2 Année LMD– FSEGC- Université de Mouloud Mâamri de Tizi Ouzou-... Chapitre 1- Concepts de base du calcul des probabilités

2ème Année LMD– FSEGC- Université de Mouloud Mâamri de Tizi Ouzou- Module : Stat 3
Chapitre 1- Concepts de base du calcul des probabilités
CHAPITRE I- CONCEPTS DE BASE DU CALCUL DES PROBABILITES
1- LES CONCEPTS D’EXPÉRIENCE ALÉATOIRE ET D’ÉVÉNEMENT :
a- Expérience aléatoire et ensemble fondamental des résultats
Le terme expérience aléatoire désigne une expérience dont on connaît l’ensemble des résultats
possibles sans savoir lequel de ceux-ci se réalisera.
L’ensemble des résultats possibles porte le nom d’ensemble fondamental des résultats de
l’expérience aléatoire. On désigne souvent cet ensemble par la lettre grecque Ω (oméga).
b- Événement
Tout sous-ensemble A de l’ensemble fondamental Ω des résultats d’une expérience aléatoire
porte le nom d’événement. On dit qu’un événement A se réalise lorsque le résultat observé de
l’expérience est un des résultats appartenant au sous-ensemble A de Ω.
Exemples
a) Lorsqu’on lance une pièce de monnaie, cette expérience conduit soit au résultat pile, noté
P (ou 0), soit au résultat face, noté F (ou 1), c’est-à-dire à l’un des éléments de
l’ensemble {P, F }ou {0,1} .
b) Considérons l’expérience aléatoire qui consiste à lancer un dé.
L’ensemble fondamental des résultats Ω de cette expérience aléatoire peut être donné
par :
Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
L’événement A défini par «le résultat du lancer est un nombre pair» correspond au sousensemble suivant de Ω : A = {2, 4, 6}. Pour que cet événement se réalise, il faut que le
résultat du lancer soit un des trois nombres 2, 4 ou 6.
c) Si nous lançons une pièce de monnaie deux fois, les résultats peuvent être notés
{PP, PF , FP, FF }.
d) Si nous considérons une machine qui fabrique des boulons, le résultat de cette expérience
est qu’un certain nombre d’entre eux sont défectueux. Dans ces conditions, quand un
boulon est fabriqué, il est un élément de l’ensemble {défectueux, conforme}.
c- Classification des événements
- Un événement A est dit simple s’il ne contient qu’un seul des résultats de Ω.
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- Un événement A est dit composé s’il contient plus d’un des résultats de Ω.
- L’ensemble vide Ø est bien un sous-ensemble de Ω. On le dit événement impossible.
- Ω est dit l’événement certain.
d- Opérations sur les événements : L’application des opérations intersection, réunion, ou
complémentation sur des événements définis à partir d’un même ensemble fondamental Ω
engendre d’autres événements. La terminologie utilisée en calcul des probabilités diffère
légèrement de celle utilisée en théorie des ensembles. Le tableau ci-dessous résume le tout.
Rappel de quelques propriétés de base des opérations sur les événements
2– LE CONCEPT DE PROBABILITÉ
a- Probabilité de réalisation d'un événement lorsque Ω contient n résultats
Considérons une expérience aléatoire dont l'ensemble fondamental des résultats contient un
nombre fini n de résultats, c’est-à-dire Ω = {Ω 1, Ω 2, ... , Ω n}.
À chacun des n événements simples (événements ne correspondant qu’à un seul résultat)
qu’on peut définir pour cette expérience aléatoire correspond à une probabilité de réalisation;
c’est-à-dire à chacun des événements { Ω i} correspond une probabilité de réalisation :
P ({Ωi}) , (i = 1, 2, ..., n).
Ces n probabilités sont telles que : pour : i = 1, 2, ... n,
0≤ P ({Ωi}) ≤ 1 et ∑ P ({Ωi})= 1
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Soit A un événement défini à partir de cette expérience, c’est-à-dire soit A un sous-ensemble
de Ω. La probabilité de réalisation de l’événement A peut se noter P(A) et, de façon générale,
P(A) = ∑ P ({Ωi}
Ωi€A
Simplification du calcul lorsqu’il y a équiprobabilité. Si les n éléments de l'ensemble Ω sont
équiprobables, c'est-à-dire si P ({Ω i})= 1/n , i = 1, 2, ..., n, alors : P(A)= card (a)/card (Ω)=
card (A)/n. où « Card » désigne la cardinalité (le nombre d'éléments) de l'ensemble qui le suit.
Exemples
a- Exemple d’une situation où les éléments de Ω ne sont pas équiprobables.
Une urne contient 12 boules de même forme et de masse identiques. Une de celles-ci est
numérotée 2, six sont numérotées 3, trois sont numérotées 4 et les deux dernières sont
numérotées 5. Considérons l’expérience aléatoire qui consiste à prélever au hasard une
boule de l’urne et à noter son numéro. Définissons l’événement A par «le numéro de la
boule prélevée est un nombre pair».
Soit Ω = { Ω 1, Ω 2, Ω 3, Ω 4} = {2, 3, 4, 5} et A = {2, 4}.
