Classe de seconde 12 Jeudi 19 avril 2012 Devoir surveillé de

Classe de seconde 12 Jeudi 19 avril 2012
Devoir surveillé de mathématiques n°8
Exercice 1 (14 points)
On appelle  la fonction définie par 
.
1. Quelle est la valeur interdite ? Résoudre l’équation  .
2. Compléter le tableau de valeurs ci-dessous (on donnera les valeurs exactes)
3. Montrer que    
.
4. En déduire le tableau de variations de  (expliquer)
5. Tracer la courbe de 
6. Résoudre par l’algèbre l’inéquation  .
7. Représenter sur le même graphique la fonction  définie par  . En déduire
la résolution graphique de l’inéquation  .
8. Montrer que  
 . En déduire la résolution algébrique de
l’équation  .
9. Comment peut-on trouver les réels inférieurs à leur image par  ?
10. Soit  un réel. Quand a-t-il un antécédent par la fonction  ? Montrer que cet
antécédent s’obtient par la formule 
.
Exercice 2 (6 points)
Les questions sont indépendantes. Les réponses devront être justifiées
1. Parmi les fonctions suivantes, dire lesquelles sont des fonctions homographiques :
,  ,     ,     .
2. Sachant que 
   , donner le meilleur encadrement de 
3. Résoudre l’inéquation 

Exercice 1
1. Le dénominateur ne doit pas s’annuler, la valeur interdite est donc 1.
Une fraction est nulle si son numérateur est nul,    équivaut à   .
2.
1,5
1
0
6
4
3
2,5
3. On part de la forme proposée :   
4. Le tableau de variations est analogue à celui de la fonction 
, mais la valeur interdite
est 1, et il y a un décalage de 2 vers le haut. Comme le numérateur 
 est positif, la
fonction est décroissante comme 
2
2
5.
6. On résout cette inéquation par un tableau de signes :
Les solutions de l’inéquation    sont donc    
7. Pour résoudre graphiquement l’inéquation  , on regarde quand la courbe
de  est au dessus de celle de . Les solutions sont     

8.   
 . D’autre part, en développant
 , on retrouve le même
résultat. On a donc bien  
 .
L’équation   se traduit par    donc 
  . Les
solutions sont donc   .
9. Pour trouver les réels inférieurs à leur image par , il faut résoudre l’inéquation  
. Pour cela on trace la droite d’équation    (c’est une fonction linéaire) et on
regarde les points où la droite est en dessous de la courbe de . On trouve comme
solution     
10. D’après le tableau de variations (ou la courbe), tous les réels sauf 2 ont un
antécédent par  (car la courbe passe par toutes les ordonnées, de  à , en
sautant l’ordonnée 2. Pour trouver l’antécédent de , on doit résoudre l’équation
 , qui s’écrit 
  , soit      ou encore     . On isole
les  pour obtenir     , donc     et   
.
Exercice 2
1. 
 n’est pas homographique car il y a  au dénominateur
 est homographique
 est homographique
 n’est pas homographique car il y a  au numérateur
2. 
    donc    car la fonction inverse est décroissante sur .
3. Pour résoudre l’inéquation 
  on prend les points de la courbe de la fonction
inverse situés en dessous de l’ordonnée 2.
Les solutions sont donc     