaine IR \{0}
Elle admet 2 asymptotes :……………………………………………
…………………………………………….
Tableau de variation :
2) L’hyperbole d’équation y 
2
2
est le graphique de la fonction f 2 (x) 
x
x
Tableau de valeurs
x
-4
-3
-2
-1
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-1/2
-1/4
0
1/4
1/2

1
2
3
4
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Etude :
La courbe obtenue est ………………………………………………………..
Elle admet 2 asymptotes ……………………… et …………………………
Elle admet un centre de symétrie : …………………………………………...
2
Le domaine de définition de la fonction f 3 ( x) 
est ……………………
x
L’ensemble image est ………………………………………………………...
La fonction n’a pas de racine : aucun point d’intersection avec les axes
La fonction f 3 ( x) 
2
est croissante sur son domaine IR \{0}
x
Tableau de variation :
3) L’hyperbole d’équation y 
4 x 1
4x  1
est le graphique de la fonction f 3 (x) 
2x  5
2x  5

Tableau de valeurs
x
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Changement d’écriture : Effectuer la division de polynômes de 4x + 1 par 2x - 5
Etude :
La courbe obtenue est …………………………………………………………………..
Elle admet 2 asymptotes : ………………………………………………………………
Elle admet un centre de symétrie : ………C’est le point d’intersection des deux asymptotes
Le domaine de définition de la fonction est ……………………………………………
L’ensemble image est …………………………………………………………………..
Le point d’intersection de l’hyperbole avec l’axe des y a pour coordonnées : …………
Le point d’intersection de l’hyperbole avec l’axe des x a pour coordonnées : …………
La fonction est décroissante sur son domaine
Tableau de variation :
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Chapitre 5 : La fonction homographique
4) L’hyperbole d’équation y 
2  3x
2  3x
est le graphique de la fonction f 4 (x) 
4x  2
4x  2

Tableau de valeurs
x
Changement d’écriture :
Effectuer la division de polynôme de 2 - 3x par 4x – 2
Etude et tableau de variation :
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Chapitre 5 : La fonction homographique
Synthèse sur les fonctions du type f(x) =
f(x) =
ax  b
cx  d
(c  0 et ad - bc  0)
Gf est l’hyperbole d’équation y =
ax+b
(a 0 et ad - bc  0)
cx+d
d
Df = IR\ {- }
c
ax  b
dont les asymptotes sont les droites:
cx  d
d
a
x= et y =
c
c
Le centre de symétrie de Gf est ( -
d
c
;
a
)
c
IV. Intersection d’une droite d  y  mx  p et d’une hyperbole H  y 
ax  b
cx  d
On recherche les abscisses des points d’intersections éventuels M en résolvant le système
ax  b

y 
M ( x; y )  d  H  
cx  d

 y  mx  p
(Attention aux conditions d’existence dues au dénominateur.)
ax  b
 mx  p qui, après réduction au même dénominateur
cx  d
et simplifications éventuelles, donnera lieu à une équation du second degré au maximum.
Il s’agit de résoudre l’équation
Ces abscisses étant précisées, on calcule ensuite l’ordonnée correspondant à chacune d’elles.
Les coordonnées des points d’intersection de f(x) et de d sont alors déterminées.
Si le système n’admet pas de solution, la droite et l’hyperbole sont disjointes.
Exemple :
S’il admet une seule solution, la droite est tangente à l’hyperbole.
Exemple :
Si le système admet deux solutions alors la droite et l’hyperbole sont sécantes.
Exemple :
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Chapitre 5 : La fonction homographique
Etudes d’exemples :
Exemple 1 : Graphique de f 5 (x) 
3
2x  2

