x - V.Dujardin

Fonction inverse et fonctions homographiques 0
1 La fonction inverse
1.1 Définition
Définition 1 : fonction inverse
La fonction inverse est définie sur
ℝ*
par
x→1
x
Remarque :
•Elle est définie sur
ℝ
privé de {0} car la division par 0 n'existe pas.
•On peut écrire au moins de trois manières l'ensemble de définition de la fonction
inverse :
ℝ*
=
ℝ
- { 0 } =]-
∞
;0[
∪
]0;+
∞
[
1.2 Représentation graphique
La fonction inverse en représentée par une courbe que l'on
appelle hyperbole.
Cette hyperbole comporte deux parties qui ne sont pas
reliées, et que l'on appelle branches.
Remarque : l'hyperbole ne coupe pas l'axe des ordonnées,
car 0 n'appartient pas à l'ensemble de définition (0 n'a pas
d'image, car
1
0
n'existe pas).
1.3 Signe
Propriété 1 : signe
Le signe de
1
x
est celui de x.
Autrement dit : un nombre et son inverse ont le même signe
Preuve : 1 est positif. Le signe de
1÷x
est donc celui de x d'après la règle des signes
dans un produit/quotient.
1.4 Sens de variation
Propriété 2 : sens de variation
La fonction inverse est :
strictement décroissante sur
]
−∞ ;0
[
strictement décroissante sur
]
0;+∞
[
Important : la fonction inverse n'est pas décroissante sur
ℝ*
Méthode : la propriété 2 permet d'ordonner l'inverse de deux nombres de même signe.
Exemple : On sait que 3<
π
et que 3 et
π
sont dans ]0;+
∞
[.
On en déduit que
1
3>1 π
car la fonction inverse est décroissante sur ]0;+
∞
[
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2 Fonctions homographiques
2.1 Définition
Définition 2 : fonctions homographiques
Une fonction homographique est une fonction qui peut s'écrire sous la forme
f ( x ) =ax +b
cx +d
, avec a, b, c et d quatre nombres réels, et
c≠0
Remarques :
•
c≠0
est important, sinon la fonction serait affine.
•La fonction inverse est une fonction homographique, avec
a=d=0
et
b=c=1
Méthode : pour reconnaître une fonction homographique, on réduit les numérateurs et
dénominateurs de son expression pour identifier a, b, c et d.
Exemple avec la fonction définie pour
x≠3
par
g
(
x
)
=
(
x+1
)
2−x2
2 ( 3−x )
Pour tout
x≠3
:
g
(
x
)
=x2+2x+1−x2
6−2x=2x+1 −2x+6
.
g(x) est de la forme
a x+b
c x+d
avec a=2, b=1, c=-2 et d=6. g est donc homographique.
2.2 Ensemble de définition
Rappel : l'ensemble de définition d'une fonction f est l'ensemble des nombres qui ont une
image par f (c'est à dire que l'on peut calculer
f x
). On le note généralement Df.
Méthode
Pour déterminer l'ensemble de définition d'une fonction avec un quotient, on enlève de
ℝ
la (ou les) valeur(s) qui annule(nt) le dénominateur (appelées valeurs « interdites »).
Exemple avec f :
x→3x−1
2x+6
.
Valeur « interdite » pour x : lorsque
2x+6=0
,
ce qui équivaut à
2x=−6
et à
x=−3
,
donc l'ensemble de définition de f est
ℝ
-{-3} (s'écrit aussi : ]-
∞
;-3[
∪
]-3;+
∞
[)
Une autre manière de rédiger :
f est définie pour
2x+6≠0
qui équivaut à
2x≠−6
et à
x≠−3
, donc Df=
ℝ
-{-3}
2.3 Représentations graphiques
Vocabulaire :
Les courbes représentant les fonctions homographiques
sont des hyperboles.
Elles sont constituées de deux branches : on ne
peut pas les tracer sans lever le crayon.
Exemple : la valeur interdite étant 2, la courbe n'a
pas de point d'abscisse 2. Les branches sont séparées
par une droite définie par
x=2
(en pointillée).
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3 Equations quotient
Définition 3
On appelle équation quotient les équations ayant l'inconnue dans un dénominateur.
Exemples :
x+1
x−2=0
est une équation quotient,
1
x=4
aussi. Elle équivaut à
1
x−4=0
et à
1−4x
x=0
x
3=0
n'est pas une équation quotient : pas d'inconnue au dénominateur.
Méthode pour résoudre une équation quotient :
•Exclure de la recherche les valeurs interdites.
•Résoudre l'équation avec les propriétés connues (équivalences, produit nul, etc.)
Exemple 1 : Résoudre
( x−2 )( x+3 )
4−2x=0
 L'équation est définie pour
4−2x≠0
⇔
4≠2x
⇔
x≠2
 Dans
ℝ
-{2}, l'équation équivaut à
( x−2 )( x+3 )
4−2x=0
et à
( x−2 )( x+3 ) =0
(en multipliant par
4−2x
qui n'est pas nul)
et à
x=2
ou
x=−3
(produit nul)
Conclusion : le seule solution est -3 (car 2 est exclue)
Exemple 2 : résoudre
x+1
x+2=3
 Valeur interdite pour
x+2=0⇔x=−2
 Dans
ℝ
-{-2}, elle équivaut à
x+1
x+2−3=0
et à
x+1−3 ( x+2 ) =0
(en multipliant par
x+2
)
et à
x+1−3x−6=0
et à
x=− 5
2
La solution est S={
−5
2
}
Preuve de la propriété 2
Soient u et v dans ]-
∞
;0[ avec
u<v
.
1
u−1 v=v u×v−u u×v=v−u u×v
.
v−u
est positif car
u<v
, et
u×v
aussi car u et v sont de même signe : le quotient
est donc positif.
On a donc
1
u−1 v>0
⇔
1
u>1 v
.
On a montré que l'ordre des antécédents s'inverse pour les images : la fonction est bien
décroissante sur ]-
∞
;0[.
La démonstration est similaire sur ]0;+
∞
[.
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