Fonction homographique

Seconde
Fonction homographique
1
Définition et propriété
Définition :
−d
On appelle fonction homographique f , une fonction qui au nombre x différent de
, associe
c
ax + b
le nombre
, où a et b sont deux nombres non tous les deux nuls et c un nombre non nul
cx + d
et d un nombre.
f : x 7→ f (x) =
ax + b
.
cx + d
Exercice :
3x − 2
Soit la fonction homographique f telle que f (x) =
.
7x + 14
Trouver la valeur interdite pour x c’est à dire celle qui annule le dénominateur 7x + 14.
Exercice :
Dire si les expressions suivantes sont des fonctions fonctions homographiques, dans le cas
d’une réponse affirmative, préciser les valeurs de a, b, c et d :
2x + 1
1. f1 : x 7→ f1 (x) =
;
−3x + 5
1
2. f2 : x 7→ f2 (x) = ;
x
2x
3. f3 : x 7→ f3 (x) =
;
6x − 1
−2
4. f4 : x 7→ f4 (x) =
;
4x + 1
2x − 9
5. f5 : x 7→ f5 (x) = 2 −
;
x
2x − 1
6. f6 : x 7→ f6 (x) =
;
2
1
7. f7 : x 7→ f7 (x) = x + ;
x
1
8. f8 : x 7→ f8 (x) = x + .
3
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Seconde
2
Représentation graphique :
Exercice :
2x + 1
Soit la fonction homographique f telle que f (x) =
.
4x − 6
1. Trouver la valeur interdite pour x.
2. Compléter le tableau de valeurs suivants :
x
-7 -6 -5 -4 -3 -2.5 -1.5 -1
f (x)
0
1
2
3
3. Représenter la fonction f sur le graphique suivant :
3
2.5
2
1.5
1
0.5
−7 −6.5 −6 −5.5 −5 −4.5 −4 −3.5 −3 −2.5 −2 −1.5 −1 −0.5
0 0.5
1
1.5
2
2.5
3
−0.5
−1
−1.5
−2
Théorème :
Une fonction homographique
est représentée par une hyperbole H, son centre de symétrie I a
−d a
pour coordonnées
;
.
c c
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Seconde
3
Étude des variations d’une fonction homographique
Théorème :
ax + b
(c non nul).
Soit une fonction homographique f , telle que f (x) =
cx + d
h
f peut s’écrire sous la forme f (x) = k + cx+d
, où k et h sont deux nombres non tous les deux
nuls.
Démonstration :
h
Réduire au même dénominateur la forme k +
et identifier les nombres k et h en
cx + d
fonction de a, b, c et d.
Exercice :
1. Réduire au même dénominateur et simplifier les expressions suivantes, identifier les
nombres k, h, a, b et c :
5
;
(a) f1 (x) = −1 +
2x + 1
4
.
(b) f2 (x) = 7 −
3x + 4
1
2. Soit la fonction f telle que pour tout nombre x, f (x) = 7 − .
x
7x − 1
Montrer que pour tout nombre x non nul, f (x) =
.
x
Théorème :
h
Soit f une fonction homographique telle que f (x) = k +
.
cx + d
On donne les tableaux de variations des fonctions homographiques f suivant le signe de c.h
(le tableau indique aussi un exemple de représentation graphique) :
c.h < 0
c.h > 0
x
1
1
d
+
f (x)
x
1
1
d
+
f (x)
I
−d
c
k
I
k
−d
c
Indication de démonstration :
On utilise les variations de la fonction ”inverse”, et la définition des variations d’une fonction.
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Seconde
Exercice :
Étudier les variations des fonctions suivantes, et vérifier les variations sur votre calculatrice
avec une fenêtre graphique adaptée (indiquer les paramètres de la fenêtre utilisée) :
2
1. f (x) = 3 −
;
3x + 6
5
2. g(x) = −7 +
.
2x − 7
4
Signe d’une fonction homographique
Exemple :
ax + b
.
cx + d
on cherche les valeurs x1 et x2 les solutions respectives des équations ax + b = 0 et cx + d = 0
Le signe de f (x) se détermine par un tableau de signe en indiquant une double barre pour la
.
valeur interdite : supposons f (x) = −2x+4
5x+6
−6
x1 = 2 et x2 =
5
Soit f une fonction homographique telle que f (x) =
x
2x + 4
5x + 6
2x + 4
5x + 6
1
+
6
5
+ +
0 +
0
+
+
0
+1
2
+
— f (x) < 0 sur l’intervalle ] − ∞; −6
[∪]2; ∞[
5
−6
— f (x) > 0 sur l’intervalle ] 5 ; 2[ ;
— f (x) = 0 dans l’ensemble {2}.
Exercice :
1. Déterminer le tableau de signe de f (x) =
calculatrice.
2. Déterminer le tableau de signe de f (x) =
calculatrice.
3. Déterminer le signe de f (x) = −2 −
calculatrice.
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x−3
; Vérifier sur avec le graphique de la
x+5
−2x + 5
; Vérifier sur avec le graphique de la
3x − 8
−1, 5
; Vérifier sur avec le graphique de la
2x + 5
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