Modèle mathématique.

Chapitre 5 : La fonction homographique
Chapitre 5 : La fonction homographique Page 1 sur 18
I. Notion de limite
Soit f : IR* →IR
x  1
x
x
-104
-103
-102
-10
10
102
103
104
1
x
lim
x  + 1
x = lim
x  - 1
x =
On dira que la droite d’équation y = 0 (l’axe des abscisses) est asymptote à la courbe en + 
et en -
x
-10-1
-10-2
-10-3
-10-4
10-4
10-3
10-2
10-1
1
x
lim
x  0+ 1
x = lim
x  0– 1
x =
On dira que la droite d’équation x = 0 (l’axe des ordonnées) est asymptote à la courbe.

Chapitre 5 : La fonction homographique
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De manière générale :
La droite d'équation y = a est asymptote horizontale au graphe de la fonction f
si et seulement si
lim f(x) = a
x→∞
La droite d’équation x = b est asymptote verticale au graphe de la fonction f
si et seulement si
lim f(x) = ∞
x→b
II. Rappel du vocabulaire des fonctions
 Une fonction est une relation qui, à chaque valeur de la variable x fait correspondre au
plus (0 ou 1) une valeur de y
 Pour exprimer que y est une fonction de x, on écrit y = f(x) ou f : x  y = f(x)
 La (les) racine(s) ou zéros d’une fonction y = f(x) sont la (les) valeur(s) de x qui
annule(nt) y
 Les coordonnées du point d’intersection M du graphique de la fonction y = f(x) avec
l’axe OY s’obtiennent en résolvant le système M(x ; y) F∩(OY)
yf(x)
x0
 Un point appartient au graphique d’une fonction lorsque ses coordonnées vérifient
l’équation du graphique
 Les coordonnées du point d’intersection du graphique de la fonction y = f(x) avec
l’axe OX s’obtiennent en résolvant le système M(x ; y) F∩(OX)
yf(x)
y0
 Le domaine de définition d'une fonction f est l'ensemble des réels x ayant une image y
par f.
En pratique, on déterminera le domaine d’une fonction en recherchant les nombres ne lui
appartenant pas, il s’agit notamment des nombres qui annulent les éventuels
dénominateurs (rappel : on ne peut pas diviser par 0!)

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 Sens de variation
Une fonction f est croissante sur un intervalle [a, b] inclus dans son domaine
si et seulement si
x1,x2a,b
 :x1x2f(x1)f(x2)
Fig. 1 : Fonction croissante
Une fonction f est décroissante sur un intervalle [a, b] inclus dans son domaine
si et seulement si
x1,x2a,b
 :x1x2f(x1)f(x2)
x
y
y=f(x)
1
0
1
x
1
x
2
f(x )
2
f(x )
1
Fig. 2 : Fonction strictement
décroissante
Fig. 2 : Fonction strictement décroissante
On parle de « croissance stricte ou de décroissance stricte » lorsqu’on n’accepte pas l’égalité
dans les inégalités précédentes.

Chapitre 5 : La fonction homographique
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III. Etude et représentation graphique
Voici une série de fonctions que nous allons représenter dans un système d’axes orthonormés.
f1(x)1
xf2(x)2 xf3(x)4x1 2x5 f4(x)23x 4x2
f5(x)x
x1 f6(x)3 2x2
Pour chacune d’elles nous préciserons
a) le domaine de définition
b) l’ensemble image
c) la racine
d) l’intersection avec l’axe des ordonnées
e) les asymptotes
f) la croissance
1) L’hyperbole d’équation
y1
x
est le graphique de la fonction
x
xf 1 )(
1
Tableau de valeurs
x
-4
-3
-2
-1
-1/2
-1/4
0
1/4
1/2
1
2
3
4
Courbe : Graphique de
x
xf 1 )(
1
Etude
La courbe obtenue est …………………………………………….
Elle admet un centre de symétrie ………………………………..
Le domaine de définition de la fonction est ………………………
L’ensemble image de la fonction est ……………………………..

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La fonction ……. n’a pas de racine : aucun point d’intersection avec les axes
La fonction……… est décroissante sur son domaine IR \{0}
Elle admet 2 asymptotes :……………………………………………
…………………………………………….
Tableau de variation :
2) L’hyperbole d’équation
x
y2
est le graphique de la fonction
f2(x)2
x
Tableau de valeurs
x
-4
-3
-2
-1
-1/2
-1/4
0
1/4
1/2
1
2
3
4