Cours de Probabilités Dominique PASTOR

Cours de Probabilités
par
Dominique PASTOR
Département Signal et Communications
Technopôle Brest-Iroise, CS 83818, 29238 Brest Cedex
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Septembre 2003

Objectifs pédagogiques
Les probabilités interviennent dans tous les domaines de l’ingénierie. En tél-
communications, on est amené à traiter des données qui par nature sont aléatoires.
Il va falloir par exemple calculer la probabilité d’erreur d’une transmission lors-
qu’on transmet des séquences de valeurs binaires et .
Ainsi, un cours de probabilité est incontournable dans toute école d’ingénieur
et en particulier, ici, à l’ENST Bretagne.
Les objectifs pédagogiques du cours supporté par ce polycopié sont alors les
suivants en terme de "être capable de" et "être sensibilisé à". Pour chaque objectif
listé ci-dessous, nous pointons vers le chapitre où l’étudiant trouvera les informa-
tions nécessaires permettant de remplir l’objectif pédagogique.
i

Objectif : être capable de Voir
Donner la définition d’un espace probabilisé Chapitre 1
Effectuer des calculs combinatoires de probabilités Chapitre 2
Calculer des probabilités conditionnelles élémentaires Chapitre 3
Donner la définition de l’indépendance entre événements Chapitre 3
Calculer des lois conditionnelles Chapitre 12
Donner la définition correcte d’une variable aléatoire réelle ou généralisée Chapitre 4
Donner les théorèmes de convergence monotone et de convergence dominée Chapitre 5
Donner la définition de l’espérance d’une variable aléatoire Chapitre 9
Donner la définition des moments d’ordre supérieur Chapitre 9
Donner la définition de la fonction caractéristique Chapitre 9
Donner la définition de la fonction de répartition et d’une densité de proba-
bilité Chapitre 10
Donner la définition des variables aléatoires absolument continues et celle
des variables discrètes Chapitre 10
Savoir calculer les fonctions de répartitions et les densités de probabilités
des variables aléatoires absolument continues Chapitre 10
Donner la définition d’un vecteur aléatoire Chapitre 12
Donner la définition de l’espérance d’un vecteur aléatoire Chapitre 12
Donner la définition de la fonction de répartition d’un vecteur aléatoire Chapitre 12
Donner la définition des lois conjointes Chapitre 12
Manipuler les densités de probabilité conditionnelles Chapitre 12
Utiliser le théorème de changement de variable et le théorème de transfert
pour les calculs usuels (notamment, différentes méthodes de calcul de la
densité d’une somme de variables aléatoires)
Chapitre 12
Savoir définir et manipuler les matrices de covariance Chapitre 12
Donner la définition des vecteurs aléatoires gaussiens et leurs propriétés
élémentaires Chapitre 13
Donner l’inégalité de Bienaymé-Chebyshev (version probabiliste) Chapitres 9 et 15
Connaître et d’utiliser le théorème de la limite centrale Chapitre 15
TAB. 1 – Objectifs "être capable de".
ii

Objectif : être sensibilisé à Voir
Aux principales lois utilisées dans la pratique et les phéno-
mènes qu’elles modélisent Chapitre 11
A la théorie de la mesure et de l’intégration Chapitre 5
Aux notions de "presque partout" et de "presque sûrement" Chapitre 6
Aux extensions des théorèmes de convergence de la théorie
de Lebesgue Chapitres 5 et 6
Au théorème de Fubini et son application Chapitre 7
Aux relations entre intégrales de Lebesgue et de Riemann Chapitre 8 et Annexe C
Au théorème de Radon-Nikodym Chapitre 10
A la théorie des variables aléatoires conditionnelles (par
rapport à un événement, une tribu, une variable aléatoire) Chapitre 10 et Annexe D
A la théorie des variables aléatoires complexes Chapitre 14
Aux différents modes de convergence des variables aléa-
toires Chapitre 15
Aux méthodes de génération des variables aléatoires Chapitre 16
TAB. 2 – Objectifs "être sensibilisé à".
iii

Guide de lecture de la bibliographie
Vous trouverez en fin de ce polycopié une bibliographie complète du cours de
probabilité. Nous donnons ici un guide de lecture de cette bibliographie.
[10] est un livre ancien qui présente les probabilités selon le point de vue des
statisticiens. Les outils mathématiques utilisés y sont essentiellement l’algèbre et
l’analyse élémentaire. Cette référence n’utilise pas la théorie de la mesure. Etant
court et très concis, il permet au lecteur de retrouver très rapidement les résultats
classiques de la théorie. C’est donc un excellent aide-mémoire qui permet aussi
d’éclairer certains aspects de la théorie sous un angle pratique et applicatif. Son
défaut : l’ouvrage étant ancien, il est parfois difficile à trouver.
La présentation des probabilités dans [3] est, dans une certaine mesure, une ex-
tension de celle de [10] où on retrouve l’axiomatique de Kolmogorov basée sur la
théorie de la mesure. Cet ouvrage est court et permet aussi au lecteur de retrouver
très facilement les résultats classiques de la théorie. Cet ouvrage donne aussi un
éclairage statistique de la théorie des probabilités et de nombreux exemples. A la
différence de [10], on le trouve beaucoup plus facilement dans les bibliothèques.
Les ouvrages [18, 19, 6, 7] s’adressent aux étudiants ayant besoin d’un cours
plus approfondi pour le reste de leur formation à l’école. Ce sont aussi des ré-
férences classiques pour les ingénieurs en traitement du signal et télécommuni-
cations. Dans les références [6, 7, 19], on peut trouver, en plus des démonstra-
tions théoriques des résultats fondamentaux, des exercices et problèmes résolus
ou commentés.
[8] (Tomes 1 et 2) est une référence incontournable en théorie des probabilités.
Ouvrage mathématique, il expose la théorie dans toute sa complexité. On y trouve
des extensions des théorèmes des grands nombres. Il est adapté aux travaux de
recherche.
[11] et [24] sont les ouvrages préférés de l’auteur de ce polycopié. Ils repré-
sentent l’école russe dans toute sa subtilité. Ce sont des ouvrages mathématiques.
Ils sont parfois difficiles car utilisent des éléments de théorie de la mesure peu
connus des ingénieurs. Le polycopié que nous vous fournissons, souvent influencé
par ces références, devrait vous donner les clefs suffisantes pour exploiter ces ou-
vrages. Ceci dit, ces oeuvres s’adressent principalement aux chercheurs, voire aux
ingénieurs de recherche.
[20] est un ouvrage remarquable, mais très spécialisé, sur les mesures condi-
tionnelles. On y voit que la théorie des probabilités conditionnelles est un domaine
iv