Les fonctions homographiques

Les fonctions homographiques
Définition : soit
k∈ℝ
et
f
une fonction définie sur
] −∞ ;k [ ∪ ] k;∞ [
. La fonction
f
est une fonction homographique si et seulement s'il existe quatre nombres réel
a
,
b
,
c≠0
,
et
d
tels que
ad ≠bc
et pour tout réel
x≠− d
c
,
f x =ax b
cx d
.
On peut retenir : "une fonction homographique est le quotient de deux fonctions affines"
Exemples et contre-exemples :
x
→
2x3
4x5
pour
x≠
x
→
2x3
4
x
→
3x2
6x4
pour
x≠
x
→
23
x4
pour
x≠
Forme décomposée en éléments simples
La forme décomposée en éléments simples d'une fonction homographique fait
apparaitre une seule fois la variable
x
.
Elle permet de connaître les variations de la fonction.
Forme réduite
La forme réduite d'une fonction homographique fait apparaitre au dénominateur
l'expression
x−k
où
k
est la "valeur interdite".
Elle permet de connaître le signe de la fonction.
Soit
f
la fonction définie sur ............. par :
f x =23
x4
x
variations
de f
Alors pour tout réel
x≠
,
f x =x
x
x
signe de
f x
Soit
g
la fonction définie sur ............. par :
g x =1−2
x−3
x
variations
de
g
Alors pour tout réel
x≠
,
g x =x
x
x
signe de
g x
Propriété (admise en seconde) : toute fonction homographique est représentée graphiquement dans un repère orthonormé
O; i; j
par une hyperbole.
2 3 4-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13
2
3
4
5
6
7
8
-1
-2
-3
-4
0 1
1
x
y
2 3 4-1-2-3-4-5-6-7- 8-9-10-11-12-13
2
3
4
5
6
7
8
-1
-2
-3
-4
0 1
1
x
y
2 3 4 5 6 7 8 9 10-1-2-3-4-5-6-7
2
3
4
5
6
-1
-2
-3
-4
-5
-6
0 1
1
x
y
2 3 4 5 6 7 8 9 10-1-2-3-4-5-6-7
2
3
4
5
6
-1
-2
-3
-4
-5
-6
0 1
1
x
y