Théorie de la Mesure et Intégration

Université Pierre & Marie Curie (Paris 6)
Licence de Mathématiques L3
UE LM364 Intégration 1 & UE LM365 Intégration 2
Année 2011–12
Théorie de la Mesure et Intégration
Amaury Lambert 1
1. Responsable des deux UE. Mél : amaury.lamb[email protected]

Table des matières
I LM364 – Intégration 1 5
1 Suites, ensembles et suites d’ensembles 6
1.1 Ladroiteachevée............................... 6
1.2 Rappels sur les suites et séries numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3 Ensembles................................... 7
1.3.1 Terminologie ............................. 7
1.3.2 Opérations classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3.3 Suites de parties d’un ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3.4 Fonctions et fonctions indicatrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2 Théorie des cardinaux 12
2.1 Cardinaux, équipotence, dénombrabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2 Cardinaux classiques et propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3 Tribus de parties d’un ensemble 17
3.1 Définitionsetexemples............................ 17
3.2 Tribuengendrée................................ 18
3.3 Tribus image et image réciproque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4 Fonctions mesurables 21
4.1 Définitions................................... 21
4.2 Exemples et opérations stables pour la mesurabilité . . . . . . . . . . . . 21
4.3 Fonctions étagées, en escalier, réglées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
5 Le cas borélien 26
5.1 (Rappelsde)Topologie............................ 26
5.2 Tribu borélienne et fonctions boréliennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
5.3 L’ensemble triadique de Cantor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
5.4 Une partie de Rnonborélienne ....................... 32
6 Mesures 34
6.1 Définitions et propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
6.2 MesuredeLebesgue.............................. 37
6.3 Autres définitions et autres propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2

TABLE DES MATIÈRES 3
7 Intégrale des fonctions positives 41
7.1 Intégrale des fonctions étagées positives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
7.2 Intégrale des fonctions mesurables positives . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
8 Intégrale des fonctions de signe quelconque 49
8.1 Intégrale des fonctions mesurables de signe quelconque . . . . . . . . . . 49
8.2 Les grands théorèmes de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
8.3 Intégrale des fonctions à valeurs complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
9 Applications 56
9.1 Intégrale de Lebesgue et intégrale de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . 56
9.2 Dérivéesetprimitives............................. 58
9.3 Intégrales dépendant d’un paramètre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
9.4 Applications.................................. 62
9.4.1 Dérivation sous la somme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
9.4.2 Convolution.............................. 62
9.4.3 Transformée de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
10 Inégalités et espaces Lp63
10.1InégalitédeJensen .............................. 63
10.2 Inégalités de Hölder et de Minkowski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
10.2.1 Semi-normes Lp,p∈[1,+∞].................... 64
10.2.2 Inégalité de Hölder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
10.2.3 Inégalité de Minkowski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
10.3 Espace Lpet espace Lp........................... 66
II LM365 – Intégration 2 69
11 Construction d’une mesure 70
11.1 Quelques rappels et nouvelles définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
11.1.1Rappels ................................ 70
11.1.2 Définitions utiles dans le cadre de l’unicité des mesures . . . . . . 70
11.1.3 Définitions utiles dans le cadre de l’existence des mesures . . . . . 72
11.2Unicitéd’unemesure............................. 72
11.2.1 Théorème de la classe monotone et corollaires . . . . . . . . . . . 72
11.2.2Applications.............................. 74
11.3 Existence d’une mesure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
11.3.1 Théorème de Caratheodory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
11.3.2Applications.............................. 77
12 Tribu produit et mesure produit 80
12.1Tribuproduit ................................. 80
12.1.1Casgénéral .............................. 80
12.1.2Lecasborélien ............................ 83

TABLE DES MATIÈRES 4
12.1.3Sections ................................ 84
12.2Mesureproduit ................................ 85
12.3ThéorèmesdeFubini ............................. 87
12.3.1 Théorème de Fubini–Tonelli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
12.3.2 Théorème de Fubini–Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
13 Mesure image et changement de variable 90
13.1Mesureimage ................................. 90
13.2 Formule du changement de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
14 Les espaces Lp96
14.1 Les espaces de Banach Lp.......................... 96
14.1.1 Convergence dans Lpet convergence simple . . . . . . . . . . . . 96
14.1.2 Complétude des espaces Lp..................... 98
14.2 L’espace L2et les espaces de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
14.2.1 L’espace de Hilbert L2(µ)...................... 99
14.2.2 Théorème de projection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
14.2.3 Lemme de Riesz–Fisher . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
14.3 Théorème de Radon–Nikodym . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
14.4 Dualité Lp–Lq................................. 106
15 Régularité et théorèmes de densité 109
15.1 Régularité d’une mesure sur un espace métrique . . . . . . . . . . . . . . 109
15.2Théorèmesdedensité............................. 112
16 Produit de convolution 114
16.1 Convolution de mesures et de fonctions positives . . . . . . . . . . . . . . 114
16.2 Convolution de fonctions boréliennes de signe quelconque . . . . . . . . . 116
17 Transformée de Fourier 119
17.1 Définition et premières propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
17.2 Injectivité de la transformée de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

Première partie
LM364 – Intégration 1
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