1 Fonction inverse - Page personnelle de Julien Chenal

Fonction inverse
Fonction homographique
Cours
Objectifs du chapitre
Représenter graphiquement la fonction inverse et connaître ses variations.
Identifier l’ensemble de définition d’une fonction homographique.
1 Fonction inverse
1.1 Définition et variations
Définition
La fonction inverse est la fonction f définie sur R∗ par f (x) =
1
x
Remarques importantes!!
On dit que 0 est une valeur interdite de la fonction inverse.
Théorème
La fonction inverse est :
• strictement décroissante sur ] − ∞; 0[.
• strictement décroissante sur ]0; +∞[.
Remarques importantes!!
Attention, on ne peut pas dire que la fonction inverse est strictement décroissante sur R∗ .
Propriété
DD
Le tableau de variations de la fonction inverse est le suivant :
x −∞
1
x
0
1
+∞
Remarques importantes!!
Dans un tableau de variations, les valeurs interdites sont symbolisées par une double barre
verticale.
1.2 Courbe représentative
Voir activité.
Tableau de valeurs :
x
−2
−1 −0, 5 −0, 1
0
0, 1 0, 5 1
2
4
@
1
x
−0, 5 −1
−2
−10
@
@
@
10
2
1 0, 5 0, 25
@
@
Définition
La fonction inverse est représentée
par une courbe H , appelée hyperbole.
Remarques importantes!!
1
1
= − = − f (x). Les points M (x; f (x)) et M 0 (−x; f (−x))
−x
x
sont donc symétriques par rapport à l’origine du repère.
Pour tout nombre x on a f (−x) =
2
2 Fonctions homographiques et signe d’une équation quotient
2.1 Etude d’un exemple
Exercice
Une entreprise souhaite promouvoir une nouvelle sorte de céréales pour le petit-déjeuner.
L’entreprise estime qu’après x semaines de publicité, le pourcentage de personnes
80x
connaissant le nom de ces céréales est donné par p(x) =
.
x +1
1) Calculer p(4). En déduire le pourcentage estimé de personnes ignorant le nom du produit après quatre semaines de publicité.
2) Avant la campagne de publicité, personne ne connait le nom de ces céréales. Vrai ou
Faux ? (Justifier)
3) Après 15 semaines de publicité, tout le monde connait le nom de cette céréale. Vrai ou
Faux ? (Justifier).
L’entreprise envisage une campagne de publicité de 10 semaines pour promouvoir ce
produit.
On s’intéresse donc à la fonction p définie sur l’intervalle [0; 10] par
p(x) =
80x
.
x +1
4) Compléter le tableau de valeurs suivant :
x
p(x)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
5) Tracer (Avec soin), sur [0; 10], la représentation graphique de la fonction p.
6) Déterminer graphiquement la durée nécessaire pour que le pourcentage p(x) devienne
supérieur ou égal à 60 pour cent. (On laissera apparaitre les traits de construction)
7) Déterminer graphiquement combien de semaines supplémentaires de publicité sont
nécessaires pour que ce pourcentage dépasse 70 pour cent. (Traits de construction)
8) Le directeur de marketing de cette entreprise affirme que la campagne de publicité aura
un fort impact pendant les trois premières semaines, et qu’au-delà, ce sera beaucoup
plus limité. Cette affirmation vous semble-t-elle justifiée ? (Justifier)
2.2 Fonction homographique
2.2.1 Définition
Définition
On appelle fonction homographique toute fonction f qui peut s’écrire sous la forme :
f (x) =
ax + b
, où a, b, c, d ∈ R et c 6= 0.
cx + d
3
2.2.2 Ensemble de définition
Propriété
Une fonction homographique est définie pour tout x n’annulant pas son dénominateur.
Exercice
Déterminer l’ensemble de définition des fonctions suivantes :
1
.
1) f (x) =
x −3
3x − 2
2) g (x) =
.
2x − 7
1
.
3) h(x) =
−5x + 10
2.3 Signe d’une équation quotient
Exercice
Déterminer le signe des équations suivantes :
x −4
1)
x +6
2x + 4
2)
3x − 6
−2x + 8
3)
3x + 9
Exercice
Résoudre les inéquations suivantes :
x + 15
1)
≤0
−8x + 5
6x − 3
2)
≥0
x
−9x + 4
>0
3)
−x + 7
4