Tableau de valeurs
x
Etude et tableau de variation
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Chapitre 5 : La fonction homographique
3
Etude de l’intersection de l’hyperbole ci-dessus avec la droite d d’équation : y= - x
4
Tracer la droite d sur le graphique précédent (page 10).
Déterminer algébriquement les coordonnées des points d’intersection de l’hyperbole et de la
droite d, puis vérifier graphiquement.
Avec la calculatrice :
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Exemple 2 : Graphique de f 6 ( x ) 
x
x 1
Tableau de valeurs
x
Changement d’écriture : Effectuer la division de polynôme de x par x+1
Etude et tableau de variation
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Chapitre 5 : La fonction homographique
Etude de l’intersection de l’hyperbole ci-dessus avec la droite d’ d’équation y = x+4
Tracer la droite d’ sur le graphique précédent (page 12).
Déterminer algébriquement les coordonnées des points d’intersection éventuels de l’hyperbole
et de la droite d’, puis vérifier graphiquement.
Avec la calculatrice
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IV. Reconnaître des problèmes qui conduisent à la proportionnalité inverse

J’ai acheté 15 bouteilles pour 120 €.
Je veux savoir combien me coûteront 40 bouteilles.

J’ai gagné 240 € en travaillant 6 jours.
Je veux savoir combien on me payera pour un mois de 25 jours de travail.
Dans tous les cas le raisonnement est le même ; je cherche le résultat pour une unité, puis je le
multiplie par le nombre d’unités.
Dans tous les exemples précédents, les grandeurs sont dites « directement proportionnelles »
mais il y a des cas où la relation est inverse ainsi :
Plus j’emploie d’ouvriers à un travail, moins de temps il faudra pour le terminer.
On dit dans ce cas, que la règle de trois est inverse, car les quantités sont inversement
proportionnelles.
Problème résolu
Si 30 ouvriers mettent 56 jours pour faire un ouvrage, combien de temps mettront 14 ouvriers
pour faire le même ouvrage ?
Méthode de réduction à l’unité
30 ouvriers mettent …………………………..56 jours
1 ouvrier mettra 30 fois plus de jours ou 56 .30 (= 1 680 jours)
14 ouvriers mettront 14 fois moins de jours qu’un seul soit :
Exercices :
56  30
 120 jours
14

a) Un robinet qui donne 10 litres par minute met 18 heures pour remplir un bassin.
Quel temps mettrait-il pour le remplir si son débit était de 6 litres ?
de 9 litres ?
de 2 litres ?
de 12 litres ?
b) Dix ouvriers pourraient faire un ouvrage en 60 jours.
Quel temps mettraient 5 ouvriers pour faire le même ouvrage?
13 ouvriers ?
18 ouvriers ?
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Chapitre 5 : La fonction homographique
Problème
Une communauté de commune décide de construire une piscine pour un coût total de
1 536 000 € et d'en répartir le coût entre ses habitants.
Elle est constituée de 4 communes A, B, C, D comportant respectivement 8400, 3000, 1600 et
2000 habitants.
1- Si on veut répartir le coût sur chaque commune proportionnellement au nombre d'habitants,
calculer le coût par habitant puis la somme à la charge de chaque commune.
2- Les habitants de la commune D étant assez éloignés de la commune A où la construction
est envisagée, et donc peu intéressés, contestent le partage proportionnel et demandent à ce
que la contribution de chaque habitant soit inversement proportionnelle à la Distance entre le
centre de la commune et la piscine à construire.
Les distances entre les centres des communes A, B, C, D et la piscine sont respectivement de
1km, 5km, 4km et 10km.
Calculer le coût par habitant de chaque commune, ainsi que la somme à la charge de chaque
commune, avec ce nouveau partage.
Solution :
1) On totalise le nombre d'habitants : 15000
on divise le montant par le nombre total d'habitants : 1536000/15000 = 102,4 € par habitant
Pour la commune A : 8400 x 102,4 = 860160€
Pour la commune B : 3000 x 102,4 = 307200€
Pour la commune C : 1600 x 102,4 = 163840€
Pour la commune D : 2000 x 102,4 = 204800€
Le total fait bien 1536000€
2) on a l'équation:
x. 8400 + y . 3000+ z . 1600 + u . 2000 = 1536000 (1)
soit k un coefficient de proportionnalité :
on a x = 1 .k
y = 1/5 k
z = 1/4 k
u = 1/10 k
on exprime les inconnues en fonction de u
x = 10 u
y=2u
z = 2,5 u
et on remplace dans l'équation (1)
8400 . 10 u + 3000 . 2 u + 1600 . 2,5 u + 2000 u = 1536000
84000 u + 6000 u + 4000 u + 2000 u = 1536000
96000 u = 1536000
u = 1536000/96000
u = 16 €
donc x = 10. 16= 160€
y = 2 .16 = 32€
Chapitre 5 : La fonction homographique
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Chapitre 5 : La fonction homographique
z = 2,5 .16 = 40€
Chaque habitant de la commune A doit payer 160€
Chaque habitant de la commune B doit payer 32€
Chaque habitant de la commune C doit payer 40€
Chaque habitant de la commune D doit payer 16€
La commune A doit payer : 8400x160 = 1344000€
La commune B doit payer : 3000x32 = 96000€
La commune C doit payer : 1600x40 = 64000€
La commune D doit payer : 2000x16 = 32000€
Le total fait bien 1536000€
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Exercices
Exercice 1 : Pour chacune des fonctions suivantes précisez
a) le domaine de définition
b) les intersections avec les axes de coordonnées
c) les équations des asymptotes
d) les coordonnées du centre de symétrie
e) la croissance ou la décroissance
P
f) l’écriture de la forme M 
cx  d
Effectuez une représentation graphique dans un système d’axes orthonormés.
2x  1
x 1
 5x
e) f(x) =
2x  3
a) f(x) =

