![](//s1.studylibfr.com/store/data-gzf/e7e3351cfcecbc22731f0d6a32896185/1/008306901.htmlex.zip/bg2.jpg)
Département de Mathématiques Probabilités de base Guelma: 2012-2013
I Espace de probabilité
Un espace de probabilité est un triplet (Ω,F,P)où :
-Ωest un ensemble,
-Fest une tribu (ou σ-algèbre) sur Ω,
-Pest une (mesure de) probabilité sur (Ω,F).
Définition 1.1.1. Une tribu (ou σ-algèbre) sur Ωest une famille Fde sous-ensembles de Ω(appelés
“événements”) tels que
i)φ∈ F
ii)A∈ F =⇒Ac∈ F
iii) (An)∞
n=1 ⊂ F =⇒ ∪∞
n=1An∈ F
En particulier : A, B ∈ F =⇒A∪B∈ F.
De même, A, B ∈ F =⇒A∩B∈ F.
Exemple 1.1.2. - Soit Ω = {1, ..., 6}. On peut définir plusieurs tribus sur Ω:
F=P(Ω) = {φ, {1},{2}, ..., {1,2}, ..., Ω}=tribu complète (la plus grande),
F0={φ, Ω}= tribu triviale (la plus petite) (φ= évén. impossible, Ωévén. arbitraire),
F1={φ, {1},{2, ..., 6},Ω},F2={φ, {1,3,5},{2,4,6},Ω},etc.
- Soit Ω = [0; 1] et I1, ..., Inune famille d’intervalles formant une partition de Ω. La famille de sous-ensembles
définie par
G={φ, I1, I2, ..., I1∪I2, ..., I1∪I2∪I3, ..., Ω}
est une tribu sur Ω.
Définition 1.1.3. Soit A={Ai, i ∈I}une famille de sous-ensembles de Ω. Alors la tribu engendrée par A
est la plus petite tribu sur Ωqui contient tous les sous-ensembles Ai, i ∈I. Elle est notée σ(A).
Exemple 1.1.4. Reprenons l’exemple 1.1.2.
- Soit Ω = {1, ..., 6}. Si A1={{1}},alors σ(A1) = F1. Si A2={{1,3,5}},alors σ(A2) = F2.
- Soit Ω = [0; 1]. Si A={I1, ..., In},alors σ(A) = G.
Définition 1.1.5. Soit Ω = [0; 1]. La tribu borélienne sur [0,1] est la tribu engendrée par la famille de sous-
ensembles A={]a;b[: 0 ≤a<b≤1}={intervalles ouverts dans[0,1]}. Elle est notée B([0,1]). Elle contient
un très grand nombre de sous-ensembles de [0,1], mais pas tous.
Remarque 1.1.6. - Pour Ωensemble fini, on choisit souvent F=P(Ω).
- Pour Ω⊂Rou Ω⊂Rn, on choisit souvent F=B(Ω).
Définition 1.1.7. Une sous-tribu de Fest une tribu Gtelle que si A∈Galors A∈ F.
(KERBOUA. M) 1 er Master: Probabilités et Applications -2-