1 Rappels de cours 2 Méthodes et exemples

Niveau : 1S Fiche méthode : limites à l’infini des fonctions polynômes et rationnelles F. Demoulin
1 Rappels de cours
Définition 1.1 On appelle fonction polynôme toute fonction définie sur Rdont l’expression algé-
brique est de la forme :
f(x)=anxn+an−1xn−1+...+a1x+a0
où nest un entier naturel et a0,a1,..., andes réels.
Remarques. •nest appelé le degré de f, on le note deg(f) ;
•anxnest le terme de plus haut degré.
Théorème 1.1 La limite d’une fonction polynôme en −∞ ou en +∞ est égale à la limite de son
terme de plus haut degré.
Définition 1.2 On appelle fonction rationnelle tout quotient de deux fonctions polynômes.
Théorème 1.2 La limite d’une fonction rationnelle en −∞ ou en +∞ est égale à la limite du rap-
port des termes de plus haut degré du numérateur et du dénominateur.
2 Méthodes et exemples
Point méthode 1 Pour déterminer la limite à l’infini d’une fonction polynôme :
➀on cite le théorème 1.1 ;
➁on calcule la limite en s’appuyant sur ce théorème.
Exemple. Soit fla fonction définie sur Rpar f(x)=x3−x2+1. Déterminer les limites de fen −∞
et en +∞.
➀On commence par citer le théorème 1.1.
La limite d’une fonction polynôme en −∞ ou en +∞ est égale à la limite de son terme de plus haut
degré.
➁On calcule ensuite les limites de f en s’appuyant sur ce théorème.
lim
x→−∞ f(x)=lim x→−∞ x3= −∞
lim
x→+∞ f(x)=lim x→+∞ x3= +∞
Point méthode 2 Pour déterminer la limite à l’infini d’une fonction rationnelle :
➀on cite le théorème 1.2 ;
➁on calcule la limite en s’appuyant sur ce théorème.
Exemple. Soit fla fonction définie sur Rpar f(x)=−2x+1
x2+1. Déterminer les limites de fen −∞ et en
+∞.
➀On commence par citer le théorème 1.2.
La limite d’une fonction rationnelle en −∞ ou en +∞ est égale à la limite du rapport des termes de
plus haut degré du numérateur et du dénominateur.
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Niveau : 1S Fiche méthode : limites à l’infini des fonctions polynômes et rationnelles F. Demoulin
➁On calcule ensuite les limites de f en s’appuyant sur ce théorème.
lim
x→−∞ f(x)=lim x→−∞
−2x
x2=lim
x→−∞
−2
x=0
De même, lim
x→+∞ f(x)=lim x→+∞
−2
x=0
3 Exercices
Déterminer les limites des fonctions suivantes en −∞ et en +∞ :
1. f:x7−→ 2x3−x2−6 2. g:x7−→ 3x2+x−2
2x+53. h:x7−→ 3−2x 2x−1
4. i:x7−→ −2x2−x+35. j:x7−→ 5x+1
4x2−x−16. k:x7−→ 3x2−4x+1 4x2
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