b) f(x) =
3x  2
4 x
c) f(x) =
3  2x
x 1
d) f(x) =
3  5x
4  3x
Exercice 2 :
Déterminez les coordonnées des éventuels points d’intersection de la droite et de la fonction
dans chacun des cas suivants :
2x  4
et d  y  x  2
1 x
3x  2
b) f (x) 
et d  y  2x  3
2 x
2x  5
c) f (x) 
et d  x  y  4  0
x  2
a) f (x) 
Effectuez une représentation graphique pour chaque énoncé.

2x  3
. On note Gf sa représentation graphique.
x 1
1. Déterminer: Df , les asymptotes à Gf, le centre de symétrie de Gf
2. Construire Gf dans un repère orthonormé
3. Résoudre graphiquement les inéquations suivantes
Exercice 3 : Soit la fonction f(x) =
i)
2x  3
 -x+3
x 1
ii)
2x  3
 x+1
x 1
iii)
2x  3
1
3
 x+
x 1
4
4
Exercice 4 :
ax  b
admette pour asymptote
xd
les droites d’équation y = 2 et x = -3 et passe par le point A (0 ; 1).
Construire H dans un repère orthonormé
Déterminer des réels a, b et d tels que l’hyperbole H ≡ y =
Exercices sur les hyperboles

Soit h(x) une fonction hyperbolique et H son graphique
Soit d(x) une fonction affine et d son graphique
Chapitre 5 : La fonction homographique
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Chapitre 5 : La fonction homographique
Questions
1.
2.
3.
4.
Domaine de définition ?
Coordonnées du Point d’intersection de H avec l’axe Ox
Coordonnées du Point d’intersectionde H avec l’axe Oy
Trouver m et p , quotient et reste de la division du polynôme numérateur par le
polynôme dénominateur et écrire le résultat.
5. Equations des asymptotes
6. Coordonnées du centre de symétrie
7. Calcul de limites lim h(x)  ...
lim h(x) 
8. Calcul de limites
x 
x
lim
xvaleurint erdire
h(x)  ...
lim
xvaleur int erdite 
h(x) 
9. Coordonnées du Point d’intersectionde H avec l’axe d

10. Tracer avec
 soin dans un repère correctement gradué, l’hyperbole H, les
asymptotes trouvées ci dessus ,la droite d et tous les points trouvés ci dessus.
Application numérique
h(x) 
h(x) 
h(x) 
h(x) 
h(x) 
h(x) 
2x  3
et d (x)  x  3
x 1
2x  5
et d (x)  y  4  x
x  2
2x  4
et d (x)  y  x  2
1 x
2x  3
et d (x)  y  x  1
x 1
2x  3
1
3
et d (x)  y  x 
x 1
4
4
3x  2
et d (x)  2x  3
2 x

Chapitre 5 : La fonction homographique
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