Pour établir les probabilités de réalisation des 4 événements simples associables à Ω, on
peut supposer que chacune des 12 boules de l’urne a la même probabilité d’être prélevée.
On obtient alors que :
P({Ω 1} = P({2}) = 1/12,
P({Ω 2}) = P({3}) = 6/12,
P({Ω 3} = P({4}) = 3/12,
P({Ω 4}) = P({5}) = 2/12.
Pour calculer la probabilité de réalisation de l’événement A, on doit utiliser la formule
précédente, car il n’y a pas équiprobabilité des éléments de Ω. On obtient :
P(A) = P({2,4}) = P({2}) + P({4}) = 1/12 + 3/12 = 4/12 .
b- Exemple d’une situation où les éléments de Ω sont équiprobables.
Considérons la même expérience aléatoire que dans l’exemple précédent pour une urne
qui contient trois boules numérotées 2, trois boules numérotées 3, trois boules numérotées
4 et trois boules numérotées 5.
On est alors en présence d’un ensemble fondamental Ω = {2, 3, 4, 5} dont les 4 éléments
sont équiprobables. Le calcul de la probabilité de réalisation de l’événement A = {2, 4}
s’en trouve simplifié. P(A)= Card (A)/ Card (Ω)= 2/4= 0,5
3- QUELQUES PROPRIÉTÉS DES PROBABILITÉS
P(Ω) = 1 et P(Ø) = 0.
Soit A et B deux événements définis à partir d'une même expérience aléatoire.
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0 ≤ P(A) ≤ 1 et 0 ≤ P(B) ≤ 1.
P(Ā) = 1 - P(A) et P( ) = 1 – P(B) .
P(AUB) = P(A) + P(B) - P(A∩B).
Si A et B sont des événements incompatibles, c'est-à-dire si A∩B = Ø, alors :
P(AUB) = P(A) + P(B).
4- LE CONCEPT DE PROBABILITÉ CONDITIONNELLE
a- Définition d'une probabilité conditionnelle
Soit A et E deux événements où E a une probabilité de réalisation non-nulle.
La probabilité conditionnelle de réalisation de l'événement A étant donné que l'événement E
s'est réalisé est notée P(A / E).
La probabilité conditionnelle P(A / E) se calcule selon la formule suivante :
P(A / E) = P(A∩E) / P(E) → P(A∩E)= P(A/E).P(E).
Exemple:
On lance deux dés,
1) Soient: l’événement A « Avoir (6,6) et l’événement B « Avoir un couple de nombre
pairs ».
P(A)= 1/6*1/6= 1/36. ; P(B)= 3/6*3/6= 9/36.
On lance les deux dés, on apprend que B s’est réalisé, on s’intéresse alors l’événement A
sachant que B est réalisé, que l’on note : A/B
P(A/B)= P(A∩B)/P(B)= (1/36)/(9/36)= 1/9.
Car on a : P(A∩B)= P({6,6})= 1/36.
5- LE CONCEPT D’INDÉPENDANCE EN PROBABILITÉ
a- Indépendance de 2 événements
Deux événements possibles A et B sont dits indépendants en probabilité si la réalisation de
l'un ne modifie en rien la probabilité de réalisation de l'autre. On peut définir ce concept
d'indépendance en probabilité de 2 événements possibles de 3 façons équivalentes :
1) P(A | B) = P(A) ;
2) P(B | A) = P(B) ;
3) P(A∩B) = P(A) P(B).
b- Indépendance mutuelle de m événements
Soient m événements A1, A2, ..., Am sont dits mutuellement indépendants en probabilité, si et
seulement si la probabilité de réalisation de la conjonction (intersection) d'un nombre quelconque
d'entre eux est toujours égal au produit des probabilités de réalisation de chacun.
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Par exemple: trois événements A1, A2 et A3 sont dits mutuellement indépendants en
probabilité, si et seulement si:
P(A1∩A2) = P(A1) P(A2),
P(A1∩A3) = P(A1) P(A3),
P(A2∩A3) = P(A2) P(A3)
P(A1∩A2∩A3) = P(A1) P(A2) P(A3).
Exemple:
On lance deux dés, soient les événements suivants :
A « le 1er dé obtient un point impaire »
B « Le deuxième dé obtient un point impaire »
C « la somme des points des deux dés est impaire »
On a donc, P(A)= 3/6*6/6= 18/36= 1/2
P(B) = 3/6*6/6= 18/36= 1/2
P(C)= 3/6*3/6+ 3/6*3/6 = 9/36 + 9/36= 18/36 = 1/2
P(A∩B)= P({Impair, impair})= 3/6*3/6= 9/36= ¼= P(A)* P(B)
P(A∩C)= P({Impair, Somme Impair})= P({Impair, Pair})= 3/6*3/6= 9/36=¼= P(A)* P(C)
P(B∩C)= P({Impair, Somme Impair})= P({Impair, Pair})= 3/6*3/6= 9/36= ¼=P(B)* P(C)
A, B et C sont deux à deux indépendants, mais ils ne sont pas mutuellement indépendants,
car : P(A∩B∩C)= P ({Impair, Impair, somme impair})= 0
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