Les fonctions homographiques

Les fonctions homographiques
Définition : soit k ∈ℝ et f une fonction définie sur ]−∞ ; k [ ∪ ] k ; ∞ [ . La fonction f est une fonction homographique si et seulement s'il existe quatre nombres réel a, b , c ≠0 ,
d
ax b
et d tels que ad ≠bc et pour tout réel x ≠− , f  x  =
.
c
cx d
On peut retenir : "une fonction homographique est le quotient de deux fonctions affines"
Exemples et contre-exemples :
2 x 3
2 x 3
3 x 2
3
x→
x→
x→
x → 2
pour x ≠
pour x ≠
pour x ≠
4 x 5
4
6 x4
x4
Forme décomposée en éléments simples
Forme réduite
La forme décomposée en éléments simples d'une fonction homographique fait
apparaitre une seule fois la variable x .
Elle permet de connaître les variations de la fonction.
Soit f la fonction définie sur ............. par :
3
f  x  =2 
x 4
La forme réduite d'une fonction homographique fait apparaitre au dénominateur
l'expression x − k où k est la "valeur interdite".
Elle permet de connaître le signe de la fonction.
y
8
Alors pour tout réel x ≠, f  x  =
7
 x 
x 
y
8
7
6
6
5
5
4
x
3
variations
de f
1
2
-13
-12
-11
-10
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
x
4
signe de
f  x
2
4 x
3
1
-13
-12
-11
-10
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
y
6
4
x
variations
de g
-3
-2
-1
5
4
3
3
2
2
x
1
-4
0
-1
-2
1
2
3
4
5
4 x
y
6
 x 
Alors pour tout réel x ≠, g  x  =
x 
5
-5
3
-4
-4
-6
2
-3
-3
-7
1
-2
-2
Soit g la fonction définie sur ............. par :
2
g  x  =1 −
x −3
0
-1
-1
6
7
8
9
10 x
signe de
g  x
1
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
-1
-2
-3
-3
-4
-4
-5
-5
-6
-6
Propriété (admise en seconde) : toute fonction homographique est représentée graphiquement dans un repère orthonormé  O ; i ; j  par une hyperbole.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 x