1 Rappels de cours 2 Méthodes et exemples

Niveau : 1S
Fiche méthode : limites à l’infini des fonctions polynômes et rationnelles
F. Demoulin
1 Rappels de cours
Définition 1.1 On appelle fonction polynôme toute fonction définie sur R dont l’expression algébrique est de la forme :
f (x) = an x n + an−1 x n−1 + . . . + a1 x + a0
où n est un entier naturel et a0 , a1 , . . . , an des réels.
Remarques. • n est appelé le degré de f , on le note deg( f ) ;
• an x n est le terme de plus haut degré.
Théorème 1.1 La limite d’une fonction polynôme en −∞ ou en +∞ est égale à la limite de son
terme de plus haut degré.
Définition 1.2 On appelle fonction rationnelle tout quotient de deux fonctions polynômes.
Théorème 1.2 La limite d’une fonction rationnelle en −∞ ou en +∞ est égale à la limite du rapport des termes de plus haut degré du numérateur et du dénominateur.
2 Méthodes et exemples
Point méthode 1 Pour déterminer la limite à l’infini d’une fonction polynôme :
➀ on cite le théorème 1.1 ;
➁ on calcule la limite en s’appuyant sur ce théorème.
Exemple. Soit f la fonction définie sur R par f (x) = x 3 − x 2 + 1. Déterminer les limites de f en −∞
et en +∞.
➀ On commence par citer le théorème 1.1.
La limite d’une fonction polynôme en −∞ ou en +∞ est égale à la limite de son terme de plus haut
degré.
➁ On calcule ensuite les limites de f en s’appuyant sur ce théorème.
lim f (x) = lim x 3 = −∞
x→−∞
x→−∞
lim f (x) = lim x 3 = +∞
x→+∞
x→+∞
Point méthode 2 Pour déterminer la limite à l’infini d’une fonction rationnelle :
➀ on cite le théorème 1.2 ;
➁ on calcule la limite en s’appuyant sur ce théorème.
Exemple. Soit f la fonction définie sur R par f (x) =
+∞.
➀ On commence par citer le théorème 1.2.
−2x+1
.
x 2 +1
Déterminer les limites de f en −∞ et en
La limite d’une fonction rationnelle en −∞ ou en +∞ est égale à la limite du rapport des termes de
plus haut degré du numérateur et du dénominateur.
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Niveau : 1S
Fiche méthode : limites à l’infini des fonctions polynômes et rationnelles
F. Demoulin
➁ On calcule ensuite les limites de f en s’appuyant sur ce théorème.
lim f (x) = lim
x→−∞
x→−∞
De même,
−2x
−2
= lim
=0
x→−∞ x
x2
lim f (x) = lim
x→+∞
x→+∞
−2
=0
x
3 Exercices
Déterminer les limites des fonctions suivantes en −∞ et en +∞ :
1. f : x 7−→ 2x 3 − x 2 − 6
2. g : x 7−→
3x 2 +x−2
2x+5
3. h : x 7−→
3−2x
2x−1
4. i : x 7−→ −2x 2 − x + 3
5. j : x 7−→
5x+1
4x 2 −x−1
6. k : x 7−→
3x 2 −4x+1
4x 2
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